椭圆与双曲线的对偶性质100条


椭圆与双曲线的对偶性质 100 条 杨志明 湖北省黄石二中 435003 椭
1. | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 2.标准方程: 3.



x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? e ?1 d1

4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8.设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线 a 2 b2 x2 y 2 交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x0 x y0 y x y ? 2 ? 1. 10.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a2 b a b 2 2 x y 11.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则 a b xx y y 切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 12 .AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴且过原点的弦, M 为 AB 的中点,则 a b 2 b kOM ? k AB ? ? 2 . a x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 13 . 若 P 在 椭 圆 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 14 . 若 P 在 椭 圆 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b
9.椭圆

15 . 若 PQ 是 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 ( a > b > 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 a 2 b2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . 2 r1 r2 a b
16 . 若 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 ( a > b > 0 ) 上 中 心 张 直 角 的 弦 L 所 在 直 线 方 程 为 a 2 b2
1 1 2 a 4 A2 ? b4 B2 2 2 ? ? A ? B ;(2) . L ? a 2 b2 a 2 A2 ? b2 B2
2 2 2 2

A x? B y ? 1 ( AB ? 0 ),则(1)
2 2

a 2 ? b2 ab)2 , 2 2 a ?b 则 (i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P 0 ( x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2 上 一 定 点
2 2 2 2 17.给定椭圆 C1 : b x ? a y ? a b (a>b>0), C2 : b x ? a y ? (

M( (

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x , ? y0 ) . 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P'0 ( x0' , y0' ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 0

点.

x2 y 2 18.设 P 0 ( x0 , y0 ) 为椭圆(或圆)C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,. b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的 a b 动弦,且弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , ?my0 ) (m ? 1) 的
充要条件是 k1 ? k2 ? ?

1 ? m b2 ? . 1 ? m a2

x2 y 2 19. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a b b2 x 椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
20.椭圆

?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为
S?F1PF2 ? b 2 tan

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F 2,点 P 为椭圆上任意一点 a 2 b2

a 2 2 ? b2 ? c ? b tan 2 , tan ) . 2 c 2 c 2 2 2 x y 21 .若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , a b a?c ? ? ? tan co t . ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 a?c 2 2 2 2 x y 22.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).

?

, P(

23.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a 2 b2

0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y 2 24.P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a b

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上存在两点关于直线 l : y ? k ( x ? x0 ) 对称的充要条 a 2 b2 (a 2 ? b 2 ) 2 2 x ? 件是 0 . a 2 ? b2k 2
25.椭圆 26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 28.P 是椭圆 ? 件是 e ?
2

? x ? a cos ? (a>b>0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条 ? y ? b sin ?

1 . 1 ? sin 2 ?

x2 y 2 x2 y 2 29.设 A,B 为椭圆 2 ? 2 ? k (k ? 0, k ? 1) 上两点,其直线 AB 与椭圆 2 ? 2 ? 1 相 a b a b 交于 P, Q ,则 AP ? BQ .
30 . 在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 中 , 定 长 为 2m ( o < m ≤ a ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 a 2 b2

x2 y 2 ? ) 2 2 a 2 b 2 ,其中 tan ? ? ? b x ,当 y ? 0 时, ? ? 90 . m2 ? cos 2 ? sin 2 ? a2 y2 ? 2 a2 b x2 y 2 31.设 S 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上 a b 移 动 , 记 |AB|= l , M ( x0 , y0 ) 是 AB 中 点 , 则 当 l ? ? S 时 , 有 1? (
( x0 )max ?
c a2 l 2 2 2 a 4b 2 ? l 2 , ( x0 )min ? 0 . ? (c ? a ? b , e ? );当 l ? ? S 时,有 ( x0 ) max ? a 2b c 2e 2 2 x y ? B? y C ? 0 有公共点的充要条件是 32 . 椭 圆 2 ? 2 ? 1 与 直 线 A x a b A2 a 2? B 2 b ?2 .C 2 ( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与直线 Ax ? By? C ? 0 有公共点的充要条件是 33 .椭圆 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
34.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 a 2 b2 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1 F2 P ? ? , 则 有 sin ? c ? ? e. sin ? ? s? in a 2 2 2 2 2 2 35.经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与椭
圆上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则 | PA 1 | ? | PA 2 |? b .
2

