湖北省襄阳市第四中学2017届高三数学七月第二周周考试题 理


湖北省襄阳市襄阳四中 2017 届高三七月第二周周考数学(理科)试 题(7.20)
时间:120 分钟 分值 150 分 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 M ? ? y | y ? x ? A. M ? N ? ? C. M ? CR M

? ?

1 ? 集合 N ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , 则 ( , x ? R, x ? 1? , x ?1 ?



B. M ? CR N D. M ? N ? R )

2.复数 z 为纯虚数,若? ? 3 ? i ? z ? a ? i (为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣3 B.3 C.﹣ D. 3.下列函数中,既是偶函数,又在(0, ? ? )上是单调减函数的是( A.



y ? ?2

x

B. y D. y

?x

1 2

C. y ? ln x ? 1

? cos x

4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m,n 的比值

m =( ) n

A.1

B.

1 3

C.

2 9

D.

3 8

5.给出下列命题,其中真命题的个数是( ①存在 x0 ? R ,使得 sin x0 ? cos x0 ? 2sin

)

7? 成立; 24
? ? ? ? ? ?

②对于任意的三个平面向量 a 、 b 、 c ,总有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c ) 成立; ③相关系数 r ( | r |? 1 ), | r | 值越大,变量之间的线性相关程度越高. A.0 B.1 C.2 D.3 )

?

?

?

6.由曲线 y ?

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为(

1

A.

16 3

B.

10 3

C.4

D.6

7.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的所有棱中最长的是( )

A. B. C. D.5 8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是(



A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

9.将函数 f(x)=3sin(4x+

?
6

)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 ) D.x=

?
6



单位长度,得到函数 y=g(x)的图象.则 y=g(x)图象的一条对称轴是( A.x=

?
12

B.x=

?
6

C.x=

?
3

2? 3

10.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2

两条渐近线的交点分别为 B, C ,若 A, B, C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为 ( A. 3 ) B. 2 2 C. 10 D. 2 3

2

?x ? 2 y ? 2 ? 11.已知变量 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ?4 x ? y ? ?1 ?
A. ?- , 6?

? 3 ? ? 2 ?

B. ?- , -1 2 ?

? 3 ?

? ?

C. ?- 1,6?

D. ?- 6, ?

? ?

3? 2?

12.已知函数 f ( x) ? ? 2

?1 x 2 ? 1, x ? 0 ? ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点,则 ? ?? ln(1 ? x), x ? 0

k 的取值范围为( A. (0,1)

) B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1, ??)

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13 . 设 a ?

?

?

0

(sin x ? cos x )dx , 若 (1 ? ax) 8 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? a8 x 8 , 则


a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 =

14.在直径 AB=2 的圆上有长度为 1 的动弦 CD,则 AC ? BD 的最大值是

???? ??? ?



15 . 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若

AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC ,
AA1 ? 12 ,则球 O 的表面积为________.
16. ?ABC中,a ? 3, b ?

2, ?B ? 45? , 则?A= _________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.共 70 分. 17 . ( 本 题 12 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 :
2 Sn ?1 ? kan ? tan ? 1, n≥2, n ? N* (其中 k , t 为常数) .

(1)若 k ?

1 1 , t ? ,数列 ?an ? 是等差数列,求 a1 的值; 2 4

(2)若数列 ?an ? 是等比数列,求证: k ? t . 18. (本题 12 分)某单位员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第组 ? 25,30 ? , 第 2 组 ?30,35 ? ,第 3 组 ?35, 40 ? ,第 4 组 ? 40, 45 ? ,第 5 组 ? 45,50 ? ,得到的频率分布直方图
3

如图所示.

(1)下表是年龄的频率分布表,求正整数 a, b 的值; 区间 人数

? 25,30 ?
50

?30,35?
50

?35, 40 ?
a

? 40, 45?
150

? 45,50 ?
b

(2)现在要从年龄较小的第 1, 2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人 ,年龄在第 1, 2,3 组抽取 的员工的人数分别是多少? (3) 在(2) 的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有人年 龄在第 3 组的概率. 19. (本题 12 分) 如图, 在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 ? , 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上.

