自贡市2011-2012学年高一年级下学期期末考试数学试题参考答案及评分标准


2011—2012 学年高一年级下学期期末考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题 DCBCD BADAC BD

二、填空题(16 分) 13、 3 三、解答题 17、解: (Ⅰ)由余弦定理得 cos B ? 14、2( 2+1) 15、0 16、①⑤

a2 ? c2 ? b2 1 ? ,且 0 ? B ? ? , 2ac 2
………………………………………………4 分

?B ?

?
3

(Ⅱ)将 c ? 3a 代入 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,得 b ? 由余弦定理得 cos B ?

7a ,

………………6 分

a2 ? c2 ? b2 5 7 ? 2ac 14 21 14

……………………………8 分

? 0 ? A ? ? , ? sin A ? 1 ? cos2 A ? sin A 3 ? cos A 5

…………………………10 分

? tan A ?

……………………………………………………12 分

18、解:(Ⅰ)∵A 点不在两条高线上,由两条直线垂直的条件可得 3 kAB=- ,kAC=1. 2 ∴AB、AC 边所在的直线方程为 3x+2y-7=0,x-y+1=0. ………2 分 ?3x+2y-7=0 ? 由? 得 B(7,-7). …………………………………4 分 ? ?x+y=0 由?
?x-y+1=0 ? ? ?2x-3y+1=0

得 C(-2,-1).

………………………………6 分 ………………………………8 分 15 , 13 ………………………12 分
3 2

∴BC 边所在的直线方程 2x+3y+7=0. (Ⅱ)∵|BC|= 117,A 点到 BC 边的距离 d= 1 1 15 45 ∴S△ABC= ×d×|BC|= × × 117= 2 2 2 13

2 19、解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

所以 q ?
2

1 1 .由条件可知 an ? 0 ,故 q ? 9 3
高一数学答案 第1页 (共 4 页)

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a1q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列 {an } 的通项式为 an = ( ) n (Ⅱ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an

1 . 3
………………………6 分

1 3

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2
……………………………………8 分



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 ,

…………………10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 .
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ? 1 ………………12 分
x 4 y 2

20、解:设花坛的长、宽分别为 x m, y m,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰 好位于喷水区域的边界。依题意得: ( ) 2 ? ( ) 2 ? 25 , x ? 0, y ? 0 )………………4 分 ( 问题转化为在 x ? 0, y ? 0 , 法一:? S ? xy ? 2 ? 由

x2 ? y 2 ? 100 的条件下,求 S ? xy 的最大值 ……6 分 4

x x ? y ? ( ) 2 ? y 2 ? 100 , …………………………………………8 分 2 2

x2 x ? y 和 ? y 2 ? 100 及 x ? 0, y ? 0 得: x ? 10 2 , y ? 5 2 ……………10 分 4 2 ?S max ? 100 ………………………………………………………………………11 分 x2 ? y 2 ? 100 , 4
x2 x2 1 2 2 2 = x ? (100 ? ) ? ? ( x ? 200 ) ? 10000 4 4 4

(法二:∵ x ? 0, y ? 0 ,

? S ? xy ? x 100 ?

∴当 x 2 ? 200 ,即 x ? 10 2 , S max ? 100

x2 ? y 2 ? 100 可解得: y ? 5 2 。 ) 4 答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符
由 合要求。………………………………………………………12 分 |M1M| 21、解:(Ⅰ)由题意,得 =5. |M2M| (x-26) +(y-1) (x-2) +(y-1)
2 2 2 2

=5,
高一数学答案 第2页 (共 4 页)

化简,得 x +y -2x-2y-23=0. 2 2 即(x-1) +(y-1) =25. 2 2 ∴点 M 的轨迹方程是(x-1) +(y-1) =25, 轨迹是以(1,1)为圆心以 5 为半径的圆. …………………………………5 分 (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=-2, 2 2 此时所截得的线段的长为 2 5 -3 =8, ∴l:x=-2 符合题意. ……………………………………………7 分 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0, ……………………9 分 |3k+2| 圆心到 l 的距离 d= , k2+1 ?|3k+2|?2 2 2 由题意,得? ? +4 =5 , 2 ? k +1 ? 5 解得 k= . ………………………………………………………………11 分 12 5 23 ∴直线 l 的方程为 x-y+ =0. 12 6 即 5x-12y+46=0. 综上,直线 l 的方程为 x=-2,或 5x-12y+46=0. ……………………………………………12 分 22、解:(Ⅰ)由已知得 an an?1 ? (2n ? 2)an
b ? n ? 2 ? n ?1 ?1 , an a n ?1

2

2

? nban?1 ,两边同除以 an an?1 ,整理得

……………………………………2 分

n 1 2 n ?1 ? 1 ) n 1 当 b ? 2 时有: a ? 2 ? b ? b ( a 2 ? b ( n ? 2 )令 cn ? a n ? 2 ? b ,则 {cn } 是 n n ?1
1 1 2 2 以 c1 ? a ? 2 ? b ? b( 2 ? b) 为首项, q ? b 为公比的等比数列.由等比数列通项公式得 1
cn ?

n 1 2n 2 ( 2 ) n?1 ? 2n ,即 a ? 2 ? b ? n b(2 ? b) b b n (2 ? b) b (2 ? b) n

从而 an ?

(2 ? b)nbn 2n ? b n

…………………4 分

n n ?1 ? 1 n 1 当 b ? 2 时, a ? a 有 即{ } 从而有 2 , a n 是首项与公差均为 2 的等差数列, n n ?1
得 an

n ?n an 2 ,

?2

………………5 分

(b ?2      ? 2) ? n 综上所述 an ? ? (2 ? b)nb    ? 0且b ? 2) (b ? n n ? 2 ?b
高一数学答案 第3页

………………………6 分

(共 4 页)

(Ⅱ) (ⅰ)当 b ? 2 时, an ? 2 ?

2n ?1 ? 1 ,故 b ? 2 时,命题成立; 2n ?1

………7 分

(ⅱ)当 b ? 2 时, b 2 n ? 22 n ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 b n ,

b 2 n ?1 ? 2 ? b ? 22 n ?1 ? 2 b2 n ? 22 n ? 2n ?1 bn ,
?? , b n ?1 ? 2n ?1 ? b n ?1 ? 2n ?1 ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 bn ,
以上 n 个式子相加得 ……………9 分

b2n ? b2 n?1 ? 2 ? ? ? bn?1 ? 2n?1 ? bn?1 ? 2n?1 ? ? ?b ? 22n?1 ? 22n ? n ? 2n?1 bn , ……10 分
an ? n ? 2n ?1 b n (b ? 2) [(b 2 n ? b 2 n ?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n ?1 ? 22 n ) ? b n ? 2n ](b ? 2) ? 2n ?1 (b n ? 2n ) 2n ?1 (b n ? 2n )

?

(b 2 n ? b 2 n ?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n ?1 ? 22 n )(b ? 2) ? b n ? 2n (b ? 2) 2n ?1 (b n ? 2n )

?

(b 2 n ?1 ? 22 n ?1 ) ? b n ?1 ? 2n ? b n ? 2n ?1 2n ?1 (b n ? 2n )

?

(b 2 n ?1 ? b n ?1 ? 2n ) ? (b n ? 2n ?1 ? 22 n ?1 ) bn?1 ? n ?1 ? 1 .故当 b ? 2 时,命题成立; 2n ?1 (b n ? 2n ) 2
………………………………14 分

综上(ⅰ) (ⅱ)知命题成立.

高一数学答案

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