广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一数学上学期12月月考试卷


2015~2016 学年度汕头金山中学高一年级月考 数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1、已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,则 1 ? sin 2 ? 化简的结果为( A、 cos ? 2、若 sin( B、 ? cos ? C、 ? cos ? )

D、以上都不对 )

?
2

? x) ? ?

3 ,且 ? ? x ? 2? ,则 x 等于( 2
B、 ?

A、 ?

4 3

7 6

C、 ?

5 3

D、

11 ? 6


3、设 e1 , e2 是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( A、 e1 与 e1 - e2 C、 e1 -2 e2 与-3 e1 +6 e2
? ? ?

?

?

?

B、 e1 + e2 与 e1 -3 e2
?

?

?

?

?

?

?

4、如图,已知 AB ? a, AC ? b , BD ? 3DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD =(

?

?

D、2 e1 +3 e2 与 e1 -2 e2

?

?

?

?

? ?



? 3? 1? 3? A、 a ? b B、 a ? b 4 4 4 ? ? ? 1 1 3 1? C、 a ? b D、 a ? b 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5、若向量 a, b 满足: a ? 1, a ? b ? a, 2a ? b ? b, 则 b ? (

?

?

?

?



A、 2

B、 2
2

C、 1

D、

2 2


6、在 ?ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA? BC ? CA ? CB ,则 ?ABC 是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

7、 函数 f ( x) ? cos(? x ?

?
3

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 y ? f ( x) 的图象,

只需将函数 g ( x) ? sin(? x ? A、向左平移

?
3

) 的图象(



? 个单位长度 2 ? C、向左平移 个单位长度 4

? 个单位长度 2 ? D、向右平移 个单位长度 4 y
B、向右平移

8、函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ?)( x ? R, ? ? 0,| ? | ? 如图所示,则 ? , ? 的值分别是( )

π ) 的部分图象 2
π 3

2

O

5π 12

x

-1-

π π π B、 2, ? C、 4, ? 3 6 6 9、函数 f ( x) ? x ? cos x 在(0,+∞)内( )
A、 2, ? A、没有零点 C、有且仅有两个零点 10、给出下列命题: ①函数 y ? cos(

D、 4,

π 3

B、有且仅有一个零点 D、有无穷多个零点

2 ? x ? ) 是奇函数; 3 2 5? ) 的一条对称轴; 4

②若 ? , ? 是第一象限角且 ? ? ? ,则 tan? ? tan? ; ③x?

?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

④函数 y ? sin( 2 x ? A、①③

?
3

) 的图象关于点 (
B、②④

?
12

,0) 成中心对称.其中正确命题的序号为(
C、①④ D、②③

) .

??? ? ??? ? ???? ?? ? 11、已知 O 是△ABC 内一点, OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则△AOC 与△BOC 的面积比为(
A、



3 2

B、

5 3
?

C、2

D、3

12、如图,菱形 ABCD 的边长为 2 , ?A ? 60 , M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点 (含边界) ,则 AM ? AN 的最大值为( A、 3 B、 2 3 C、 9 ) D、6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、一个扇形的面积为 4,周长为 8,则扇形的圆心角为 . ___

1 |cos x| 14、函数 f ( x ) = ( ) 在 ? ?? , ? ? 上的单调减区间为__ 3

15、已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 2, AD ? 3 , E 是线段 BC 上的动点, F 是 CD 的中点. 若 ? AEF 为钝角,则线段 BE 长度的取值范围是____ 16、定义平面向量的一种运算: a ? b ?| a || b | sin ? a, b ? ,给出下列命题: ① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b ) ? (?a) ? b ;③ (a ? b ) ? c ? (a ? c ) ? (b ? c ) ; ④若 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| x1 y2 ? x2 y1 | 。 其中所有正确命题的序号是___________.

?

?

? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-2-

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤) ? ? ? ? 17、已知 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? .]

? ? ? (1)求 a ? b 与 a 的夹角的余弦值; ? ? ? ? ? (2)当 |a ? tb| 取得最小值时,试判断 a ? tb 与 b 的位置关系,并说明理由.

18、已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 交点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

) 的图像与 x 轴的

? 2? ,?2) 。 ,且图像上一个最低点为 M ( 3 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式和单调递减区间; (2)当 x ? [

, ] 时,求 f ( x) 的值域。 12 2

? ?

19、已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企 业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维 护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5 %,并且每年给每位待岗员工发放生活 补贴 0.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1 %时,留岗员工每人每年可为企业

36 ) 万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1 %时,留岗员工每人每年可为企 100 x 业多创利润 0 .9 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? ???? ??? ? ??? ? 20、已知 A 、 B 、 C 是直线 l 上的不同的三点, O 是直线外一点,设 OC = ? OA + ? OB 。
多创利润 (1 ? (1)证明: A 、 B 、 C 三点共线的条件是 ? ? ? ? 1

( (2)若 OA ? (3 x ?1) ? OB ?
析式;

uur

uu u r

uuu r 3 ?) y ? OC 成立。记 y ? f ( x) ,求函数 y ? f ( x) 的解 2 ? 3x 1 1 6 3

(3)在(2)的条件下,若对任意 x ? [ , ] ,不等式 | a ? ln x | ? ln[ f ( x) ? 3x] ? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

? 2x ? b 21、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ? x ?1 . 2 ?a
(1)求 a、b 的值;

-3-

(2)若不等式 ? m ? (k ? 2)m ?
2

3 5 ? f ( x) ? m 2 ? 2km ? k ? 对一切实数 x 及 m 恒成 2 2

立,求实数 k 的取值范围; (3) 若函数 g ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 且当 x ? (?1,1) 时, g ( x) ? f ( x) ? x , 求方程 g ( x) ? 0 的所有解.