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值. 20. (本题 12 分)已知椭圆 的离心率为 ,且 a =2b.
2

(1)求椭圆的方程; 2 2 (2) 直线 l: x﹣y+m=0 与椭圆交于 A, B 两点, 是否存在实数 m, 使线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 21. (本题 12 分)函数 f ( x) ? e ? ax ? a (a ? R ), 其图像与 x 轴交于 A( x1 ,0), B ( x2 ,0) 两点,
x

且 x1 ? x2 . (1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ' ( x1 x2 ) ? 0 ; ( f ' ( x) 为 f ( x) 的导函数; )

4

(3) 设点 C 在函数 f ( x) 图像上, 且△ABC 为等腰直角三角形, 记

x2 ? 1 ? t, 求 (a ? 1 ) (t ? 1) x1 ? 1

的值. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. (本题 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图, P 是圆 O 外一点, PA 是圆 O 的切线, A 为切点,割线 PBC 与圆 O 交于 B , C , PC ? 2 PA , D 为 PC 中点, AD 的延长线交圆 O 于点 E ,证明:

A B D O C

P

E
(Ⅰ) BE ? EC ; (Ⅱ) AD ? DE ? 2 PB .
2

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4 一 4:坐标系与参数方程】 已知在直角坐标系 x0y 中,曲线 C1 : ?

? ? x ? 3 cos ? ? sin ? ? ? y ? 3 sin ? ? cos ?

( ? 为参数) ,在以平面直角坐

标系的原点)为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,曲线 C2 :

? ? sin(? ? ) ? 1 .
6
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)曲线 C1 上恰好存在三个不同的点到曲线 C2 的距离相等,分别求这三个点的极坐标. 24. (本题 10 分)选修 4—5: 不等式选讲 已知 a, b, c ? R ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 . (Ⅰ)求证: a ? b ? c ? 3 (Ⅱ)若不等式 x ? 1 ? x ? 1 ? ? a ? b ? c ? 对一切实数 a, b, c 恒成立,求 x 的取值范围.
2

参考答案

5

1.D 【解析】

?y ? x?
试 题 分 析 :

1 1 ? x ?1? ? 1? M ? [3, ??) ? (??, ?1] x ?1 x ?1
, 因 此

; ,

N ? ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? ? [?1,3]

M ? N ? {?1,3}

CR N ? (3, ??) ? (??, ?1) ? M , CR M ? (?1,3) ? M , M ? N ? R ,故选 D.
考点:集合包含关系 【名师点睛】本题重点考查集合间关系,容易出错的地方是审错题意,由求函数值域,易忽 视小于零的情况,导致错求集合 M.属于基本题,难点系数较小.一要注意培养良好的答题习 惯,避免出现粗心错误,二是明确集合题要关注区间端点开与闭,强化对集合关系正确的理 解. 2.D 【解析】 试题分析: 设复数 z ? bi, b ? 0 ,? ? 3 ? i ? z ? a ? i , 化为 ? 3 ? i ? bi ? a ? i , 即 b ? 3bi ? a ? i ,

?b ? a ?

1 , 3

故选 D. 3.A 【解析】 试题分析:B,C 是非奇非偶函数,D 不是恒单调递减,故选 A. 考点:函数单调性与奇偶性. 4.D 【解析】 试题分析:由茎叶图可知乙的中位数是

32 ? 34 ? 33 ,甲、乙两组数据中位数相同所以 2 39 ? 33 ? 27 m ? 3 ,所以甲的平均数为 ? 33 ,甲、乙两组数据平均数也相同,所以 3 32 ? 34 ? 38 ? 20 ? n m 3 ? 33 解得 n ? 8 ,所以 = 4 n 8

考点:由茎叶图求中位数及平均数. 5.B 【解析】 试题分析:因为 sin x ? cos x ?

7? ? ?? ? ? 2sin ? 2 ,故①为假 2 sin ? x ? ? ? 2 ,2sin 24 4 4? ?

