吉林省延边二中2015-2016学年高一数学上学期期中试题


延边第二中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷
一、选择题(每题 4 分,共 48 分) 2 1 .已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A? ?B B.B? ?A C.A=B ) D. y ? log 2 2 x ) D.A∩B=?

2.下列函数中与函数 y ? x 相等的函数是( A. y ? ( x ) 2 B. y ? x 2

C. y ? 2 log 2 x

3.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为 1,其直观图 和正(主) 视图如图所示,则它的左(侧)视图的面积是 ( )
1 2 1 2

(C) A. 3

B.1

C.

1 2

D.

3 2

4.若函数 y ? a x ? b ? a ? 0且a ? 1? 的图象经过第二、三、四象限,则有(
,b ? ?1 (A) 0 ? a ? 1 ,b ? ?1 (C) a ? 1 ,b ? 1 (B) 0 ? a ? 1 ,b ? 1 (D) a ? 1



5.设函数 f ( x ) ? ?

?2 x , x?0 x?0 ?| log2 x |,
B.

,则 f ? f ( ?1) ? 的值为(



A. ? 1

1 2

C. 2

D. 1 )

6.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调减区间是(
2

(A) (3,?? ) (B) (1,?? )
x 2

( C) (??,1)

(D) (??,?1)

7.函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点个数是(

)
1

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

8.已知函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? e x 的图象关于直线 y ? x 对称,函数 y ? g ? x ? 的图象与 y ? f ? x ? 的图象关于 x 轴对称,若 g ? a ? ? 1 ,则实数 a 的值为( (A) ?e (B) ?
1 e

) (D) e
x

(C)

1 e

?1? 9.设函数 f ? x ? 定义在实数集上, f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,且当 x≥1 时, f ? x ? ? ? ? ,则有( ?2?
?1? ?1? (A) f ? ? ? f ? 2 ? ? f ? ? ? 3? ? 2? ?1? ?1? (C) f ? ? ? f ? ? ? f ? 2 ? ?2? ? 3? ?1? (B) f ? ? ? f ? 2 ? ? ?2? ?1? (D) f ? 2 ? ? f ? ? ? ? 3? ?1? f? ? ? 3? ?1? f? ? ? 2?

)

10.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则实 数 a 的取值范围是( (A) (??,?1) ? (2,??) ) (B) (?1,2) (C) ( ?2,1) (D) (??,?2) ? (1,??)

11.已知函数 f ( x) ? 4 ? x2 , y ? g ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, g ( x) ? log2 x , 则函数 f ( x) ? g ( x) 的大致图象为( )

12.当 0 ? x ?

1 时, 4x ? loga x ,则实数 a 的取值范围是( 2
B. (

)

A. (0,

2 ) 2

2 ,1) 2

C. (1, 2 )

D. ( 2 ,2)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

?

?

m2 ? 6

在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,则实数 m 的值为_______.

x2 ? 2 x ? 4 1 1 14.已知 loga >0,若 a ≤ ,则实数 x 的取值范围为______________. 2 a

2

15. 如果函数 f(x)对其定义域内的任意两个实数 x1, x2 都满足不等式 f? 则称函数 f(x)在定义域上具有性质 M.给出下列函数:

?x1+x2?< f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ? ? 2 ? 2

①y= x;②y=x ;③y=2 ;④y=log2x.其中具有性质 M 的是__________(填上所有正确答案 的序号).
,x≤0 ?x ? 1 16.已知函数 f ? x ? ? ? ,则函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? ? 1 的图象与 x 轴有_______个交点. ?log 2 x,x ? 0

2

x

三、解答题(共 6 题,52+20 分) 17. (本小题满分 10 分) 计算下列各式的值:

1 ? 1 (1) ( ) 4 ? 4 ? (?2) ? 3 ? ( )0 ? 9 2 16 4
18. (本小题满分 10 分)

3

1

(2) 2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 5log5 3 9

定义在 ??1,1? 上的函数 y ? f ? x ? 是增函数, 且是奇函数, 若 f (a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 , 求实数 a 的取值范围

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? b ? a (其中 a , b 为常数且 a ? 0, a ? 1 )的图象经过点 A(1, 6), B(3, 24) .
x

(I)求 f ( x) 的解析式;

(II)若不等式 ?

