2014年西工大附中第十一次适应性训练(文科数学)试卷


A

2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十一次适应性训练

数 学(文科)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 M ? x |1gx ? 0? , N ? x | x ? 4 , 则M
2

?

?

?

N?
C.(1,2) D.[1,2] D. y ? x | x |

A.(0,2) B.(1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2

C. y ?

1 x

3.设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

b 为纯虚数”的 i

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则 A. l 与 C 相交 B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D. 以上三个选项均有可能 5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则改样 本的中位数、众数、极差分别是 A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 6.设向量 a =(1, cos ? )与 b =(-1,2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 A.

2 2

B.
x

1 2

C . 0

D. -1

7.设函数 f ( x) ? xe ,则 A.x=1 为 f ( x ) 的极大值点 C.x=-1 为 f ( x ) 的极大值点 B.x=1 为 f ( x ) 的极小值点 D.x=-1 为 f ( x ) 的极小值点

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8.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于 A. ? 3 B. ? 10 C.0 D. ? 2 9.一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 10. 小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b) ,其全程的平均时速为 v,则 A. v= ab B. a<v< ab C.

ab <v<

a?b 2

D. v=

a?b 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围
2



.
2 2

12. 从点 P ( 2,3 )向圆 x ? y ? 1 作两条切线 PA,PB, 切点为 A , B ,则直线 AB 的方程 是 .

13. 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B= b= . 14. 右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米, 水位下降 1 米后,水面宽 米. 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题评分) A.(不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实 数 a 的取值范围是 . B.(几何证明选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E, EF ? DB ,垂足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ? .

? ,c=2 3 ,则 6

C.(坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长 为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 之间的距离为

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴

? , 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2
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?

17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)叙述并证明面面垂直性质定理; (Ⅱ)P( x0 , y0 ) 到直线L:Ax+By+C=0的距离d=

,并证明此公式.

18.(本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟 / 人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率)

19. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
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(Ⅱ)设 bn ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ,求数列 {bn } 的通项公式. an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

20. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ?

ln x , (a?R ) x

(Ⅰ)若 f ( x ) 在定义域上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? xf ( x) 有唯一零点,试求实数 a 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)已知椭圆 C1 : 相同的离心率。 (Ⅰ)求椭圆 C2 的方程;

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 4

(Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

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试卷类型 A
2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十一次适应性训练 数学(文科)参考答案 一.选择题: BDBAA CDADB 二.填空题: 11. (0,8) 12. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 13.2 14. 2 6 15.A. ? ?2, 4? B.5 C. 3 三.解答题 16. 解:(Ⅰ)

函数f ( x)的最大值为3,? A ? 1 ? 3, 即A ? 2, 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ,? 最小正周期T ? ? , 2 ?? ? 2, 故函数f ( x)的解析式为y ? 2sin(2 x ? ) ? 1. 6

?

?

(Ⅱ)

a ? f ( ) ? 2sin(a ? ) ? 1 ? 2, 2 6 ? 1 即sin(a ? ) ? , 6 2 0?a? ?a ?
17.略。 18.解: (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客一次 购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计, 其估计值为:

?
2

,??

?
6

?a??

?
6

?

?
3

,

?
6

?

?
6

, 故a ?

?
3.

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” , A1 , A2 , A3 分别表示事件 “该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” ,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” ,“该 顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

A ? A1

A2

A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件,

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? P( A) ? P( A1

3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10

A2

A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

19. 解: (Ⅰ)∵ a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? 当 n ? 2 时, an ? an?1 ? 2n, an?1 ? an?2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , ∴

an ? a1 ? 2 ? ?n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2? ?,
n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1?

∴ an ? 2 ? ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ??2

当 n ? 1 时, a1 ? 1? ?1 ? 1? ? 2 也满足上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 1? (Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?

?

1 1 n ? ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1

20. 解: f ?( x) ? a ?

1 ? ln x ax 2 ? ln x ? 1 ? , x2 x2
ln x ? 1 , x2

2 ∴ f ?( x) ? 0, ?x ? 0 ,∴ ax ? ln x ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,∴ a ?

1 2 x ? 2 x(ln x ? 1) 3 ln x ? 1 3 ? 2ln x x 2 ? 令 h( x ) ? ,则 有根: , x ? e h ( x ) ? ? ? 0 0 4 3 x2 x x

x ? (0, x0 ) , h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 单增; x ? ( x0 , ??) , h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 单减;
∴ a ? (h( x)) max ? h( x0 ) ?

