陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第65课时 排列与组合 理


课题:排列与组合
考纲要求: 1. 理解排列、组合的概念; 2. 会利用计数原理推导排列数公式、组合数公式; 理解组合的意义, 掌握组合数计算公式和组合数的性质 并能用它们解决一些简单的应用问 3. 题. 能解决简单的实际问题. 教材复习 1. 排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... ....
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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2. 排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从
m 表示 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An

m 3. 排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2) ??? (n ? m ? 1) ?

n! ( m, n ? N ? , m ? n ) (n ? m)!
王新敞
奎屯 新疆

4. 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 . 5. 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素的一个组合.

6. 组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n
m 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号 C n 表示. ...

7. 组合数公式:Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) ? (n, m ? N ? , 且m ? n) . ? m m !( n ? m )! Am m!

m n ?m 0 8. 组合数的性质: ?1? Cn .规定: Cn ? Cn ? 1;

? 2?

m m m?1 Cn ?1 = C n + C n

9. 附有限制条件的排列:
直接法: 用分类计数原理 用分步计数原理

位置分析法 元素分析法 插入法

捆绑法 间接法 ①优先特殊元素(或位置)②相邻问题: “捆绑法” ”③不相邻问题: “插空法 ④复杂问题: “排除法”⑤机会均等法;

10. 组合问题常见解题方法:
、 “最多” 、 “含”等词; ?1? 注意“至少” : “分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区 ? 2 ? 区分“分配”与“分组” 分的,即指把物件分成组,是无顺序可言的;而“分配”问题即使元素个数相同,但因人不 同,仍然是可区分的,或者是指把物件分给不同的人(或团体) ,是有顺序的,解分配问题 必须先分组后排列,若平均分 m 组,则分法 ? 取法/ m !
499

? 3? 隔板分组法:常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. ? 4 ? 分排问题直排处理; ? 5? “小集团”排列问题中先集体后局部处理; ? 6 ? 定序问题除法处理:即先不考虑顺序限制,排列后在除以定序元素的全排列.
典例分析: 考点一 排列数与组合数的有关计算
m m 问题 1. ?1? 填空:①已知 An ? 272 , Cn ? 136 ,则 m ?

n?



7 7 8 ②已知 Cn ?1 ? Cn ? C n ,则 n ?

k 2 k ?3 ;③已知 C16 ,则 k ? ? C16

3 ; ? 2 ? 计算:① C43 ? C53 ? C63 ???? ? C10

1 2 3 n ② Cn ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn

考点二 排列的应用 问题 2. ?1? ( 07 北京)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 为老人拍照,要求排成一排,

2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 A. 1440 种 B. 960 种 C. 720 种 D. 480 种

? 2 ? ( 06 全国Ⅰ)安排 7 位工作人员在 5 月1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、
乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有 种。 (用数字作答)

考点三 组合的应用 问题 3.

?1? ( 06 江苏)今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球,同色球不加以区分,
种不同的方法(用数字作答).
500

将这 9 个球排成一列有

? 2 ? ( 06 湖北联考) 6 本不同的书,平均分成三堆,每堆两本,有 n1 种不同的分法;
若分成三堆,有两堆各 1 本,另一堆 4 本,有 n2 种不同的分法,则 n1 ? n2 ?

考点四

排列与组合的综合应用:先选后排 种. (用数字作答)

问题 4. ?1? ( 07 陕西)安排 3 名支教教师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分 配方案共有

? 2 ? ( 06 陕西)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地1 人),其中
甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

? 3? ( 04 辽宁)有两排座位,前排11 个座位,后排12 个座位,现安排 2 人就座,
规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是 .

A. 234

B. 346

C. 350

D. 363

501

考点五

分配问题

?1? 如果每人得 2 本有多少种不同的分法? ? 2 ? 如果甲得1 本,乙得 2 本,丙得 3 本有多少种分法? ? 3? 如果一人得1 本,一人得 2 本,一人得 3 本有多少种分法? ? 4 ? 平均分成三堆,每堆 2 本有多少种分法?

问题 5.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式:

考点六 机会均等法、元素分析法、位置分析法、间接法、隔板法等. 问题 6. ?1? 五个人并排站成一排,甲必须站在乙的右边,则不同的排法有

A. 24 种

B. 60 种

C. 90 种

D. 120 种

? 2 ? 一名老师和四名学生排成一排,老师不在两端,则不同的排法有

种.

? 3? 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲、乙电视机各一台,则不同的
取法有 种.

? 4 ? 把 12 个相同的小球放入编号为 1, 2,3, 4 的盒子中,问每个盒子中至少有 1 个小球的不
502

同放法有多少种?

课后作业:
5?n 9? n 1. ( 07 北京东城区模拟)组合数 Cn ? Cn ?1 ?

2.( 07 昆明一模)如图, A, B, C , D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接 A. 8 种 B. 12 种 C. 16 种 D. 20 种 起来,则不同的建桥方法共有
A

C

B

D

3. 下面是高考第一批录取的一份志愿表: 现有 4 所重点院校,每所重点院校有 3 个
专业是你较为满意的选择,如果表格填满 且规定学校没有重复,同一学校的专业也 没有重复,不同的填写方法的种数是:

志愿 学校 专业
3 4

第一志愿

第二志愿

第三志愿

1
第 1 专业 第 2 专业

2
第 1 专业
3 4

3
第 1 专业 第 2 专业

A. 4

3

?A ?

2 3 3

B. 4

3

?C ?

2 3 3

C. A

?C ?

2 3 3

D. A

?A ?

第 2 专业
2 3 3

走向高考: 4. ( 07 北京文)某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,其中 4 个数 字互不相同的牌照号码共有 A. C26

? ?
1

2

4 1 2 4 2 C. ? C26 A10 个 B. A26 A10 104 个 ? 104 个 D. A26 2

503

5. ( 07 福 建 文 ) 某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码 , 卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定 , 从 “ ???????0000 ”到“ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四 位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为 A. 2000 B. 4096 C. 5904 D. 8320

6. ( 07 四川)用数字 0,1, 2,3, 4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数 A. 288 个 B. 240 个 C. 144 个 D. 126 个 共有

7.( 07 湖北)已知直线

x y ? ? 1( a , b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公 a b
D. 78 条

共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 A. 60 条 B. 66 条 C. 72 条

8. ( 2012 全国新课标)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A. 12 种 B. 10 种 C. ? 种 D. ? 种

504

9. ( 2012 四川)方程 ay ? b2 x2 ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,
在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 A. 60 条 B. 62 条 C. 71 条 D. 80 条

10. ( 2012 辽宁)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法
种数为

A. 3 ? 3!

B. 3 ? ? 3!?

3

C. ? 3!?

4

D. 9!

11. ( 2013 四川)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别为 a , b ,共 B. 10 C. 18 D. 20 可得到 lg a ? lg b 的不同值的个数是 A. 9

12. ( 2013 福建)满足 a, b ? ??1, 0,1, 2? ,且关于 x 的方程 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 有实数解的 A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 有序数对 (a, b) 的个数为

13. ( 2013 北京)将序号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是

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14. ( 2013 重庆)从 3 名骨科. 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾 医疗小组, 则骨科. 脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 (用数字作答) .

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