36. 已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0) , O 为坐标原点, P、 Q 为椭圆上两动点, 且 OP ? OQ . a 2 b2

4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 2 ;(3) S?OPQ 的最小 (1) | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a ?b a 2b 2 值是 2 . a ? b2
37.MN 是经过椭圆 b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 (a>b>0)过焦点的任一弦,若 AB 是经过椭 圆中心 O 且平行于 MN 的弦,则 | AB |2 ? 2a | MN | . 38.MN 是经过椭圆 b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 (a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心 O 的半弦 OP ? MN ,则

2 1 1 1 ? ? 2? 2. 2 a | MN | | OP | a b

x2 y 2 39.设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的 a b
任一点,过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的 两顶点)的交点 N 在直线 l : x ?

a2 b2 (或 y ? )上. m m

40.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 ? ? 1 ,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l : y ? kx 的共 a 2 b2 b2 ' ' 轭直线 y ? k x 上,而且 kk ? ? 2 . a x2 y 2 43. 设 A、 B、 C、 D 为椭圆 2 ? 2 ? 1 上四点,AB、 CD 所在直线的倾斜角分别为 ? , ? , a b | PA | ? | PB | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? 直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 . ? | PC | ? | PD | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? x2 y 2 44.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点, ?F 1PF 2 a b 的外(内)角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时,R、S 形成 的轨迹方程是 x2 ? y 2 ? a 2 ( {b2 y 2 ? [(a ? ce)( x ? c)]2}? ( x2 ? y 2 ? cx)2 ? [ce( x ? c)]2 ). 45. 设△ABC 内接于椭圆 ? , 且 AB 为 ? 的直径,l 为 AB 的共轭直径所在的直线,l 分 别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与椭圆 ? 相切的充要条件是 D 为 EF
42. 设椭圆方程 的中点.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 a 2 b2 | PF | e ? . MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2
46.过椭圆

x2 y 2 b 2 x1 47.设 A(x1 ,y1)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上任一点,过 A 作一条斜率为 ? 2 a b a y1 的直线 L ,又设 d 是原点到直线 L 的距离 , r1 , r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则

r1r2 d ? ab .

48.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? ? (0 ? ? ?1 ) ( a > b > 0 )和 ,一直线顺次与 a 2 b2 a 2 b2

它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a x2 y 2 50.设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a b ? 2b2 2 | PF || PF | ? 记 ?F ,则 (1) .(2) S ?PF1F2 ? b tan . PF ? ? 1 2 1 2 2 1 ? cos ?
49.已知椭圆 51.设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q 两点,A 为椭圆长轴 的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN: x ? n 于 M,N 两点,则

a?m a2 . ? 2 a ? m b (n ? a) 2 x2 y 2 52.L 是经过椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线,E、F 是 a b 椭 圆 两 个 焦 点 , e 是 离 心 率 , 点 P ? L , 若 ?EPF ? ? , 则 ? 是 锐 角 且 sin ? ? e 或 ab ? ? arc sin e (当且仅当 | PH |? 时取等号). c 2 2 x y 53.L 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的准线,A、B 是椭圆的长轴两顶点,点 P ? L , a b e 是离心率, ?EPF ? ? ,H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距,则 ? 是锐角且 sin ? ? e 或 ab ? ? arc sin e (当且仅当 | PH |? 时取等号). c 2 2 x y 54.L 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的准线,E、F 是两个焦点,H 是 L 与 x 轴的交 a b 2 点 , 点 P ? L , ?EPF ? ? , 离 心 率 为 e , 半 焦 距 为 c , 则 ? 为 锐 角 且 sin ? ? e 或 b 2 2 a ? c 时取等号). ? ? arc sin e2 (当且仅当 | PH |? c x2 y 2 55.已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B a b (2a 2 ? b2 )2 2 两点,将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来,则 b ?| F1 A | ? | F1 B |? (当且仅当 a2
?MBN ? 90 ?
AB⊥x 轴时右边不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号).