1 ; 2e3

(Ⅱ) g ( x) ? xf ( x) ? ax ? x ? ln x ? 0 有唯一正实数根,
2

g ?( x) ? 2ax ? 1 ?

1 2ax 2 ? x ? 1 ? ,记 ? ? 1 ? 8a ; x x
x ?1 ? 0, 即函数 y ? g ( x) 在定义域上单调递增, x

(ⅰ)若 a ? 0 , g ?( x) ?

?2 ?2 又 g (e ) ? e ? 2 ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 ,即函数 y ? g ( x) 有唯一零点;

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(ⅱ)若 a ?

1 即 ? ? 0 ,则 2ax2 ? x ? 1 ? 0, 从而 g ?( x) ? 0, 又当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 , 8

而当 x ??? 时, g ( x) ? 0 ;故函数 y ? g ( x) 有唯一零点; (ⅲ)若 0 ? a ?

1 2 ,则 ? ? 1 ? 8a ? 0 ,则方程 2ax ? x ? 1 ? 0 的两根满足: 8 1 1 x1 ? x2 ? ? ? 0, x1 ? x2 ? ? 0 ,即两根均小于 0, 2a 2a

故 2ax2 ? x ? 1 ? 0, ,从而 g ?( x) ? 0, ,由(ⅱ)同理可知,仍满足题意;
2 (ⅳ)若 a ? 0 ,同样 ? ? 0 ,则方程 2ax ? x ? 1 ? 0 的两根为:

x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a ; ? 0 , x2 ? ? 0 (舍) 4a 4a

当 x ? (0, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (0, x1 ) 为增函数, 当 x ? ( x1 , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( x1 , ??) 为减函数, 故当 x ? x1 时, g ( x) 取得最大值 g ( x1 ) ;则 ?

? ax12 ? x1 ? ln x1 ? 0 ? g ( x1 ) ? 0 ? ,即 ? , 2 2 ax ? x ? 1 ? 0 ? ? g ?( x1 ) ? 0 ? 1 1

所以 ?2ln x1 ? x1 ? 1 ? 0 ,即 2ln x1 ? x1 ?1 ? 0 ; 令 ? ( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,则 ? ?( x ) ?

2 ? 1 ? 0, 即 ? ( x) 为定义域上增函数, x

又 ? (1) ? 0 ,所以方程 2ln x1 ? x1 ?1 ? 0 有唯一解 x1 ? 1 , 故 x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ? 1 ,解得 a ? ?1 ; 4a

综上,实数 a 的取值范围为: {a | a ? 0, 或a ? ?1} .

21.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 c2的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 2) , a2 4

a2 ? 4 3 ? , 则a ? 4 。 其离心率为 a 2

故椭圆 c2的方程为

y 2 x2 ? ? 1。 16 4

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(Ⅱ)解法一 A,B 两点的坐标分别记为 ( xA , yA ),( xB , yB ),由 OB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx。

x2 4 ? y 2 ? 1中, 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 4, 所以x A2 ? , 4 1 ? 4k 2 y 2 x2 16 将y ? kx代入 ? ? 1中, 得(4 ? k 2 ) x 2 ? 16, 所以xB 2 ? , 16 4 4 ? k2 16 16 又由OB ? 2OA, 得xB 2 ? 4 x A 2 , 即 ? , 2 4?k 1 ? 4k 2 解得k ? ?1, 故直线AB的方程为y ? x或y ? ? x. 将y ? kx代入
解法二 A,B 两点的坐标分别记为 ( xA , yA ),( xB , yB ) , 由 OB ? 2OA 及(Ⅰ)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,

因此可设直给A, B的方程为y=kx. x2 4 ? y 2 ? 1中, 得(1 ? 4k 2) x 2? 4, 所以x A 2? , 4 1 ? 4k 2 16 16k 2 2 2 (Ⅰ) 由OB ? 2OA, 得x B ? , yB ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 y 2 x2 4 ? k2 将X B 2 , yB 2 代入 ? ? 1中, 得 ? 1, 即4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , 2 16 4 1 ? 4k 解得k ? ?1, 故直线AB的方程为y ? x或y ? ? x. 将y ? kx代入

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