2017年北京市西城区高三一模 文科数学试题及参考答案(word版)


西城区高三统一测试

数学(文科)2017.4
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {1, 4} ,那么 A ? ?U B ? (A) {3,5} (C) {1, 2, 4,6} 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 3.双曲线 y 2 ? (B) {2, 4,6} (D) {1, 2,3,5,6}

1? i 的对应点位于 i
(B)第二象限 (D)第四象限

x2 ? 1 的焦点坐标是 3
(B) ( 2,0) , (? 2,0) (D) (2,0) , (? 2,0)

(A) (0, 2) , (0, ? 2) (C) (0, 2) , (0, ?2) 4.函数 f ( x) ? ( ) x ? log2 x 的零点个数为 (A) 0 (B) 1

1 2

(C) 2

(D) 3

5.函数 f ( x) 定义在 (??, ??) 上.则“曲线 y ? f ( x) 过原点”是“ f ( x) 为奇函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 6.在 △ ABC 中,点 D 满足 BC ? 3 BD ,则 (A) AD ? (C) AD ?
?? ? ?? ? ? 2 ?? ? 1 ?? AB ? AC 3 3 ? 1 ?? ? 2 ?? AB ? AC 3 3
?? ? ?? ?

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(B) AD ? (D) AD ?
?? ?

?? ?

? 2 ?? ? 1 ?? AB ? AC 3 3 ? 1 ?? ? 2 ?? AB ? AC 3 3

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7.在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.如果小 正方形网格的边长为 1,那么该四面体最长棱的棱长为 (A) 4 3 (B) 6 (C) 4 2 (D) 2 5 8.函数 f ( x) 的图象上任意一点 A( x, y) 的坐标满足条件 | x | ≥ | y | ,称函数 f ( x) 具有性 质 P .下列函数中,具有性质 P 的是 (A) f ( x) ? x 2 (C) f ( x) ? sin x (B) f ( x) ?

1 x ?1
2

(D) f ( x) ? ln( x ? 1)

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.函数 f ( x) ?

x 的定义域为____. x ?1

1 10. 执行如图所示的程序框图. 当输入 x ? ln 时, 输出的 y 值为____. 2
11.圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心坐标是____; 直线 l : x ? y ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,则 | AB | ? ____. 12.函数 f ( x) ?

sin 4 x 的最小正周期是____. 1 ? cos4 x

? x ≤ 1, ? 13.实数 x, y 满足 ? y ≤ 2, 则 x 2 ? y 2 的最大值是____;最小值是____. ?2 x ? y ? 2 ≥ 0, ?
14. 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动. 平面区域 W 由所有满足 A1P ≥ 5 的点 P 组成,则 W 的面积是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说
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明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是等比数列, a1 ? 3 , a4 ? 24 .数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b4 ? ?8 ,且 {an ? bn } 是 等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和.

16. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a tan C ? 2c sin A . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值. 17. (本小题满分 13 分) 在测试中,客观题难度的计算公式为 P i ? 数, N 为参加测试的总人数. 现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试,共 5 道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了 每道题的难度,如下表所示: 题号 考前预估难度 Pi 表示答对, “×”表示答错) :
学生编号题号

Ri ,其中 Pi 为第 i 题的难度, Ri 为答对该题的人 N

1 0.9

2 0.8

3 0.7

4 0.6

5 0.4

测试后,从中随机抽取了 10 名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示( “√” 1 2 √ √ √ √ √ 3 √ √ √ √ √ 4 √ √ √ 5 √

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

×
√ √ √ √ √

×
√ √ √

× × ×


×


×


×
√ √ √

×
√ √

× ×


× ×


× × × × ×

(Ⅰ)根据题中数据,将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表, 并估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数; 题号 实测答对人数 实测难度 1 2 3 4 5

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(Ⅱ)从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人,求恰好有 1 人答对第 5 题的概率;

1 2 2 2 ? 为第 i 题的实测难 ?? P ??P ? ?P (Ⅲ)定义统计量 S ? [( P i 1 1 ) ? (P 2 2 ) ? ? ? (P n n ) ] ,其中 P n 度, Pi 为第 i 题的预估难度 ( i ? 1,2,?, n ) .规定:若 S ? 0.05 ,则称该次测试的难度预估合理,否
则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? 底面 ABCD , PA ? AC .过 点 A 的平面与棱 PB, PC , PD 分别交于点 E, F , G ( E, F , G 三点均不在棱的端点处) . (Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 PC ? 平面 AEFG ,求

PF 的值; PC

(Ⅲ)直线 AE 是否可能与平面 PCD 平行?证明你的结论.