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, a 2 b2 ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有
56.设 A、B 是椭圆

2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 S ? cot ? . .(2) .(3) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB b2 ? a 2 a 2 ? c 2co s2 ? x2 y 2 57.设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) 、外 a b 2 部的两点,且 xA 、 xB 的横坐标 xA ? xB ? a , (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两
(1) | PA |?

点 , 则 ?P B A ? ? Q B A ; (2)若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,则

?PBA ? ?QBA ? 180 .
58.设 A、B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) ,外 a 2 b2

部的两点, (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点, (若 B P 交椭圆于两点,则 P、 Q 不关于 x 轴对称) ,且 ?PBA ? ?QBA ,则点 A、B 的横坐标 xA 、 xB 满足 xA ? xB ? a2 ; (2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且 ?PBA ? ?QBA ? 180 ,则点 A、B 的 横坐标满足 xA ? xB ? a2 .

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的两个端点, 则直线 AQ QQ' 是与 AA' 垂直的弦, a 2 b2 x2 y 2 ' ' 与 AQ 的交点 P 的轨迹是双曲线 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 60 .过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0 )的左焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB 、CD 则 a b 2 8ab 2(a 2 ? b 2 ) ?| AB | ? | CD |? . a 2 ? b2 a a?c x2 y 2 61.到椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)两焦点的距离之比等于 (c 为半焦距)的动 b a b 点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? b2 .
59. 设 A, A' 是椭圆

a?c x2 y 2 62.到椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于 (c 为半焦距) b a b a 2 b 2 2 的动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? ) ? y ? ( ) . e e 2 2 a?c x y 63.到椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 (c 为 b a b a 2 b 2 2 半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 ( x ? 2 ) ? y ? ( 2 ) (e 为离心率). e e 2 2 x y 64.已知 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上一个动点, A' , A 是它长轴的两个端点, a b x2 b2 y 2 ' 且 AQ ? AP , AQ ? A' P ,则 Q 点的轨迹方程是 2 ? 4 ? 1 . a a
65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项. 66.设椭圆 作斜率为 ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)长轴的端点为 A, A' , P( x1 , y1 ) 是椭圆上的点过 P a 2 b2

b 2 x1 ' ' 的直线 l ,过 A, A 分别作垂直于长轴的直线交 l 于 M , M ,则 2 a y1 ' ' ' ' 2 (1) | AM || A M |? b .(2)四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab .

x2 y 2 67. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F a b 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ?x 轴,则直线 AC 经过线段 EF
的中点.

( x ? a)2 y 2 ? 2 ? 1 ( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标 a2 b 2ab 2 , 0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一 原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( 2 a ? b2 ab2 2 2 ab2 2 个交点 Q 的轨迹方程是 ( x ? 2 2 ) ? y ? ( 2 2 ) ( x ? 0) . a ?b a ?b 2 2 ( x ? a) y ? 2 ? 1 (a>b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂直 69. P(m, n) 是椭圆 2 a b 2ab 2 ? m(a 2 ? b 2 ) n(b 2 ? a 2 ) , 2 ) .(2)以 P A、P B 的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( a 2 ? b2 a ? b2
68.OA、OB 是椭圆 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

(x ?

ab2 ? a 2 m 2 b2 n 2 a 2 [b4 ? n2 (a 2 ? b2 )] ( x ? m 且 y ? n ). ) ? ( y ? ) ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 (a 2 ? b 2 ) 2 70.如果一个椭圆短半轴长为 b,焦点 F1、F2 到直线 L 的距离分别为 d1、d2,那么(1) d1d2 ? b2 ,且 F1、F 2 在 L 同侧 ? 直线 L 和椭圆相切.(2) d1d2 ? b2 ,且 F1、F2 在 L 同