?a? ? ? 2m ? 1在 x ? ? ??,1? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?b?

x

20.(本小题满分 10 分) 设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 2x ?1 ? 5 的最大值和最小值及相应 x 的值.?

21(本小题满分 12 分)
? f ? x ?? ? ? 2a ? f ? x ? ? 3 的最小值为 h ? a ? . 8? ,函数 g ? x ? ? ? 已知函数 f ? x ? ? log2 x,x ? ? 2,
2

3

(Ⅰ)求 h ? a ? 表达式;

(Ⅱ)是否存在实数 m ,n ,同时满足以下条件:① m ? n ? 3 ;②当 h ? a ? 的定义域为 ? n,m?
2 2 时,值域为 ? ?n ,m ? ? .若存在,求出 m , n 的值;若不存在,说明理由.

附加题: 22 (本小题满分 20 分) 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 f ( x) ? M 成立, 则 称 f ( x) 是 D 上 的 有 界 函 数 , 其 中 M 称 为 函 数 f ( x) 的 一 个 上 界 . 已 知 函 数

1 ? ax 1 1 . f ( x) ? 1 ? a ( ) x ? ( ) x , g ( x) ? log 1 2 4 x ? 1 2
(1)若函数 g ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 g ( x) 在区间 ? ,3? 上的所有上界构成的集合; 3 (3)若函数 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

?5 ?

? ?

4

期中考试答案 一、选择题 BDDAD ACCDD DB 二、填空题 13.3 14。 (-∞,-3]∪[1,+∞) 三、解答题 17.解: (1)原式= 6

15. ②③

16.3 个

1 2

------5 分 ------10 分

(2)原式= ? 1

18.解:由题意, f (a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,即 f (a ? 1) ? ? f (4a ? 5) , 而又函数 y ? f ? x ? 为奇函数,所以 f (a ? 1) ? f (5 ? 4a) .---------------4 分 又函数 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上是增函数,有

? ?1 ? a ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? 4 a ? 5 ? 1 ? ? a ? 1 ? 5 ? 4a ?

-------------7 分

? ?0 ? a ? 2 ? 6 3 3 ? ?1 ? a ? ? ? a ? 5 2 2 ? 6 ? a? ? 5 ?
所以, a 的取值范围是 ?

--------------9 分

? 6 3? , . ? 5 2? ?

---------------10 分

19.解: (I)由题意得 ?

? a ?b ? 6 ? a ? 2, b ? 3, 3 ?b ? a ? 24

????2 分

? f ( x) ? 3 ? 2x ????4 分
x x (II)设 g ( x) ? ( ) ? ( ) ,

a b

2 3

则 y ? g ( x) 在 R 上为减函数.(可以不证明)????6 分

?当 x ? 1 时 g min ( x) ? g (1) ?

2 ,????8 分 3
5

因为 ?

?a? ? ? 2m ? 1在 x ? ? ??,1? 上恒成立, ?b?
2 1 1 ? m ? ? ? m 的取值范围为: m ? ? .????10 分 3 6 6

x

即 g ( x)min ? 2m ? 1,即 2m ? 1 ? 20 解:y=4
x

x?