19. (本小题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 C :
| AF | ? 3 .

x2 y 2 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , A(?a,0) , F 为椭圆 C 的右焦点. a 2 b2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 O 为原点, 直线 OM 与直线 x ? 4 交于点 D , P 为椭圆上一点,AP 的中点为 M . 过 O 作 OE ? DF ,交直线 x ? 4 于点 E .求证: OE //AP .

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x2 . 设 l 为曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线, 其中 x0 ?[?1,1] . (Ⅰ)求直线 l 的方程(用 x0 表示) ; (Ⅱ)求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围; (Ⅲ)设直线 y ? a 分别与曲线 y ? f ( x) 和射线 y ? x ? 1 ( x ?[0, ??)) 交于 M , N 两点,求 | MN | 的最小值及此时 a 的值.

1 2

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西城区高三统一测试

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2017.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 5.B6.C 7.B 2.D 8.C 3.C 4.B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. {x | x ≥ 0 ,且 x ? 1} 10. 12.

1 11. (1,1) ; 2 2

4 π π 13. 5 ; 14. 4 ? 2 4 5

注:第 11,13 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由题意得

q3 ?

a4 ? 8 ,解得 q ? 2 .[2 分] a1

所以 an ? a1 ? qn?1 ? 3 ? 2n?1 ( n ? 1,2,?) .[4 分] 设等差数列 {an ? bn } 的公差为 d ,由题意得

d?

(a4 ? b4 ) ? (a1 ? b1 ) 16 ? 4 ? ? 4 .[6 分] 4 ?1 3

所以 an ? bn ? (a1 ? b1 ) ? (n ? 1)d ? 4n .[8 分] 从而 bn ? 4n ? 3 ? 2n?1 ( n ? 1,2,?) . [9 分]

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4n ? 3 ? 2n?1 ( n ? 1,2,?) . 数列 {4n } 的前 n 项和为 2n(n ? 1) ;数列 {3 ? 2n?1} 的前 n 项和为 3 ? (2n ? 1) .[12 分] 所以,数列 {bn } 的前 n 项和为 2n 2 ? 2n ? 3 ? 2n ? 3 . [13 分]

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16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 a tan C ? 2c sin A , 得
a sin C ? ? 2sin A .[ 1 分] c cos C sin A sin C ? ? 2sin A .[ 3 分] sin C cos C

由正弦定理得 所以 cos C ?

1 .[ 4 分] 2 因为 C ? (0, π) ,[ 5 分]
所以 C ?

π .[ 6 分] 3
2π ? A) [7 分] 3

(Ⅱ) sin A ? sin B ? sin A ? sin(

3 3 ? sin A ? cos A [9 分] 2 2 π ? 3sin( A ? ) .[11 分] 6 π 2π 因为 C ? ,所以 0 ? A ? ,[12 分] 3 3 π 所以当 A ? 时, sin A ? sin B 取得最大值 3 .[13 分] 3

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表: 题号 实测答对人数 实测难度 [4 分] 所以,估计 120 人中有120 ? 0.2 ? 24 人答对第 5 题.[5 分] (Ⅱ)记编号为 i 的学生为 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) , 从这 5 人中随机抽取 2 人,不同的抽取方法有 10 种. 其中恰好有 1 人答对第 5 题的抽取方法为 ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , A4 ) , ( A2 , A5 ) , 1 8 0.8 2 8 0.8 3 7 0.7 4 7 0.7 5 2 0.2

( A3 , A5 ) , ( A4 , A5 ) ,共 6 种.[9 分]
所以, 从抽样的 10 名学生中随机抽取 2 名答对至少 4 道题的学生, 恰好有 1 人答对第 5 题 的概率为 P ?

6 3 ? .[10 分] 10 5

? ? (Ⅲ) P i 为抽样的 10 名学生中第 i 题的实测难度,用 P i 作为这 120 名学生第 i 题的实测难度.
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1 S ? [(0.8 ? 0.9)2 ? (0.8 ? 0.8)2 ? (0.7 ? 0.7)2 ? (0.7 ? 0.6)2 ? (0.2 ? 0.4)2 ] 5
? 0.012 .[12 分]

因为 S ? 0.012 ? 0.05 , 所以,该次测试的难度预估是合理的.[13 分]

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC .[1 分] 因为 ABCD 为正方形, 所以 AB ? BC ,[2 分] 所以 BC ? 平面 PAB .[3 分] 所以平面 PAB ? 平面 PBC .[4 分] (Ⅱ)连接 AF .[5 分] 因为 PC ? 平面 AEFG , 所以 PC ? AF .[7 分] 又因为 PA ? AC , 所以 F 是 PC 的中点.[8 分] 所以

PF 1 ? .[9 分] PC 2

(Ⅲ) AE 与平面 PCD 不可能平行.[10 分] 证明如下: 假设 AE // 平面 PCD , 因为 AB //CD , AB ? 平面 PCD . 所以 AB // 平面 PCD .[12 分] 而 AE,AB ? 平面 PAB , 所以平面 PAB // 平面 PCD ,这显然矛盾![13 分] 所以假设不成立, 即 AE 与平面 PCD 不可能平行.[14 分]