侧 ? 直线 L 和椭圆相离, (3) d1d2 ? b2 ,或 F1、F2 在 L 异侧 ? 直线 L 和椭圆相交.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的长轴, N 是椭圆上的动点,过 N 的切线与 a 2 b2 过 A 、 B 的切线交于 C 、 D 两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x2 ? 4a2 y 2 ? 1( y ? 0) .
71.AB 是椭圆 72 . 设 点 P( x0 , y0 ) 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 的 内 部 一 定 点 , AB 是 椭圆 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 过定点 P( x0 , y0 ) 的任一弦,当弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时 a 2 b2 a 2b 2 ? (a 2 y0 2 ? b 2 x0 2 ) (| PA | ? | PB |) max ? . 当 弦 AB 垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 , b2 a 2b2 ? (a 2 y0 2 ? b2 x0 2 ) (| PA | ? | PB |)min ? . b2
73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离 心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点 到同侧焦点的距离成比例. 81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点 与同侧焦点连线段成比例. 82. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连 线必与另一焦半径所在直线平行. 83. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的 距离为椭圆长半轴的长. 84. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦

半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 比为定值 e. 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88. 椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为 直径的圆必过两焦点.

x2 y 2 89. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ( 包括圆在内 ) 上有一点 P , 过点 P 分别作直线 a b b b y ? x 及 y ? ? x 的平行线,与直线 OP 分别交于 R, Q , O 为原点,则:. a a 2 (1) | OM | ? | ON |2 ? a2 ; (2) | OQ |2 ? | OR |2 ? b2 . b b 90. 过 平 面 上 的 P 点 作 直 线 l1 : y ? x 及 l2 : y ? ? x 的 平 行 线 , 分 别 交 x 轴 于 a a 2 2 2 M , N , 交 y 轴 于 R , Q . ( 1 ) 若 | O M | ? | O N? ,则 P 的轨迹方程是 | a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) .(2) 若 | OQ |2 ? | OR |2 ? b2 , 则 P 的 轨 迹 方 程 是 2 a b 2 x y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) . a 2 b2 x2 y 2 91. 点 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点, 过 a b b P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ a ab 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,则: S1 ? S 2 ? . 2 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N , b ab 交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 ,已知 S1 ? S 2 ? ,则 P a 2 x2 y 2 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b

双曲线
1. || PF 1 | ? | PF 2 ||? 2a 2.标准方程: 3.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? e ?1 d1

4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8.设 A1、A2 为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的 a 2 b2 x2 y 2 直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 10.若 P 0 (x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线 11.若 P 在双曲线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 xx y y 切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 12.AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB a b b2 的中点,则 kOM ? k AB ? 2 . a x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 13.若 P 在双曲线 0 ( x0 , y0 ) a 2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程 14.若 P 在双曲线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2
9.双曲线



x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? ? 2 . a 2 b2 a 2 b
15 . 若 PQ 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 ( b > a > 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 a 2 b2

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . 2 r1 r2 a b
x2 y 2 ? ?1 (b>a >0)上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 a 2 b2 1 1 2 a4 A2 ? b4 B2 Ax ? By? 1 ( AB ? 0 ),则(1) 2 ? 2 ? A2 ? B 2 ;(2) L ? 2 2 2 2 . a b | a A ?b B |
16 . 若 双 曲 线

a 2 ? b2 ab)2 , 2 2 a ?b 则 (i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C ( x , y ) 2 上一定点 0 0 0
17. 给定双曲线 C1 :b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2(a>b>0) , C2 :b x ? a y ? (
2 2 2 2

M( (

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x , ? y0 ) . 0 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P'0 ( x0' , y0' ) 在 C1 上存在唯一的点 M ,使得 M 的任一直角弦都经过 P 0
18.设 P 0 ( x0 , y0 ) 为双曲线

点.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的动弦,且 a 2 b2 弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , ?my0 ) (m ? 1) 的充要条
1 ? m b2 ? . 1 ? m a2 x2 y 2 19.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直 a b b2 x0 线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 (常数). a y0
件是 k1 ? k2 ?

x2 y 2 20.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a b ? 2 一 点 ?F , 1 PF2 ? ? , 则 双 曲 线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为 S ?F1PF2 ? b co t 2 a ? b2 ? P( c 2 ? b2 tan 2 , cot ) . c 2 c 2 2 x y2 21.若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 a b c?a ? ? c?a ? ? ? tan cot (或 ? tan co t ). 是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 c?a 2 2 c?a 2 2 2 2 x y 22.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a .

