【优化方案】2014届高考数学8.3 抛物线 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( ) 1 A. B.1 2 C.2 D.4 p 解析:选 C.由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- .由 x2+y2-6x-7=0 得(x-3)2+ 2 2 y =16. p ∵准线与圆相切,∴3+ =4,∴p=2. 2 2.(2012· 高考四川卷)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5 2 解析:选 B.由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0), p p 则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3,∴p=2, 2 2 2 2 ∴y =4x.∴y0=4×2,∴y0=± 2, 2 2 ∴|OM|= 4+y0= 4+8=2 3. 3.(2013· 四川成都模拟)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点.若线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3,则弦 AB 的长为( ) A.5 B.8 C.10 D.12 解析:选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2), |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4, x1+x2 又 E 到 y 轴距离为 3,∴ =3. 2 ∴|AB|=10. 4.(2011· 高考课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 解析:选 C.不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l 垂直于对称轴且过焦点, p 故直线 l 的方程为 x= .代入 y2=2px 得 y=± p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛 2 1 物线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ×6×12=36. 2 5. (2011· 高考四川卷)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,2=2 的两点, x 过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切, 则抛物线顶点的坐标为( ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6) 解析:选 A.当 x1=-4 时,y1=11-4a;当 x2=2 时,y2=2a-1,所以割线的斜率 k= 11-4a-2a+1 =a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为 x0, -4-2 由 y′=2x+a 得切线斜率为 2x0+a, ∴2x0+a=a-2,∴x0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为 y+a+4=(a-2)(x+1),即(a -2)x-y-6=0.

圆 5x2+5y2=36 的圆心到切线的距离 d=

6 6 6 .由题意得 = ,即 2 2 5 ?a-2? +1 ?a-2? +1

(a-2)2+1=5.又 a≠0, ∴a=4,此时,y=x2+4x-5=(x+2)2-9. 顶点坐标为(-2,-9). 二、填空题 6.(2012· 高考重庆卷)过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB| 25 = ,|AF|<|BF|,则|AF|=__________. 12 1 1 解析:由于 y2=2x 的焦点坐标为?2,0?,设 AB 所在直线的方程为 y=k?x-2?,A(x1, ? ? ? ? y1),B(x2,y2),x1<x2, 1 1 将 y=k?x-2?代入 y2=2x,得 k2?x-2?2=2x, ? ? ? ? k2 1 ∴k2x2-(k2+2)x+ =0.∴x1x2= . 4 4 25 13 而 x1+x2+p=x1+x2+1= ,∴x1+x2= . 12 12 1 3 ∴x1= ,x2= . 3 4 p 1 1 5 ∴|AF|=x1+ = + = . 2 3 2 6 5 答案: 6 7.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,C 上的点 M 在 C 的准线上的射影为 M′,若 → → 1 → → MM′· = |MM′|· |,则点 M 的横坐标为________. MF |MF 2

解析:如图所示, → → → → ∵MM′· =|MM′||MF|cos∠M′MF MF 1 → → = |MM′||MF|, 2 1 ∴cos∠M′MF= .∴∠M′MF=60° . 2 又∵|M′M|=|MF|,故△MM′F 为正三角形. 设 M(x,y),则 M′(-1,y),F(1,0), ∴|M′F|= ?-1-1?2+y2=|MM′|=x+1, 整理得 y2=x2+2x-3, 将 y2=4x 代入 y2=x2+2x-3 得 x2-2x-3=0, 即 x=3 或-1(舍). 答案:3 8.(2011· 高考重庆卷)设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边 界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为__________.

解析:如图所示,若圆 C 的半径取到最大值,必须为圆与抛物线及直线 x=3 同时相切, 设圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,与抛物线方程 y2=2x 联立 得 x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式 Δ=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得 a=4- 6, 故此时半径为 3-(4- 6)= 6-1. 答案: 6-1 三、解答题 9.(2013· 东北三校调研)点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,试求抛物线的方 程. 1 1 1 解:当抛物线开口向上时,准线为 y=- ,点 M 到它的距离为 +3=6,a= ,抛 4a 4a 12 1 物线的方程为 y= x2. 12 1 1 1 当抛物线开口向下时,准线为 y=- ,M 到它的距离为- -3=6,a=- .抛物线 4a 4a 36 1 的方程为 y=- x2. 36 1 1 所以,抛物线的方程为 y= x2 或 y=- x2. 12 36 10.设抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心,|BA|为半径,在 x 轴上 方画半圆,设抛物线与半圆相交于不同两点 M、N,点 P 是 MN 的中点.求|AM|+|AN|的值. 解:设 M、N、P 在抛物线的准线上射影分别为 M′、N′、P′, 则由抛物线定义得 |AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a. 又圆的方程为[x-(a+4)]2+y2=16, 将 y2=4ax 代入得 x2-2(4-a)x+a2+8a=0, ∴xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.

11.(探究选做)如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为直线 y=-2p 上任意一点, 过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (2)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 10.求此时抛物线的方程. x2 x2 1 2 解:(1)证明:由题意设 A(x1, ),B(x2, ),x1<x2, 2p 2p x2 x x1 x2 M(x0,-2p).由 x2=2py 得 y= ,则 y′= ,所以 kMA= ,kMB= .因此直线 MA 的 2p p p p x1 方程为 y+2p= (x-x0). p x2 直线 MB 的方程为 y+2p= (x-x0). p

x2 x1 1 所以 +2p= (x1-x0),① 2p p x2 x2 2 +2p= (x2-x0),② 2p p x1+x2 由①-②得 =x1+x2-x0, 2 x1+x2 因此 x0= ,即 2x0=x1+x2. 2 所以 A,M,B 三点的横坐标成等差数列. (2)由(1)知,当 x0=2 时,将其代入①、②并整理得 x2-4x1-4p2=0,x2-4x2-4p2=0, 1 2 所以 x1、x2 是方程 x2-4x-4p2=0 的两根, 因此 x1+x2=4,x1x2=-4p2, x2 x2 2 1 - 2p 2p x1+x2 x0 2 又 kAB= = = ,所以 kAB= . 2p p p x2-x1 由弦长公式得|AB|= 1+k2 · ?x1+x2?2-4x1x2 AB 4 = 1+ 2· 16+16p2. p 又|AB|=4 10, 所以 p=1 或 p=2. 因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y.


相关文档

更多相关文档

【优化方案】2014届高考数学 8.3 抛物线课时闯关(含解析)
【优化方案】2014届高考数学6.3 不等式的证明 课时闯关(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学8.1 椭圆 课时闯关(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学8.3 抛物线 随堂检测(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学8.2 双曲线 课时闯关(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学3.3 等比数列 课时闯关(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学 11.3 相互独立事件同时发生的概率课时闯关(含解析)
【优化方案】2014届高考数学3.2 等差数列 课时闯关(含答案解析)
【优化方案】2014届高考数学 8.3 抛物线随堂检测(含解析)
【优化方案】2014届高考数学9.8 简单多面体与球(A、B) 课时闯关(含答案解析)
2016安徽公务员考试必看申论范文:应用文写作范文-工作计划
2016上半年徐州市贾汪区事业单位公开招聘56名工作人员公告
2016-2021年中国全自动锅炉软化水处理设备产业市场运行及产业发展趋势研究报告
八年级历史上期末考试题1
【三轮押题冲刺】2013高考数学基础知识最后一轮拿分测验 空间几何体(word版,含答案)
电脑版