命题,对于②向量的数量积不满足结合律,故为假命题,③由相关性判断方法可知,为真命 题,综上可知,真命题的个数为,故选B. 考点:命题真假判断. 6.A 【解析】

6













?y ? x ? ? ? ?y ? x ? 2





x ? 4, y ? 2











??
4 0

?2 3 ? 4 16 x2 x ? x ? 2 dx ? ? x 2 ? ? 2 x ?| ? . 0 2 3 ?3 ?

?

考点:定积分. 7.B 【解析】 试题分析:本题只要画出原几何体,理清位置及数量关系,由勾股定理可得答案. 解:由三视图可知原几何体为三棱锥, 其中底面△ABC 为俯视图中的直角三角形,∠BAC 为直角, 其中 AC=3,AB=4,BC=5,PB⊥底面 ABC,且 PB=4, 由以上条件可知,∠PBC 为直角,最长的棱为 PC, 在直角三角形 PBC 中,由勾股定理得, 故选:B ,

考点:由三视图求面积、体积. 8.A 【解析】 试题分析:根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中各变量值变化如下表: 是否继续循环 S K 循环前/0 0 第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否 ∴最终输出结果 k=4,故答案为 A. 考点:程序框图. 9.C 【解析】 试 题 分 析 : 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 两 倍 , 得 到 y ? 3sin(2 x ?

?
6

) ,再向右移动

?
6

得到

7

y ? 3sin(2 x ? ) ,注意到 sin(2 ? ? ) ? 1 ,故对称轴为 x ? . 6 3 6 3
考点:三角函数图象变换. 10.C 【解析】由题意, A(a, 0) .双曲线的渐近线方程为 y ? ?

?

?

?

?

b x. a

? y ? ?( x ? a ) ? y ? ?( x ? a ) a2 a2 ? ? 由? ,解得 ;由 ,解得 . x ? x ? b b ? B C a ? b a ? b y ? x y ? ? x ? ? a a ? ?
由题意 xB 2 ? x A xC ,即 (

a2 2 a2 ) ? ? a ,整理得 b ? 3a . a?b a ?b

所以 c ? 10a ,故 e ? 10 .故选 C. 【命题意图】本题主要考查双曲线的性质以及直线方程、等比数列等基础知识,考查基本的 运算能力等. 11.A 【解析】 试题分析:线性约束条件对应的可行域为直线 x ? 2 y ? 2, 2 x ? y ? 4, 4 x ? y ? ?1 围成的区 域,顶点为 ? 0,1? , ? 2, 0 ? , ? ,3 ? ,目标函数 z=3x-y 在点 ? ,3 ? 处取得最小值 ?

?1 ?2

? ?

?1 ?2

? ?

3 ,在点 2

? 2, 0 ? 处取得最大值 6
?? 3 ?z?6 2

考点:线性规划问题 12.C 【解析】 试 题 分 析 : F ( x) ? f ( x) ? kx ? 0, f ( x) ? kx , 画 出 函 数 图 象 如 下 图 所 示 . 令

1 2 1 x ? 1, 4 y 2 ? x 2 ? 1 ,这是双曲线的一支,其渐近线方程为 y ? ? x .由图象可知, 2 2 1 1 渐近线 y ? x 与 f ? x ? 图象只有一个交点.令 y ? ? ln(1 ? x), y ' ? , y ' |x ?0 ? 1 ,故函数 2 1? x 1 y ? ? ln(1 ? x) 在 ? 0, 0 ? 处的切线方程为 y ? x .从而 f ( x) ? kx 的 k 的取值范围是 ( ,1) . 2 y?

8

考点:1.函数导数;2.零点问题. 【思路点晴】 零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点, 如本题中的 F ( x) ? f ( x) ? kx 的零点问题,转化为 f ( x) ? kx 左右两边函数图象有两个交点.我们只需要画出函数图象, 就可以解决这个问题.在函数的第一段中, y ? 为双曲线的一支,其渐近线方程为 y ? ? 围就在这两条直接的斜率之间. 13. 【解析】 试题分析:根据题意可知, a ?

