电子版2015福州质检理科数学(1)


一、选择题 1.如图,复平面上的点 Z1、Z 2、Z3、Z 4 到原点的距离都相等.若复数 z 所对应的点为 Z1 , 则复数 z 的共轭复数所对应的点为( A. Z1 2.已知 tan ? B. Z 2 C. Z3 ) D. Z 4 )

?? ? ? ? ? ? 3 ,则 tan ? 的值是( ?4 ?
B.

A.2

1 2

C.-1

D.-3 )

3.已知 A 豣B ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所 示的程序框图执行(其中 a 为座位号) ,并以输出的值作为下 一个输入的值.若第一次输入的值为 8,则第三次输出的值为 ( ) A.8 B.15 C.29 D.36 5.如图,若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图 中 A.

1

?

B.

2

?

C.

3

?

D.

1 2


6.已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的值域为 ? ??,1? ,则函数 f ? x ? 的定义域为( A. ? ?9, ?? ? B. ?0, ?? ? C. ? ?9,1? D. ? ?9,1?

7.已知抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛 掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率: 先由计算器产生 0 或 1 的随机数, 用 0 表示正面 朝上,用 1 表示反面朝上;在以每三个随机数作为一组,代表这三次投掷的结果.经随机模 拟试验产生了如下 20 组随机数: 101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计,抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率( ) A.0.30 B.0.35 C.0.40 D.0.65 8. ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的分别为 a, b, c . 若 ( ). A. 60 ? 9.若双曲线 ? : B. 75 ? C. 90 ? D. 120?

cos A b ? ? 2 ,则角 C 的大小 cos B a

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 ? 4, 0 ? 到其渐近线的距离为 2 3 ,则双曲 a 2 b2


线 ? 的离心率(

A. 2

B. 3

C.2

D.4

10.定义域运算“ * ”为: a ? b ? ? 大致是( )

? ab, a ? 0 .若函数 f ? x ? ? ? x ?1? ? x ,则该函数的图像 a ?b ?2 , a ? 0

1? 2, 0, -2 ?,O 为坐标原点, 11.已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为 ? 0,, ? 0,
动点 P 满足 CP =1, 则 OA ? OB ? OP 的最小值是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C. 3 ? 1 ) D. 3

?

?

12.已知直线 l : y ? ax ? b 与曲线 ? : x ?

1 ? y 没有公共点.若平行于 l 的直线与曲线 ? 有且 y
D.无数条

只有一个公共点,则符合条件的直线 l ( ). A.不存在 B.掐有一条 C.恰有两条

二、填空

? x?0 ? 13.若变量 x、 y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为_________ ?y ? x ? 2 ?
2 3 4 5 6 14.已知 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ? a6 x , 则 a0 ,a1 , , a6 中的所有偶 S 6

数的和等于_________

P 是椭圆上异于顶点上的任意一点, O 为坐标 15.已知椭圆 x ? 3 y ? 9 的左焦点为 F 1 ,点
2 2

原点.若点 D 是线段 PF1 的中点,则 ?F1OD 的周长为_________ 16.若数列 ?an ? 满足 an?1 ? an?1 ? 2an ? n ? 2? ,则称数列 ?an ? 为凹数列,已知等差数列 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? 2 ,且数列 ?

? bn ? ? 是凹数列,则 d 的取值范围为________ ?n?

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , a1 , a2 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两根。
2

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?2n ? an ? 的前 n 项和 Sn .

18.(本小题满分 12 分) “ ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该活动, 若被邀请者接受挑战, 则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容, 然后便可以邀 请另外 3 个人参与该项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (I)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受 挑战的概率是多少? (II)假定(I)中被邀请到地个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定,现记 X 为接下来 被邀请到的 6 个人中接受挑战的人数,求 X 的分布列和均值(数学期望).

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin ?

?? ?4

? 其中 O 为坐标原点, x ? 在同一半周期内的图像过点 O, P, Q , ?

Q 为函数 f ? x ? 的图像与 x 轴的正 P 为函数 f ? x ? 图像的最高点,
半轴的交点. (I)是判断 ?OPQ 的形状,并说明理由.. (II)将 ?OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 ? ? 0 ? ? ? 时,顶点 P , Q 恰好同时落在曲线 y ?
' '

? ?

??
? 2?

k , ? x ? 0 ? 上(如图所示) x

求实数 k 的值.

20.(本小题满分 12 分) 一种药在病人血液中的含量不低于 2 克事,他才能起到有效的治疗的作用。已知每服用

m ?1 ? m ? 4且m ? R ? 个单位的药剂,药剂在血液中的含量 y (克)随着时间 x (小时)
? 10 ? , 0 ? x ? 6? ? ?4 ? x ? 变化的函数关系近似为 y ? m ? f ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x , 6 ? x ? 8? ? ? ? 2 ?
(I)若病人一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时? (II)若病人第一次服用 2 个单位的药剂,6 个小时候再服用 m 个单位的药剂,要使接下来 的 2 个小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 ? 的顶点为坐标原点,焦点为 F ? 0,1? . (I)求抛物线 ? 的方程 (II)若点 P 为抛物线 ? 的准线上的任意一点,过点 P 作抛物线 ? 的切线 PA 与 PB ,切点 分别为 A, B ,求证:直线 AB 恒过某一定点; (III)分析(II)的条件和结论,反思其解题过程,再对命题(II)进行变式和推广,请写 出一个你发现的真命题,不要求证明过程(说明:本小题将根据所给出的命题的正确性和一 般性酌情给分).

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e x sin x ? cos x, g ( x) ? x cos x ? 2e x ,其中 e 是自然对数的底数. (I)判断函数 y ? f ? x ? 在 ? 0,

? ?

??

? 内的零点的个数,并说明理由; 2?

(II) ?x1 ? ?0,

? ?? ? ?? , ?x2 ? ?0, ? , 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? m 成立,试求实数 m 的取值范围; ? ? 2? ? 2?

(III)若 x ? ?1 ,求证: f ? x ? ? g ? x ? ? 0


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