汕头市金山中学 2015-2016 年度第一学期月考高一数学 参考答案及评分标准 一、选择题答案栏(60 分) 1 B 2 B 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A 9 B 10 A 11 C 12 C

二、填空题(20 分) 13、 2 14、

( , ? ), (? ,0) 2 2

?

?

15、

(1,2)

16、

①④

三、解答题(70 分) 17、

18、解(1)由最低点为 M (

2? , ?2) 得 A=2. 3

-4-

? T ? 2? 2? ? ?2 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? 3? ? 2? ? 2k? ,得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 令 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 2 6 3 ? 2? ? k? ], k ? Z ? 函数的单调递减区间为 [ ? k? , 6 3 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2)? x ? [ , ],      12 2 6 3 6 ? ? ? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2; 6 2 6 ? 7? ? 当 2x ? ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 6 6 2
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 19、设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2000×1%=20,∴当 0 ? x ? 20 且 x∈N 时,

y ? (2000 ? x)( 3.5 ? 1 ?
∵x≤2000×5%

36 144 ) ? 0.5 x ? ?5( x ? ) ? 9000 .36 100 x x

∴当 20 ? x ? 100 且 x∈N 时,

y ? (2000? x)(3.5 ? 0.9) ? 0.5x ? ?4.9 x ? 8800

144 ? ) ? 9000 .36, (0 ? x ? 20, x ? N ) ?? 5( x ? ∴y?? x ? , (20 ? x ? 100, x ? N ) ?? 4.9 x ? 8800
当 0 ? x ? 20 时,有 y ? ?5( x ? 当且仅当 x ?

144 ) ? 9000 .36 ? ?5 ? 2 144 ? 9000 .36 ? 8880 .36 , x

144 ,即 x ? 12 时取等号,此时 y 取得最大值. x

当 20 ? x ? 100 时,函数 y ? ?4.9 x ? 8800为减函数,所以 y ? ?4.9 ? 20 ? 8880? 8782. 综上所述当 x ? 12 时 , y 有最大值 8880 .36 万元.即要使企业年利润最大,应安排 12 名员工 待岗. 20、解: (2)? OA ? (3x ? 1) ? OB ? (

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? OA ? (3x ? 1) ? OB ? (

3 2 ? 3x

???? ? 3 ? y ) ? OC ? 0 , 2 ? 3x ???? ? y ) ? OC ,

-5-

又? A, B, C 在同一条直线上,

? (3 x ? 1) ? (

3 3 3 ? 3 x ,即 f ( x) ? ? 3x , ? y) ? 1 , y ? 2 ? 3x 2 ? 3x 2 ? 3x 3 3 ? 3 x ,∴原不等式为 | a ? ln x | ? ln( ) ? 0, (3)? f ( x) ? 2 ? 3x 2 ? 3x 3 3 得 a ? ln x ? ln ,或 a ? ln x ? ln , 2 ? 3x 2 ? 3x
3 3x 3 2 x ? 3x 2 ? ln ? ln 设 g ( x) ? ln x ? ln , h( x) ? ln x ? ln , 2 ? 3x 2 ? 3x 2 ? 3x 3
依题意知 a< g ( x) 或 a> h ? x ? 在 x ? [ , ] 上恒成立,

1 1 6 3

1 1 ? g ( x) 与 h ? x ? 在 [ , ] 上都是增函数, 6 3 1 1 1 5 ∴要使不等式①成立,当且仅当 a ? g ( ) 或 a ? h ( ) ,即 a ? ln ,或 a ? ln , 6 36 3 3
21、 (1)由于 f ( x) 为 R 上的奇函数,故 f (0) ? 0 ,得 b ? 1
1 2 ? ? 1 ? 2 得 a ? 2 ? ?a ? 2 由 f (?1) ? ? f (1) 得 ? 1? a 4?a ?b ? 1 1?

1 ? 2x 则 f ( x) ? x ?1 2 ?a
(2) f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x x ?1 2 2 ?1 2 ?2
1 1 1 ? 1 , 则 ? ? f ( x) ? 2 ?1 2 2
x

由 2x ?1 ?1 知 0 ?

由于 ? m 2 ? (k ? 2)m ?

3 5 ? f ( x) ? m 2 ? 2km ? k ? 对 m, x ? R 恒成立 2 2

3 1 ? ? m 2 ? ( k ? 2) m ? ? ? ? ? 2 2 则须且只须 ? 对 m ? R 恒成立 5 1 ?m 2 ? 2km ? k ? ? ? 2 2 ?
2 ? ?m ? (k ? 2)m ? 1 ? 0 即 ? 2 对 m ? R 恒成立 ? ?m ? 2km ? k ? 2 ? 0 2 ? ? ? 1 ? ( k ? 2) ? 4 ? 0 只须 ? 得 ?1 ? k ? 0 2 ? ? ? 2 ? ( 2 k ) ? 4( k ? 2) ? 0

(3)当 x ? (?1,1) 时 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? 显然

1 1 ? ?x 2 2x ? 1

1 及 ?x 均为减函数,故 g ( x) 在 ( ?1,1) 上为减函数 2x ? 1 由于 g (0) ? 0 ,故在 ( ?1,1) 内 g ( x) ? 0 有唯一根 x ? 0
由于 g ( x) 周期为 2,由此有 x ? (2k ? 1, 2k ? 1) 内有唯一根 x ? 2k (k ? N ) (1)
-6-

综合得 x ? 2k (k ? N ) 为 g ( x) ? 0 的根 又因为 g (?1) ? g (?1 ? 2) ? g (1) 得 ? g (1) ? g (1) 故 g (1) ? 0 , 因此得 g (2k ? 1) ? 0 (k ? N ) (2) 综合(1) (2)有 g ( x) ? 0 的所有解为一切整数

-7-


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