1 2 x ? 1, 4 y 2 ? x 2 ? 1 ,由此可知该图象 2

1 x .另一段求取其过 ? 0, 0 ? 的切线方程, k 的范 2

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ? (? cos x ? sin x) |? 0 ? 2 ,所以

a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 ? (1 ? a)8 ? (1 ? 2)8 ? 1 .
考点:定积分,二项展开式. 14.

1 2

【解析】 试题分析:以 ?? 的中点为原点, ?? 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 x?y ,如图 所示:

连结 ?C 和 ?D ,则 ?D?C ?

?
3

,设 ???C ? ? ( 0 ? ? ? 2? ) ,则 ? ? ?1, 0 ? , ? ?1, 0 ? ,

??? ? ? ?? ? ?? ? ? C ? cos ? ,sin ? ? , D ? cos ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? , 所 以 ?C ? ? cos ? ? 1, sin? ? , 3? 3 ?? ? ? ?
9

??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?D ? ? cos ? ? ? ? ? 1,sin ? ? ? ? ? 3? 3 ?? ? ? ?







??? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ?? 1 ? ? ?C ? ?D ? ? cos ? ? 1? ?cos ? ? ? ? ? 1? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? 3? ? 3? 3? 2 ? ? ? ? 1 3 1 ?? 1 ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 2 2 2 6? 2 ?
, 因 为

0 ? ? ? 2?








?

?

3? , 6 6 6 2 ??? ? ??? ? 1 1 1 ?C ? ?D ? ?1? ? ?1? ? ? ,所以答案应填: . max 2 2 2 ?? ?

?

?

13? 6









??

?

?

??

4? 3





?

考点:1、任意角的三角函数;2、平面向量的坐标运算;3、两角和与差的余弦公式;4、辅 助角公式;5、三角函数的图象与性质 . 15. 169? 【解析】

25 144 169 ?5? 试题分析:由下图可知,球心在 O 的位置,球的半径为 R ? ? ? ? 62 ? , ? ? 4 4 4 ?2?
2

2

故表面积为 4? R 2 ? 169? .

考点:球的内接几何体. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形, 它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体 长宽高分别为 a, b, c 则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.直棱柱;

?h? 有一条棱垂直于一个面的棱锥,设高为 h 其外接球半径 R 公式秒杀公式 R ? ? ? ? x 2 . ?2?
2

2

16.

?
3



2? 3

【解析】 试题分析:据正弦定理可求出角 B 的正弦值,进而得到其角度值.

? b ? 2,a ? 3,?B ? 45?




















10

a b 3 ? 2? . = ? sinA ? 2 ??A ? 或 sinA sinB 2 3 3
考点:正弦定理. 17. (1) a1 ? 1 ? 5 ; (2)证明见解析. 【解析】
1 1 2 试题分析: ( 1 ) 已 知 条 件 是 Sn ?1 ? an ? an ?1 , 这 种 问 题 一 般 都 是 再 写 一 次 即 2 4 1 1 2 Sn ? an ?1 ? an ?1 ? 1 ,两式相减变形后可得 an ?1 ? an ? 2 ,注意这里有 n ? 2 ,但由于数列 2 4
2 (2)与(1) {an } 是等差数列,因此也有 a2 ? a1 ? 2 ,代入已知 a1 ? a2 ? a2 ? 1 可求得 a1 ;

1 2

1 4

2 2 相同方法得 an ? kan ?1 ? kan ? tan ?1 ? tan ( n≥2) ,由数列 ?an ? 是等比数列,可设 an ?1 ? qan ,代

入化简得 ? t (q 2 ? 1)an ? kq ? k ? 1 (n≥2) ,下面对此式分析,首先 q ? 0 , q ? 1 , {an } 不是 常 数列,这样此式对 n ? 2 恒成立,必有 t ? 0 ,恒等式变为 kq ? k ? 1 ? 0 ,不能得出什么 有用结论,回到已知条件,已知变为? Sn ?1 ? kan ? ?1 ,此式中, an ? 0, S n ?1 ? 0 ,那么只能 有 k ? 0 ,命题得证.
1 1 2 试题解析: (1)由题意知, Sn ?1 ? an ? an ?1 2 4 1 1 2 ? Sn ? an ?1 ? an ?1 ? 1 , 2 4 1 1 1 2 1 2 两式相减,得: an ? an ?1 ? an ? an an (n≥2) , ?1 ? 2 2 4 4 (*) ,