23.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a 2 b2

1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中 项.

x2 y 2 24.P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定 a b P 和 A, F2 在 y 轴同侧时, 点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF 1 | ,当且仅当 A, F 2 , P 三点共线且
等号成立.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)上存在两点关于直线 l : y ? k ( x ? x0 ) 对称的充要 a 2 b2 (a 2 ? b 2 )2 2 条件是 x0 ? 2 . a ? b2k 2
25.双曲线 26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与 相应焦点的连线必与切线垂直. 27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直.

? x ? a sec ? (a>0,b>0)上一点,则点 P 对双曲线两焦点张直角的 ? y ? b tan ? 1 2 充要条件是 e ? . 1 ? tan 2 ? x2 y 2 29.设 A,B 为双曲线 2 ? 2 ? k (a>0,b>0, k ? 0, k ? 1 )上两点,其直线 AB 与 a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 相交于 P, Q ,则 AP ? BQ . a b x2 y 2 30 . 在 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 中 , 定 长 为 2m ( m ) 0 ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 a b 2 2 x y 1? ( 2 ? 2 ) b2 x 2 a b , 其中 ,当 y ? 0 时, ? ? 90 . m2 ? tan ? ? ? cos 2 ? sin 2 ? a2 y2 ? 2 a2 b x2 y 2 31.设 S 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲 a b 线 上 移 动 , 记 |AB|= l , M ( x0 , y0 ) 是 AB 中 点 , 则 当 l ? ? S 时 , 有
28.P 是双曲线 ?

c a a2 l 2 2 2 4b 2 ? l 2 . ? (c ? a ? b , e ? );当 l ? ? S 时,有 ( x0 ) min ? a 2b c 2e 2 2 x y 32.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a b 2 2 2 2 A a ? B b ? C2 . ( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点 33.双曲线 a2 b2 2 2 2 2 2 的充要条件是 A a ? B b ? ( Ax0 ? By0 ? C) .

( x0 )min ?

34.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双 a 2 b2

曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1 F2 P ? ? , 则 有

s i n? c ? ?e. ?(s i n ? ? sin ? )a

x2 y 2 35.经过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与双曲线 a b 2 上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则 | PA 1 | ? | PA 2 |? b . x2 y 2 ? ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点, a 2 b2 4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 且 OP ? OQ .(1) ;(3) ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2
36.已知双曲线

a 2b 2 S?OPQ 的最小值是 2 2 . b ?a x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支),若 AB a 2 b2 是经过双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦,则 | AB |2 ? 2a | MN | .
37.MN 是经过双曲线

x2 y 2 38.MN 是经过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线 a b 2 1 1 1 ? ? 2? 2. 中心 O 的半弦 OP ? MN ,则 2 a | MN | | OP | a b
39.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任 a 2 b2

一点,过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为两顶点)的

a2 交点 N 在直线 l : x ? 上. m
40.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 42. 设双曲线方程 2 ? 2 ? 1 ,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l : y ? kx 的 a b b2 ' 共轭直线 y ? k ' x 上,而且 kk ? 2 . a x2 y 2 43.设 A、B、C、D 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上四点,AB、CD 所在直线的 a b 倾 斜 角 分 别 为 ? , ? , 直 线 AB 与 CD 相 交 于 P, 且 P 不 在 双 曲 线 上 , 则

| PA | ? | PB | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? . ? | PC | ? | PD | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? x2 y 2 44.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为双曲线的焦点, a b ?F1PF2 的外(内)角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个双曲线时,
R、S 形成的轨迹方程是

x2 ? y 2 ? a2 ( {a3b( x ? c)[(a2 ? b2 ) x ? b2c]}2 ? [a4c2 ( x ? c) y]2 ? (ab3c2 y 2 )2 ).

45.设△ABC 三顶点分别在双曲线 ? 上,且 AB 为 ? 的直径,l 为 AB 的共轭直径所在 的直线, l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与双曲线 ? 相切的充要 条件是 D 为 EF 的中点.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N a 2 b2 | PF | e 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
46.过双曲线

x2 y 2 b 2 x1 47. 设A (x1 ,y1) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 上任一点, 过 A 作一条斜率为 2 a b a y1 的直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到双曲线两焦点的距离,则

r1r2 d ? ab .
48.已知双曲线

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? (0 ? ? ?1 ) ( a > 0,b > 0 )和 ,一条直线顺 a 2 b2 a 2 b2