19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c .依题意,得
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c 1 ? , a ? c ? 3 .[2 分] a 2 解得 a ? 2 , c ? 1 .
所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , x2 y2 所以椭圆 C 的方程是 ? ? 1 .[5 分] 4 3 (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 A(?2,0) .设 AP 的中点 M ( x0 , y0 ) , P( x1 , y1 ) . 设直线 AP 的方程为: y ? k ( x ? 2) (k ? 0) ,将其代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 3) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,[7 分]
?16k 2 .[8 分] 4k 2 ? 3 ?8 k 2 6k 所以 x0 ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 , 4k ? 3 4k ? 3

所以 ?2 ? x1 ?

?8 k 2 6k , 2 ) .[9 分] 2 4k ? 3 4k ? 3 6k 2 3 所以直线 OM 的斜率是 4k ?2 3 ? ? ,[10 分] ?8 k 4k 4k 2 ? 3 3 3 所以直线 OM 的方程是 y ? ? x .令 x ? 4 ,得 D(4, ? ) .[11 分] 4k k 3 ? 1 k ? ? ,[12 分] 由 F (1,0) ,得直线 DF 的斜率是 4 ?1 k 因为 OE ? DF ,所以直线 OE 的斜率为 k ,[13 分] 所以直线 OE //AP .[14 分] 解法二:由(Ⅰ)得 A(?2,0) .设 P( x1 , y1 ) ( x1 ? ?2) ,其中 3x12 ? 4 y12 ? 12 ? 0 . x ? 2 y1 因为 AP 的中点为 M ,所以 M ( 1 , ) .[ 6 分] 2 2 y1 所以直线 OM 的斜率是 kOM ? ,[ 7 分] x1 ? 2 y1 4 y1 所以直线 OM 的方程是 y ? x .令 x ? 4 ,得 D(4, ) .[ 8 分] x1 ? 2 x1 ? 2
即M( 由 F (1,0) ,得直线 DF 的斜率是 k DF ? 因为直线 AP 的斜率是 k AP ? 所以 k DF ? k AP ?

4 y1 . 3( x1 ? 2)

[ 9 分]

y1 ,[10 分] 2 ? x1
[12 分] [13 分]

4 y12 ? ?1 , 3( x12 ? 4)

所以 AP ? DF . 因为 OE ? DF , 所以 OE //AP . 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)对 f ( x) 求导数,得 f ?( x) ? ex ? x ,[1 分] [14 分]

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所以切线 l 的斜率为 f ?( x0 ) ? e x0 ? x0 ,[2 分]

1 2 由此得切线 l 的方程为: y ? (e x0 ? x0 ) ? (e x0 ? x0 )( x ? x0 ) , 2 1 2 即 y ? (ex0 ? x0 ) x ? (1 ? x0 )ex0 ? x0 . 2 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,直线 l 在 y 轴上的截距为 (1 ? x0 )ex0 ? x0 .[4 分] 2

[3 分]

1 2 x 所以 g ?( x) ? x(1 ? e ) ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 .
设 g ( x) ? (1 ? x)ex ? x2 , x ? [?1,1] .
g ( x) , g ?( x) 的变化情况如下表:
x

?1

( ? 1, 0)
?

0 0

(0,1)
?

1

g ?( x) g ( x)

2 1 ? e 2



1



1 2

所以函数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上单调递减,[6 分]

2 1 1 ? , [ g ( x)]min ? g (1) ? , e 2 2 1 2 1 所以直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是 [ , ? ] .[8 分] 2 e 2
所以 [ g ( x)]max ? g (?1) ? (Ⅲ)过 M 作 x 轴的垂线,与射线 y ? x ? 1 交于点 Q , 所以△ MNQ 是等腰直角三角形.[ 9 分] 所以 | MN | ? | MQ | ? | f ( x) ? g ( x) | ? | e x ? x2 ? x ? 1| .[10 分] 设 h( x) ? e x ? x2 ? x ? 1 , x ? [0, ??) , 所以 h?( x) ? ex ? x ? 1 . 令 k ( x) ? e x ? x ? 1 ,则 k ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ( x ? 0) , 所以 k ( x) ? h?( x) 在 [0, ??) 上单调递增, 所以 h?( x) ≥ h?(0) ? 0 , 从而 h( x) 在 [0, ??) 上单调递增,[12 分] 所以 [h( x)]min ? h(0) ? 2 ,此时 M (0,1) , N (2,1) . 所以 | MN | 的最小值为 2 ,此时 a ? 1 .[13 分]

1 2

1 2

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