整理,得: (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? 2) ? 0 (n≥2) ,
? an ? 0 ,? an ?1 ? an ? 2 (n≥2) ,

? 数列 ?an ? 是等差数列,? a2 ? a1 ? 2 ,
1 1 2 由 (*) 得: a1 ? a2 ? a2 ? 1 ,? a1 ? 1 ? 5 , 2 4
? a1 ? 0 , a1 ? 1 ? 5 ;
2 2 ? 1 得 Sn ? kan ?1 ? tan (2)由 Sn ?1 ? kan ? tan ?1 ? 1 ,

2 2 两式相减,得: an ? kan ?1 ? kan ? tan ?1 ? tan ( n≥2) ,
2 2 ? tan 设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,? an ? kqan ? kan ? tq 2 an ,

11

? t (q 2 ? 1)an ? kq ? k ? 1 (n≥2) ,由已知,可知 q ? 0 ,
? q ? 1 , ?an ? 不是常数列,? t ? 0 ;

? Sn ?1 ? kan ? ?1 ,而 an ? 0 且 Sn ?1 ? 0 ,? k ? 0 ,
?k ? t . 考点:等差数列与等比数列的定义.

14 18. (1) a ? 200 , b ? 50 (2)人,人, 4 人. (3) 15
【解析】 试题分析: (1)由频数等于总数乘以频率,而频率等于纵坐标乘以组距,因此

a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 , b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 (2)由分层抽样知,按比例抽取:第,
6?
2 组的人数为

50 200 ?1 6? ?4 300 300 ,第 3 组的人数为 (3) 从这 6 人中随机抽取 2 人共

有 15 种方法,其中年龄没人在第 3 组的有 1 种方法,所以至少有人年龄在第 3 组有 14 种方

14 法,从而所求概率为 15
试题解析:解: (1)由题设可知, a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 , b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 . (2)因为第 1, 2,3 组共有 50 ? 50 ? 200 ? 300 人,利用分层抽样在 300 名员工中抽取 6 名

6?
员工,每组抽取人数分别为:第组的人数为

50 50 ?1 6? ?1 300 300 ,第 2 组的人数为 ,

第 3 组的人数为

6?

200 ?4 300 .

所以第 1, 2,3 组分别抽取人,人, 4 人. (3) 设第组的位员工为 A ,第 2 组的位员工为 B ,第 3 组的 4 位员工为 则从六位员工为员工中的两位员工有:

C1 , C2 , C3 , C4 ,

? A, B ? , ? A, C1 ? , ? A, C2 ? , ? A, C3 ? , ? A, C4 ? , ? B, C1 ? , ? B, C2 ? , ? B, C3 ? , ? B, C4 ? ? C1 , C2 ? , ? C1 , C3 ? , ? C1 , C4 ? , ? C2 , C3 ? , ? C2 , C4 ? , ? C3 , C4 ? 共 15 种可能.
其中 2 人年龄都不在第 3 组的有:

? A, B ? ,共种可能.
12

所以至少有人年龄在第 3 组的概率为

1?

1 14 ? 15 15 .

考点:分层抽样,古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 .对于基本事件有“有序”与 “无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的 题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) EM ?

3 10 (Ⅲ) . a; 3 10

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 根据已知条件, 易得在等腰梯形 ABCD 中,AC ? BC ; 又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ)设 AC ? BD ? N ,连接 FM , 当 M 为 EF 中点时, AM / / FN ,从而 AM / / 平面BDF ; (Ⅲ)以 C 为坐标原点 ,

CA, CB, CF 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,求出平面 BEF 和平面 DEF 的法向量,
从而求得 cos ? ? 试题解析: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,? AB // CD , AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60 四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 ?DCA ? ?DAC ? 30 , ?DCB ? 120 ? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90 ?
? ? ?

