2004年高考试题全国卷1文科数学及答案(必修+选修Ⅰ河南河北山东山西安徽江西)


2004 年高考试题全国卷 1 文科数学必修+选修 I(河南、河北、山东、山西

王新敞

2004 年高考试题全国卷 1 文科数学(必修+选修 I)

(河南、河北、山东、山西等地区)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B)

共 60 分)

球的表面积公式 2 S=4 ?R 其中 R 表示球的半径, 球的体积公式 V= ?R ,
3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 k n-k Pn(k)=C k n P (1-P)

4 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

王新敞
奎屯

新疆

. ( )

1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则 A∩( CU B)= A.{2} 2.已知函数 f ( x) ? lg A. B.{2,3} C.{3} D. {1,3}

1 D.-2 2 ? ? ? ? 3.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a ? 3b |=
A. 7 4.函数 y ? B. 10 C. 13 D.4

1? x 1 , 若f (a) ? , 则f (?a) ? 1? x 2 1 B.- C.2 2









x ?1 ? 1( x ? 1) 的反函数是
2

( B. y ? x ? 2x ? 2( x ? 1)
2



A. y ? x ? 2x ? 2( x ? 1)

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C. y ? x 2 ? 2x( x ? 1) 5. ( 2 x ?
3

D. y ? x 2 ? 2x( x ? 1) ( C.42 D.-42 ( D.4 ) )

1 x

) 7 的展开式中常数项是
B.-14

A.14 6.设 ? ? (0, A.

?

7 5

3 ? ) 若 sin ? ? , 则 2 cos(? ? ) = 2 5 4 1 7 B. C. 5 2

7.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 4
( )

为 P,则 | PF2 | = A.

3 2

B. 3

C.

7 2

D.4

8.设抛物线 y 2 ? 8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线

l 的斜率的取值范围是 1 1 A. [ ? , ] B.[-2,2] 2 2
9.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? A.向右平移

( C.[-1,1] D.[-4,4] (



?

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
的表面积为 T,则 A.

6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象



? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移 ( C. )

10. 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S, 其四个面的中心分别为 E、 F、 G、 H, 设四面体 EFGH

1 9

T 等于 S 4 B. 9

1 4

D.

1 3

11.从 1,2,……,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率 是 ( ) A.

5 9

B.

4 9

C.

11 21

D.

10 21

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12.已知 a 2 ? b 2 ? 1, b 2 ? c 2 ? 2, c 2 ? a 2 ? 2, 则ab ? bc ? ca 的最小值为 A. 3 -





1 2

B.

1 - 3 2

C.-

1 - 3 2
共 90 分)

D.

1 + 3 2

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.不等式 x+x3≥0 的解集是 . .

14.已知等比数列{ an } 中, a3 ? 3, a10 ? 384, 则该数列的通项 an =

15.由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点 P 的轨迹方程为 . .

16. 已知 a、 b 为不垂直的异面直线, 则 a、 b 在 ? 上的射影有可能是 ? 是一个平面, ①两条平行直线 ③同一条直线 在一面结论中,正确结论的编号是 ②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点 (写出所有正确结论的编号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

18. (本小题满分 12 分) 求函数 f ( x) ?

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

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19. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 从 10 位同学(其中 6 女,4 男)中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概 率均为

4 3 ,每位男同学能通过测验的概率均为 .试求: 5 5

(I)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (II)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

21. (本小题满分 12 分) 如图, 已知四棱锥 P—ABCD, PB⊥AD, 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形, 底面 ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120°. (I)求点 P 到平面 ABCD 的距离; (II)求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小.

22. (本小题满分 14 分) 设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B. 2 a
5 PB . 求 a 的值. 12
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(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

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2004 年高考试题全国卷 1 文科数学(必修+选修 I) (河南、河北、山东、山西) 参考答案
一、选择题 DBCBABCCBACB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.{x|x≥0} 14.3·2n
-3

15. x 2 ? y 2 ? 4

16.①②④

三、解答题 17.本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ? ?a1 ? 19 d ? 50 .
(Ⅱ)由 S n ? na1 ?

……4 分 解得 a1 ? 12, d ? 2.

所以

an ? 2n ? 10. ……7 分

n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 2 n(n ? 1) 12 n ? ?2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). ………12 分 2

18.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函数的有关性质.满分 12 分. 解: f ( x) ?

(sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 2 x cos2 x 2 ? 2 sin x cos x
………………6 分

1 ? sin 2 x cos2 x 2(1 ? sin x cos x) 1 ? (1 ? sin x cos x) 2 1 1 ? sin 2 x ? . 4 2 ?
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所以函数 f ( x) 的最小正周期是 ? ,最大值是

3 1 , 最小值是 . …………12 分 4 4

19.本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解:函数 f(x)的导数: f ?( x) ? 3ax2 ? 6x ? 1. ………………3 分 (Ⅰ)当 f ?( x) ? 0 ( x ? R )时, f ( x) 是减函数.

3ax2 ? 6x ? 1 ? 0( x ? R)

? a ? 0且? ? 36 ? 12a ? 0

? a ? ?3.

所以,当 a ? ?3时,由f ?( x) ? 0, 知f ( x)(x ? R) 是减函数;………………9 分
3 (II)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x 3 ? 3x 2 ? x ? 1= ? 3( x ? ) ?

1 3

8 , 9

由函数 y ? x 3 在 R 上的单调性,可知 当 a ? ?3 时, f ( x)(x ? R )是减函数; (Ⅲ)当 a ? ?3 时,在 R 上存在一个区间,其上有 f ?( x) ? 0, 所以,当 a ? ?3 时,函数 f ( x)(x ? R) 不是减函数. 综上,所求 a 的取值范围是( ? ?,?3]. ………………12 分 20.本小题主要考查组合,概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)随机选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率为 1-
3 C6 5 ? ;………………6 分 3 C10 6

(Ⅱ)甲、乙被选中且能通过测验的概率为
1 C8 4 3 4 ? ? ? . ;………………12 分 3 C10 5 5 125

21.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、 运算能力.满分 12 分. (I)解:如图,作 PO⊥平面 ABCD,垂足为点 O.连结 OB、OA、OD、OB 与 AD 交于 点 E,连结 PE. ∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
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∵PA=PD,∴OA=OD, 于是 OB 平分 AD,点 E 为 AD 的中点,所以 PE⊥AD. 由此知∠PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角,………………4 分 ∴∠PEB=120°,∠PEO=60° 由已知可求得 PE= 3 ∴PO=PE·sin60°= 3 ?

3 3 ? , 2 2
3 .………………6 分 2

即点 P 到平面 ABCD 的距离为

(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中 O 为坐标原点,x 轴平行于 DA.

3 3 3 3 3 3 P(0,0, ), B(0, ,0), PB中点G的坐标为 (0, , ) .连结 AG. 2 2 4 4
又知 A(1,

3 3 3 ,0), C (?2, ,0). 由此得到: 2 2

GA ? (1,?

3 3 ,? ), 4 4 3 3 3 PB ? (0, ,? ), BC ? (?2,0,0). 2 2

于是有GA ? PB ? 0, BC ? PB ? 0
所以 GA ? PB ? BC ? PB.

GA, BC 的夹角?

等于所求二面角的平面角,…………10 分 于是 cos ? ?

GA ? BC | GA | ? | BC |

??

2 7 , 7

所以所求二面角的大小为 ? ? arccos

2 7 .…………12 分 7

解法二:如图,取 PB 的中点 G,PC 的中点 F,连结 EG、AG、GF,则 AG⊥PB,FG//BC, FG=

1 BC. 2

∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB, ∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9 分
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∵AD⊥面 POB,∴AD⊥EG. 又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°. 在 Rt△PEG 中,EG=PE·cos60°=

3 . 2

在 Rt△PEG 中,EG=

1 EG 3 AD=1. 于是 tan∠GAE= = , 2 AE 2
所以所求二面角的大小为π -arctan

又∠AGF=π -∠GAE.

3 .…………12 分 2

22. (本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想 和综合解题能力.满分 14 分. 解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
2 ? ?1 ? a ? 0. 所以? 4 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0.

① ……2 分

解得0 ? a ? 2且a ? 1.

双曲线的离心率

e? ?e ?

1? a2 ? a

1 ? 1. a2

? 0 ? a ? 2且a ? 1,

6 且e ? 2 2 6 , 2 ) ? ( 2 ,??).?? 6分 2

即离心率e的取值范围为 (

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P 1 (0,1)

? PA ?

5 PB , 12

? ( x1 , y1 ? 1) ?

5 ( x 2 , y 2 ? 1). 12

由此得 x1 ?

5 x 2 . ……8 分 12

由于 x1,x2 都是方程①的根,且 1-a2≠0,

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17 2a 2 5 2 2a 2 2a 2 289 x2 ? ? , x ? ? . 消去 , x , 得 ? ? 2 2 2 2 2 12 12 60 1? a 1? a 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? .???14分 13 所以

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