次与它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 50.设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦 a b ? 2b2 2 | PF || PF | ? 点记 ?F ,则 (1) .(2) S ?PF1F2 ? b cot . PF ? ? 1 2 1 2 2 1 ? cos ?
49.已知双曲线 51.设过双曲线的实轴上一点 B(m,o)作直线与双曲线相交于 P、Q 两点,A 为双曲 线实轴的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN: x ? n 于 M,N 两点,

a?m a2 . ?? 2 a?m b (n ? a ) 2 x2 y 2 52.L 是经过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,A、B 是 a b 1 双曲线实轴的两个焦点,e 是离心率,点 P ? L ,若 ?EPF ? ? ,则 ? 是锐角且 sin ? ? 或 e 1 ab ? ? arc sin (当且仅当 | PH |? 时取等号). e c 2 2 x y 53.L 是经过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线,E、 a b F 是双曲线的准线与 x 轴交点,点 P ? L ,e 是离心率, ?EPF ? ? ,H 是 L 与 X 轴的交点 1 1 ab c 是半焦距,则 ? 是锐角且 sin ? ? 或 ? ? arc sin (当且仅当 | PA |? 时取等号). e e c x2 y 2 54.L 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)焦点 F1 且与 x 轴垂直的直线,E、F 是双曲 a b 线准线与 x 轴交点,H 是 L 与 x 轴的交点,点 P ? L , ?EPF ? ? ,离心率为 e,半焦距为 1 1 b 2 2 a ? c 时取等号). c,则 ? 为锐角且 sin ? ? 2 或 ? ? arc sin 2 (当且仅当 | PF1 |? e e c
则 ?MBN ? 90 ?

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交 a 2 b2 (2a 2 ? b2 )2 于 A、B 两点,将 A、B 与双曲线左焦点 F1 连结起来,则 | F1 A | ? | F1 B |? (当 a2
55.已知双曲线 且仅当 AB⊥x 轴时取等号).

x2 y 2 56.设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有
2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 S ? cot ? . .(2) .(3) tan ? tan ? ? 1 ? e ?PAB b2 ? a 2 | a 2 ? c 2co s2 ? | x2 y 2 57.设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦 a b 点的区域) 、外部的两点,且 xA 、 xB 的横坐标 xA ? xB ? a2 , (1)若过 A 点引直线与双曲线 这一支相交于 P、Q 两点,则 ?PBA ? ?QBA ; (2)若过 B 引直线与双曲线这一支相交于
(1) | PA |? P、Q 两点,则 ?PBA ? ?QBA ? 180 . 58.设 A、B 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦 a 2 b2

点的区域) ,外部的两点, (1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点, (若 B P 交双曲线这一支于两点,则 P、Q 不关于 x 轴对称) ,且 ?PBA ? ?QBA ,则点 A、B 的横 坐标 xA 、 xB 满足 xA ? xB ? a2 ; (2)若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,且

?PBA ? ?QBA ? 180 ,则点 A、B 的横坐标满足 xA ? xB ? a2 .
x2 y 2 ? 2 ? 1 的实轴的两个端点,QQ' 是与 AA' 垂直的弦,则直线 2 a b x2 y 2 ' ' AQ 与 AQ 的交点 P 的轨迹是双曲线 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 60.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD,则 a b 2 8ab ?| AB | ? | CD | . | a 2 ? b2 | c?a x2 y 2 61.到双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)两焦点的距离之比等于 (c 为半焦距)的 b a b 2 2 2 动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? ec) ? y ? (eb) .
59.设 A, A 是双曲线
'

c?a x2 y 2 62.到双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的实轴两端点的距离之比等于 (c 为半焦 b a b 2 2 2 距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ? a) ? y ? b . c?a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 (c 2 b a b b 2 2 2 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 ( x ? a ) ? y ? ( ) (e 为离心率). e 2 2 x y ' 64.已知 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上一个动点, A , A 是它实轴的两个端 a b
63.到双曲线

' 点,且 AQ ? AP , AQ ? A' P ,则 Q 点的轨迹方程是

x2 b2 y 2 ? 4 ? 1. a2 a

65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实 轴之长的比例中项. 66.设双曲线 过 P 作斜率为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)实轴的端点为 A, A' , P( x1 , y1 ) 是双曲线上的点 a 2 b2

b 2 x1 的直线 l ,过 A, A' 分别作垂直于实轴的直线交 l 于 M , M ' ,则 a 2 y1 ' ' (1) | AM || A' M ' |? b2 .(2)四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab .

x2 y 2 67.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右 a b 焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经
过线段 EF 的中点.