10 . 10

? AC ? BC 又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平面 ACFE
(Ⅱ)当 EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2

? EM ?

3 a ,而 EF ? AC ? 3a 3

? EM : MF ? 1 : 2 , ? MF // AN , ? 四边形 ANFM 是平行四边形, ? AM // NF 又 ? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF


13

F M E

D N A

C

B

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则

C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , F (0,0, a ) , E ( 3a,0, a )

? FB ? (0, a,?a )
DF ? (?

?

EF ? (? 3a, 0, 0)

3a a , , a) 2 2

平面 BEF 的法向量 m ? (0, 1, 1) ,平面 EFD 的法向量为 n =(0,-2,1) , 所以

cos ? m , n ??

m?n | m|?| n|

??

10 10
10 . 10

又∵二面角 B-E F-D 的平面角为锐角,即 B ? EF ? D 的的余弦值为

考点:空间向量与立体几何.

20. (1)

; (2)实数 m 不存在,理由见解析

【解析】 试题分析: (1)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,b,进而得到椭 圆方程; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M(x0,y0) .联立直线方程和椭圆方程, 运用韦达定理和中点坐标公式,求得 M 的坐标,代入圆的方程,解方程可得 m,进而判断 不

14

存在.

解: (1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1

,a =2b,a ﹣b =c ,

2

2

2

2

故椭圆的方程为



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 线段 AB 的中点为 M(x0,y0) . 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得, 2 2 即 3x +2mx+m ﹣2=0, 2 2 2 △=(2m) ﹣4×3×(m ﹣2)>0,即 m <3, x1+x2=﹣ ,

所以 x0=

,y0=x0+m=



即 M(﹣,
)2

) .又因为 M 点在圆 x +y =5 上,
2

2

2

可得(﹣ +( ) =5, 2 解得 m=±3 与 m <3 矛盾. 故实数 m 不存在. 考点:椭圆的简单性质 . 21. (1) a ? e 2 ; (2)证明见解析; (3) 2 . 【解析】 试题分析: (1) f ' ? x ? ? e ? a ,当 a ? 0 时,函数单调递增,不符合题意;当 a ? 0 时,要
x

函数图像与 x 轴有两个交点,则需要极小值小于零且区间端点函数值大于零,由此可求得 (2)先将 A, B 两点的坐标代入函数中,求出 a 的值,然后求出 f '( x1 x2 ) 的表达 a ? e2 ; 式,利用导数证明这个表达式是单调递减的,由此可证明 f '( x1 x2 ) ? 0 ; (3)根据已知条 件有 e
x1 ? x2 2

?a

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ,利用等腰三角形求出 C 的坐标,代入函数解析式,化简

(a ? 1 ) (t ? 1) ? 2 . 后求得
试题解析: (1)∵f(x)=e ﹣ax+a,∴ f ? ? x ? =e ﹣a,
x x

若 a≤0,则 f ? ? x ? >0,则函数 f(x)是单调增函数,这与题设矛盾.
15

∴a>0,令 f ? ? x ? =0,则 x=lna,当 f ? ? x ? <0 时, x<lna,f(x)单调减, 当 f ? ? x ? >0 时,x>lna,f(x)是单调增函数,于是当 x=lna 时,f(x)取得极小值, ∵函数 f(x)=e ﹣ax+a(a∈R)的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2) , 2 ∴f(lna)=a(2﹣lna)<0,即 a>e ,此时,存在 1<lna,f(1)=e>0,存在 3lna>lna, 3 3 2 f(3lna)=a ﹣3alna+a>a ﹣3a +a>0,又由 f(x)在(﹣∞,lna)及(lna,+∞)上的 2 单调性及曲线在 R 上不间断,可知 a>e 为所求取值范围. (2)∵ ?
x ? e x2 ? e x1 x ? x1 ?e 1 ? ax1 ? a ? 0 ,∴两式相减得 a ? .记 2 , ? s(s ? 0) x2 x ? x 2 e ? ax ? a ? 0 ? 2 1 ? 2
x

? x ? x2 ? 则 f ?? 1 ??e ? 2 ?

