陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第66课时 二项式定理 理


课题:二项式定理
考纲要求: 1. 能用计数原理证明二项式定理; 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1. 二项式定理及其特例:
1 n a b? ?1? (a ? b)n ? Cn0an ? Cn 1 x? ? 2 ? (1? x)n ? 1? Cn r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N ? ) ,

r r ? Cn x ?

? xn

王新敞
奎屯

新疆

r n ?r r 2. 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) a b (r ? 0,

王新敞
奎屯

新疆

3. 常数项、有理项和系数最大的项:
求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制;求有理项时 要注意到指数及项数的整数性. 4. 二项式系数表(杨辉三角)

(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项
式系数表,表中每行两端都是1 ,除1 以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和. 5. 二项式系数的性质:
0 1 2 n r , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成以 r 为自变量 (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

的函数 f (r ) ,定义域是 {0,1, 2,

, n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图)
n 是图象的对称轴. 2
n ?1

m n?m 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等( Cn ) .直线 r ? ? Cn

6. ?1? 对称性.

? 2 ? 增减性与最大值:

n

n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大值.
1 x? ? 3? 各二项式系数和:∵ (1? x)n ? 1? Cn r r ? Cn x ?

? xn ,
n ? Cn

令 x ? 1 ,则 2 ? Cn ? Cn ? Cn ?
n 0 1 2

r ? Cn ?

r n ?r r 7. 在使用通项公式 Tr ?1 ? Cn a b 时,要注意:

?1? 通项公式是表示第 r ? 1 项,而不是第 r 项. ? 2 ? 展开式中第 r ? 1 项的二项式系数 Cnr 与
第 r ? 1 项的系数不同. ? 3? 通项公式中含有 a, b, n, r, Tr ?1 五个元素, 只要知道其中的四个元 素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的
507

若干个, 求另外几个元素的问题, 这类问题一般是利用通项公式, 把问题归纳为解方程 (或 方程组).这里必须注意 n 是正整数, r 是非负整数且 r ≤ n .

? 4 ? 证明组合恒等式常用赋

值法. ? 5 ? 要正确理解二项式定理,准确地写出二项式的展开式. ? 6 ? 要注意区分项的系数 与项的二项式系数.

? 7 ? 二项式展开式系数可用通项公式及组合知识.

?8? 用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地:当 ?
很小时,有 ?1 ? ? ? ? 1 ? n? ?
n

1 n ? n ? 1? ? 2 . 2

典例分析: 考点一 二项展开式定理及通项公式的应用 问题 1. ?1? ( 2013 江西) ? x 2 ?

? ?

2? ? 展开式中常数项为 A. 80 B. ?80 C. 40 D. ?40 x3 ?

5

? 2? 求 ? 2 ? x ?

10

展开式中系数最大的项

? 3? 求 ?

3x ? 3 2

?

100

展开所得 x 的多项式中,系数为有理数的项数

考点二 “生成法”的应用 问题 2. ?1? 求 1 ? 2 x ? 3 x

?

2 6

? 展开式中 x

5

的系数(要求用两种方法解答).

508

? 2 ? ( 2012 安徽) ( x 2 ? 2)( x 2 ? 1)5 的展开式的常数项是 A. ?3

1

B. ?2 C. 2 D. ?

考点三 “赋值法”的应用 问题 3. ?1? 已知 2 x ?
2

?

3

?

4

? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? a3 x 3 ? a 4 x 4 ,
2

则 ? a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a1 ? a3 ? ?

? 2 ? ( 07 安徽文)已知 (1? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,
则 (a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值等于 .

509

? 3? ( 06 浙江)若多项式 x2 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ?1) ???? ? a9 (x ?1)9 ? a10 (x ?1)10 ,则 a9 ?
A. 9 B. 10 C . ?9 D. ?10

1 2 3 2 n n?1 ? Cn 6 ? Cn 6 ???? ? Cn 6 ? ? 4 ? ( 05 天津)设 n ? N * ,则 Cn

5 浙江)若将函数 f ( x) ? x 表示为 f ( x) ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? 5? ( 2012 5 ? a5 ?1 ? x ? , 其中 a1 , a2 , ,?, a5 为实数,则 a3 ?

2

??

考点四 二项式展开式在其它方面的应用
5

问题 3. ?1? 求 1.997 的近似值(精确到 0.001 )


510

? 2 ? 已知 n ? N * ,求证:1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ?25n?1 能被 31 整除.

问题 4.求证: 3n ? ? n ? 2? ? 2n?1 ( n ? N? 且 n ? 2 ).

课后作业:

1. x 2 ? 3 y ? 2 z

?

?

7

展开式中含 x y z 项的系数是

4

3 2

2. ? 2 x ? y ? z ? 展开式中 x 3 y 2 z 的系数是
6

3. 若 ?1 ? 2 x ?
的值为

2009

? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? ?a2009 x2009 ? x ? R? ,则
B. 0 C. ?1 D. ?2

a a1 a2 a3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2009 2 2 2 2 2009
511

A. 2

4. 今天是星期日,不算今天,再过 290 天后的第一天是星期几?

5. 4 ? 6n ? 5n?1 ( n ? N * )被 20 除后的余数是

6. 设 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 10x3 ?10 x2 ? 5x ? 1
A. 1 ? 5 x B. 1 ? 5 x ? 2

? x ? R? ,则 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x)
D. 1 ? 5 x ? 2

C. ?1 ? 5 x ? 2

7. 设 x 2 ? 1 ? 2 x ? 1? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,则 a0 ? a1 ? a2
9 2
11

?

?

? ??? ?a11 的值为

A. ?2

B. ?1

C. 1

D. 2

512

1 n?1 2 n ?2 n?1 8. 若 3n ? Cn 3 ? C3 3 ???? ? (?1)n?1Cn ? 3 ? (?1)n ? 512, 则 n ?

A. 7

B.

8

C. 9

D. 10

0 1 2 n 9. ( 07 届西工大附中模拟文)设 n 为满足 Cn ? Cn ? 2Cn ???? ? nCn ? 450 的最大自然数,

则 n ? _____

走向高考:

x 1 10. ( 05 湖北) ( ? ? 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 2 x

11. ( 05 全国Ⅱ) x ? 2 y

?

?

10

的展开式中 x y 项的系数是

6

4

A.

840

B. ?840

C. 210

D. ?210

513

3 ? ? 12. ( 07 江西)已知 ? x ? 3 ? 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比 x? ?
为 64 ,则 n 等于

n

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

13. ( 07 陕西文) ?1 ? 2 x ? 的展开式中 x 2 项的系数 是 ..
5

(用数字作答)

14. ( 2012 湖北)设 a ? Z ,且 0 ? a ? 13 ,若 512012 ? a 能被 13 整除,则 a ? A. 0 B. 1 C. 11 D. 12

514

15. ( 2013 新课标全国) 已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5 ,则 a ? A. ? 4 B. ?3 C. ? 2 D. ? 1

6 ?? 1? ? x? ? ,x ?0 16. ( 2013 陕西) 设函数 f ( x) ? ?? x? ? ? ? ? x, x ? 0

, 则当 x ? 0 时, f ? ? f ? x ?? ?

表达式的展开式中常数项为

A. ?20

B. 2

C. ?15

D. 15

17. ( 2011 安徽)设 ( x ??)?? ? a? ? a?x ? a? x? ? L a??x?? ,则 a10 ? a11 ?

515


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