( x ? a)2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0,且 a ? b )的两条互相垂直的弦, 68.OA、OB 是双曲线 a2 b 2ab 2 , 0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两 O 为坐标原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( 2 b ? a2 ab2 2 2 ab2 2 圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 ( x ? 2 2 ) ? y ? ( 2 2 ) ( x ? 0) . b ?a b ?a 2 2 ( x ? a) y ? 2 ? 1(a>0,b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂 69. P(m, n) 是双曲线 2 a b 2ab 2 ? m(b 2 ? a 2 ) n(a 2 ? b 2 ) , 2 ) .(2)以 P A、P 直的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( b2 ? a 2 b ? a2
B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

(x ?

ab2 ? a 2 m 2 b2 n 2 a 2 [b4 ? n2 (a 2 ? b2 )] ( x ? m 且 y ? n ). ) ? ( y ? ) ? b2 ? a 2 b2 ? a 2 (b2 ? a 2 )2 70. 如果一个双曲线虚半轴长为 b, 焦点 F1、 F2 到直线 L 的距离分别为 d1、 d2, 那么 (1) 2 d1d2 ? b ,且 F1、F 2 在 L 同侧 ? 直线 L 和双曲线相切,或 L 是双曲线的渐近线.(2)

(3) d1d2 ? b2 ,或 F1、F2 在 L d1d2 ? b2 ,且 F1、F2 在 L 同侧 ? 直线 L 和双曲线相离, 异侧 ? 直线 L 和双曲线相交. x2 y 2 71.AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的实轴, N 是双曲线上的动点,过 N 的切 a b 线与过 A、B 的切线交于 C 、 D 两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x2 ? 4a2 y 2 ? 1( y ? 0) .

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的内部((含焦点的区域))一定 a 2 b2 点,AB 是双曲线过定点 P( x0 , y0 ) 的任一弦. (1) 如 a ? b , 则 当 弦 AB 垂 直 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 2 2 2 2 (b2 x0 ? a y0 2 ) ? a b (| PA | ? | PB |)min ? . a2 (2) 如 a ? b , 则 当 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 , (b2 x0 2 ? a 2 y0 2 ) ? a 2b2 (| PA | ? | PB |)min ? . b2
72.设点 P( x0 , y0 ) 为双曲线

73.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77.双曲线焦三角形中 ,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80.双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及 外点到同侧焦点的距离成比例. 81.双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、 外点与同侧焦点连线段成比例. 82. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂 足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足 的距离为双曲线实半轴的长. 84. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧 焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦 的比为定值 e. 86.双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87.双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88. 双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交 点为直径的圆必过两焦点.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上有一点 P ,过 P 分别引其渐近线的平行线, a 2 b2 分别交 x 轴于 M , N ,交 y 轴于 R, Q , O 为原点,则:
89. 已知双曲线 (1) | OM | ? | ON |? a ; (2) | OQ | ? | OR |? b .
2 2

b b x 及 l2 : y ? ? x 的 平 行 线 , 分 别 交 x 轴 于 a a M , N , 交 y 轴 于 R, Q . ( 1 ) 若 | O M | ,则 P 的轨迹方程是 ? |O N ?| 2 a
90. 过 平 面 上 的 P 点 作 直 线 l1 : y ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) .(2) 若 | OQ | ? | OR |? b2 , 则 P 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) . a 2 b2 x2 y 2 91. 点 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 x 轴、 a b b y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y ? ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的 a ab 面积为 S1 , S2 ,则: | S1 ? S 2 |? . 2 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N , b ab 交直线 y ? ? x 于 Q, R , 记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S2 , 已知 | S1 ? S 2 |? , 则P a 2 x2 y 2 y 2 x2 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 或 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) . a b b a


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