x1 ? x2 2

e x2 ? e x1 e 2 ? 2s ? ? e s ? e ? s ?? , ? ? ? x2 ? x1 2s ?
﹣s s ﹣s

x1 ? x2

设 g(s)=2s﹣(e ﹣e ) ,则 g'(s)=2﹣(e +e )<0,∴g(s)是单调减函数,

s

?x ?x ? ? 0 ,∴ f ? ? 1 2 ? ? 0 . 2s ? 2 ? x ? x2 x 又 f'(x)=e ﹣a 是单调增函数,且 1 ∴ f? ? x1 x2 2
则有 g(s)<g(0)=0,而

e

x1 ? x2 2

?

x1 x2 ? 0 .

?

x (3)依题意有 e i ? axi ? a ? 0 ,则 a ? xi ? 1? ? e i ? 0 ? xi>1(i=1,2) .

x

于是 e

x1 ? x2 2

?a

? x1 ? 1?? x2 ? 1?

, 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 显 然 C=90° , ∴

x0 ?

x1 ? x2 ? ? x1 , x2 ? , 2

即 y0=f(x0)<0,由直角三角形斜边的中线性质,可知
x1 ? x2 2

x2 ? x1 x ?x ? ? y0 ,∴ y0 ? 2 1 ? 0 , 2 2

即e ∴a

?

x ?x a ? x1 ? x2 ? ? a ? 2 1 ? 0 , 2 2
a 2 x2 ? x1 ?0, 2

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? ? x1 ? x2 ? ? a ?

即a

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ?

? x ? 1? ? ? x1 ? 1? ? 0 a ? 2 ? ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1?? ? ? 2 2

x2 ? 1 ?1 x ?1 x2 ? 1 a ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 ?t, ∵x1﹣1≠0,则 a ? ?1 ? ? 0 ,又 2 ?? x1 ? 1 x1 ? 1 2 ? x1 ? 1 ? 2
∴ at ?

a 1 2 ,∴(a﹣1) (t﹣1)=2. 1 ? t 2 ? ? ? t 2 ? 1? ? 0 ,即 a ? 1 ? ? 2 2 t ?1

考点:函数导数与不等式. 【方法点晴】这是一个综合性很强的题目,解决含参数问题及不等式问题注意两个转化:利

16

用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分 类讨论和 数形结合思想的应用.将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处 理.简单的分类讨论分类标准主要根据需要来制定. 22. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)连接 AB, AC ,则 PA ? PD ,故 ?PAD ? ?PDA ,根据弦切角等于同弦

? ? EC ? , 所对的圆周角, 可退出 BE 所以 BE ? EC ; (Ⅱ) 由切割线定理得:PA 2 ? PB ? PC ,
由相交弦定理得: AD ? DE ? BD ? DC ,代 入已知条件,化简得 AD ? DE ? 2 PB .
2

试题解析: (Ⅰ)证明:连接 AB , AC ,由题设知 PA ? PD , 故 ?PAD ? ?PDA 因为: ?PDA ? ?DAC ? ?DCA , ?PAD ? ?BAD ? ?PAB , 由弦切角等于同弦所对的圆周角: ?DCA ? ?PAB , 所以: ?DAC ? ?BAD ,从而弧 BE ? 弧 EC ,因此: BE ? EC

A D O P B E
(Ⅱ)由切割线定理得: PA 2 ? PB ? PC ,因为 PA ? PD ? DC , 所以: DC ? 2 PB , BD ? PB 由相交弦定理得: AD ? DE ? BD ? DC 所以: AD ? DE ? 2 PB 考点:几何证明选讲.
? 11π ? ? 5π ? ? π ? 23. (1) x 2 ? y 2 ? 4 , x ? 3 y ? 2 ? 0 ; (2) ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2, ? . 6 ? ? 6 ? ? 3? ? 【解析】 试题分析:本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、 点到直线的距离、两直线间的距离等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化
2

C

能力、计算能力.第一问,先将曲线 C1 的方程平方,利用平方关系,消去参数 ? ,得到曲 线 C1 的普通方程,将曲线 C2 的方程利用两角和的正弦公式展开,再利用 ? sin ? ? y ,

