全国通用2018高考数学大一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角恒等变换习题理


第 3 节 三角恒等变换

【选题明细表】 知识点、方法 三角函数的化简求值 给值求值 给值求角 综合应用 基础对点练(时间:30 分钟) 1.化简 cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( A ) (A) (B) (C)(D)题号 1,2,5,7,10 3,4,8,11 9,12,13,15 6,14,16

解析:cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45° =cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45° =cos(15°+45°) =cos 60° = . 故选 A. 2. (A)4 解析: (B)2 等于( D (C)-2 = ) (D)-4

=

=

= =-4. 故选 D. 3.(2016·开封二模)若点 P(cos θ ,sin θ )在直线 x+2y=0 上,则 cos 2θ +sin 2θ 等于( A )

1

(A)-

(B)-

(C) (D)

解析:若点 P(cos θ ,sin θ )在直线 x+2y=0 上, 则 cos θ +2sin θ =0, 即 tan θ =- .

故 cos 2θ +sin 2θ =

=

=- . 故选 A. 4.(2016·东北三省二模)已知 sin α +cos α = ,则 sin ( -α )等于( B )
2

(A)

(B)

(C) (D)

解析:由 sin α +cos α = ,

将等式两边平方,得 2sin α cos α =- .

所以 sin ( -α )=

2

=

=

=

= . 故选 B.

2

5.

的值为( D )

(A)1

(B)-1

(C)

(D)-

解析:原式=

=

=- . 故选 D. 6.定义运算 =ad-bc.若 cos α = , = ,0<β <α < ,则β 等于( D )

(A)

(B) (C) (D)

解析:依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )=

,

又 0<β <α < ,所以 0<α -β < ,

故 cos(α -β )=

= ,

而 cos α = ,所以 sin α =

,

于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = × - ×

= .

故β = .

3

故选 D. 7.(2016·长沙雅礼中学月考)sin 15°+cos 15°= 解析:sin 15°+cos 15°= ( sin 15°+ cos 15°)

.

= =

sin(15°+45°) sin 60°

= .

答案:

8.设θ 为第二象限角,若 tan(θ + )= ,则 sin θ +cos θ =

.

解析:tan(θ + )=

= ,

解得 tan θ =- .



得 sin θ =

,cos θ =-

,

所以 sin θ +cos θ =-

.

答案:-

9.若锐角α ,β 满足(1+ 解析:由(1+

tan α )(1+

tan β )=4,则α +β =

.

tan α )(1+

tan β )=4,

可得

=

,

即 tan(α +β )=

.

又α +β ∈(0,π ),所以α +β = .

4

答案:

10. 导学号 18702183 化简:

.

解:

=

=

=

=

=

= =tan α . 11. 导学号 18702184 已知α ,β 均为锐角,且 sin α = ,

tan(α -β )=- . (1)求 sin(α -β )的值; (2)求 cos β 的值. 解:(1)因为α ,β ∈(0, ),

从而- <α -β < .

又因为 tan(α -β )=- <0,

5

所以- <α -β <0.

所以 sin(α -β )=-

.

(2)由(1)可得 cos(α -β )=

.

因为α 为锐角,且 sin α = ,所以 cos α = . 所以 cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) = × + ×()

=

. 能力提升练(时间:15 分钟)

12.(2016·哈尔滨六中期中)设α ∈(0, ),β ∈(0, ),tan α =

,则(

B )

(A)3α -β = (B)2α -β =

(C)3α +β = (D)2α +β =

解析:

=

,

则 cos α +cos α sin β =sin α cos β , 所以 cos α =sin(α -β ),sin( -α )=sin(α -β ), 又因为α ,β 都是锐角, 所以 -α =α -β 或 -α +α -β =π ,

所以 2α -β = 或β =- (舍).

6

故选 B. 13. 导学号 18702186 若 sin 2α = ,sin(β -α )= 值是( A ) (A) (B) ,且α ∈[ ,π ],β ∈[π , ],则α +β 的

(C) 或

(D) 或

解析:因为α ∈[ ,π ],

故 2α ∈[ ,2π ],但 sin 2α = ,

故 2α ∈[ ,π ],α ∈[ , ],

所以 cos 2α =-

,因为β ∈[π , ],

故β -α ∈[ , ],

于是 cos(β -α )=-

,

所以 cos(α +β )=cos[2α +(β -α )]=cos 2α cos(β -α )-sin 2α sin(β α )=×()- × = ,

又α +β ∈[ ,2π ],故α +β = ,故选 A.

14.设 x∈(0, ),则函数 y=

的最大值为

.

解析:因为 x∈(0, ),所以 tan x>0,

函数 y=

=

=

=



= ,

7

当且仅当 3tan x=

时等号成立,故最大值为 .

答案:

15.已知α ,β 为锐角,sin α = ,cos(α +β )=- ,求 2α +β .

解:因为 sin α = ,α ∈(0, ),

所以 cos α = .

因为 cos(α +β )=- ,α +β ∈(0,π ),

所以 sin(α +β )= , 所以 sin(2α +β )=sin[α +(α +β )] =sin α cos(α +β )+cos α sin(α +β ) = ×(- )+ × =0. 又 2α +β ∈(0, ), 所以 2α +β =π . 16. 导学号 18702187 已知向量 a=(sin ω x,cos ω x),b=(cos ? , sin ? ),函数 f(x)=a·b(ω >0, < ? <π )的最小正周期为 2π ,其图象经过点 M( , ). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知α ,β ∈(0, ),且 f(α )= ,f(β )= ,求 f(2α -β )的值. 解:(1)依题意有 f(x)=a·b=sin ω xcos ? +cos ω xsin ? = sin(ω x+ ? ). 因为函数 f(x)的最小正周期为 2π , 所以 2π =T= ,解得ω =1.

8

将点 M( , )代入函数 f(x)的解析式,

得 sin( + ? )= .

因为 < ? <π ,所以 < + ? < ,

所以 + ? = ,所以 ? = .

故 f(x)=sin(x+ )=cos x.

(2)依题意有 cos α = ,cos β = ,而α ,β ∈(0, ),

所以 sin α =

= ,

sin β =

= ,

所以 sin 2α =2sin α cos α = ,

cos 2α =cos α -sin α = - =- , 所以 f(2α -β )=cos(2α -β ) =cos 2α cos β +sin 2α sin β =(- )× + ×

2

2

=

. 好题天天练

1. 导学号 18702188 已知 tan(α + )=2,tan(β - )=-3,则 tan(α -β )等于( D )

(A)1

(B)-

(C)

(D)-1

9

解题关键:注意观察α + 与β - π 的关系,配凑使用公式求 tan(α -β ). 解析:tan[(α + )-(β - )]=tan[(α -β )+π ]=tan(α -β )= =-1. 2.(2016·杭州质检)已知α ∈( , ),β ∈(0, ),且 cos( -α )= ,

Sin( π +β )=- ,则 cos(α +β )= 解题关键:注意角α ,β 的范围. 解析:因为α ∈( , ),cos( -α )= ,

.

所以 sin( -α )=- ,

因为 sin( π +β )=- ,

所以 sin( π +β )= ,

又因为β ∈(0, ),

所以 cos( π +β )= ,

所以 cos(α +β )=cos[( +β )-( -α )]= × +(- )× =- .

答案:-

10


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