1 2

-2·2 +5=

x

1 x 2 x (2 ) -2·2 +5 ???2 分 2

令 t=2 (0≤x≤2),则 1≤t≤4 ? ??4 分 ∴y=

1 2 1 t -2t+5= (t-2)2+3,t∈[1,4]???6 分 2 2
x x

∴当 t=2,即 2 =2,x=1 时,y 有最小值为 3???8 分 当 t=4,即 2 =4,x=2 时,y 有最大值为 5.???10 分

21.解: (Ⅰ)因为 x∈[2,8],所以 log2x∈[1,3]. 设 log2x=t,t∈[1,3],??1 分 则 g(t)=t -2at+3=(t-a) +3-a ??2 分 当 a<1 时,ymin=g(1)=4-2a,??3 分 当 1≤a≤3 时,ymin=g(a)=3-a ,??4 分 当 a>3 时,ymin=g(3)=12-6a. ??5 分 ?4 ? 2a, ? a ? 1? ? 2 所以 h ? a ? ? ?3 ? a , ?1≤a≤3? . ???????????6 分 ? ? a ? 3? ?12 ? 6a, (Ⅱ)假设存在满足题意的实数 m , n , 因为 m>n>3, 所以 h(a)=12-6a 在(3,+∞)上为减函数,??7 分 因为 h(a)的定义域为[n,m],值域为[n ,m ], 2 ? ?12-6m=n 所以? , 2 ?12-6n=m ? 两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n), 所以 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾, 故满足条件的实数 m,n 不存在.. ???????????12 分
6
2 2 2 2 2 2

? ??; 22. (1) a ? ?1 ;(2) ?2, (3) ?- 5,1? .
【解析】 试题分析:(1)因为 g ?x ? 为奇函数,所以利用 g ?? x ? ? ? g ?x ? ,求出 a 的值;(2) 在(1)的条件 下,证明 g ?x ? 的单调性, M ? g ?x ? 在 ? , 3? 恒成立,即 M ? g ?x? max ,根据单调性,可以求出 其最大值;(3) 若函数 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,则 f ?x ? ? 3 ,将函数代入,
x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x 反解 a ,? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ,利用函数的单调性求出他们的最大,和 2 ? ? ?2? ? ? ? ? ? ? max ? ? min

?5 ? ?3 ?

最小值,就是 a 的范围. 试题解析:解: (1)因为函数 g ( x) 为奇函数, 所以 g (? x) ? ? g ( x) ,即 log1
2

1 ? ax 1 ? ax , ? ? log1 ? x ?1 2 x ?1



1 ? ax x ?1 ? ,得 a ? ?1 ,而当 a ? 1 时不合题意,故 a ? ?1 .??2 分 ? x ? 1 1 ? ax

(2)由(1)得: g ( x) ? log1

1? x , x ?1 2

下面证明函数 g ( x) ? log1 证明略. 所以函数 g ( x) ? log1

1? x 在区间 (1, ??) 上单调递增, x ? 1 2

1? x 5 在区间 [ ,3] 上单调递增,??6 分 x ?1 3 2 1? x 5 在区间 [ ,3] 上的值域为 [ ?2,?1] ,??8 分 x ?1 3 2
5 3

所以函数 g ( x) ? log1

所以 g ( x) ? 2 ,故函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成集合为 [2,??) .??10 分 (3)由题意知, f ( x) ? 3 在 [0,??) 上恒成立.

7

1? ?1? ?1? ? 3 ? f ( x) ? 3 , ? 4 ? ? ? ? ? a? ? ? 2 ? ? ? . ? 4? ? 2? ? 4?

x

x

x

?1? ?1? ? ?4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 [0,??) 上恒成立. ? 2? ? 2?
x
x x ? ? ?1? ? ?1? ? ? ?? 4 ? 2 x ? ? ? ? ? a ? ?2 ? 2 x ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ? ? ? max ? ? min 1 1 x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? [0,??) 得 t ? 1 , t t

x

x

??12 分

设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

(t2 ? t1 )(4t1t2 ? 1) ?0, t1t2
,

p (t1 ) ? p (t2 ) ?

? t1 ? t2 ?? 2t1t2 ? 1? ? 0
t1t2

所以 h(t ) 在 [1,??) 上递减, p(t ) 在 [1,??) 上递增,

??16 分

h(t ) 在 [1,??) 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p(t ) 在 [1,??) 上的最小值为 p(1) ? 1 .
所以实数 a 的取值范围为 [ ?5,1] . 考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性;3.函数的最值. ??20 分

8


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