? cos ? ? x 代换,得到曲线 C2 的直角坐标方程;第二问,结合第一问知,曲线 C1 为圆,曲
线 C2 为直线,画出图形,通过图形分析得这三个点分别在平行于直线 C2 的两条直线 l1 , l2

17

上,通过直线的位置得到直线 l1 和 直线 l2 的方程,再与圆的方程联立,得到三个点 E、F、G 的坐标.
2 2 2 ? ? x ? 3cos ? ? sin ? ? 2 3 sin ? cos ?, 试题解析: (1)由题意,得 ? 2 2 2 ? ? y ? 3sin ? ? cos ? ? 2 3 sin ? cos ?,

∴曲线 C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .

π? 3 1 ? ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , ∵曲线 C2 : ? sin ? ? ? ? ? 6 2 2 ? ?
∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 . (2)∵曲线 C1 为圆 C1 ,圆心 C1 (0, 0) ,半径为 r ? 2 ,曲线 C2 为直线, ∴圆心 C1 到直线 C2 的距离 d ? 1 , ∵圆 C1 上恰好存在三个不同的点到直线 C2 的距离相等, ∴这三个点分别在平行于直线 C2 的两条直线 l1 , l2 上, 如图所示,

设 l1 与圆 C1 相交于点 E,F, 设 l2 与圆 C1 相切于点 G, ∴直线 l1 , l2 分别与直线 C2 的距离为 r ? d ? 2 ? 1 ? 1 , ∴ l1 : x ? 3 y ? 0 ,
l2 : x ? 3 y ? 4 ? 0 .

? x 2 ? y 2 ? 4, ? ? x ? 3, ? ? x ? ? 3, ? 由? 得? 或? ? ? ? y ? ?1 ? y ? 1, ? x ? 3 y ? 0, ?

18

即 E ( 3,? 1) , F (? 3, 1) ;
? x 2 ? y 2 ? 4, ? ? x ? 1, ? 由? 得? 即 G (1, 3) , ? ? y ? 3, ? x ? 3 y ? 4 ? 0, ?
? 11π ? ? 5π ? ? π ? ∴E,F,G 这三个点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2, ? . 6 ? ? 6 ? ? 3? ?

考点:参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、 两直线间的距离. 【方法点睛】 参数方程与普通方程的互化: 把参数方程化为普通方程, 需要根据其结构特征, 选取适当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法; 乘法消参法;混合消参法等.把曲线 C 的普通方程 F ( x, y ) ? 0 化为参数方程的关键:一是 适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性.注意方程中的参数的变化范围. 24. (Ⅰ)证 明见解析; (Ⅱ) (??, ? ] ? [ , ??) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由于 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca ) ? a ? b ? c
2 2 2 2 2 2 2

3 2

3 2

a 2 ? b2 b2 ? c2 c2 ? a 2 ( Ⅱ) 由 (Ⅰ )可 知 不等 式 ?( ? ? ) ? 3 ,所以 a ? b ? c ? 3 ; 2 2 2
| x ? 1| ? | x ? 1|? 3 , 利 用 零 点 分 段 法 去 绝 对 值 , 可 求 得 x 的 取 值 范 围 是

3 3 (??, ? ] ? [ , ??) . 2 2
试题解析: (Ⅰ) 因为 a, b, c ? R ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ,所以

(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca ) ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3
所以 (a ? b ? c) 2 ? 3 ?| a ? b ? c |? 方法 2:由柯西不等式

a 2 ? b2 b2 ? c2 c2 ? a 2 ? ? ) 2 2 2

3 当且仅当 a ? b ? c 时取得等号

(a ? b ? c) 2 ? (12 ? 12 ? 12 )(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3 ?| a ? b ? c |? 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知若不等式 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3 ,

?? 2 x ? y ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |? ? 2 ? 2x ?

x ? ?1 ?1 ? x ? 1 x ?1

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从而解得 (??, ? ] ? [ , ??) 考点:不等式选讲.

3 2

3 2

20


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