南通市2013届高三第一次调研测试数学I


南通市 2013 届高三第一次调研测试数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应 的位置上. 1.已知全集 U=R,集合 A ? ?x x ? 1 ? 0? ,则 ?U A ?
i

. 象限. .

2. 已知复数 z= 3 ? 2i (i 是虚数单位), 则复数 z 所对应的点位于复平面的第 3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是

4.定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x∈R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (?2, 0) 时,
f ( x) ? 4 x ,

则 f (2013) ?



5.已知命题 p : “正数 a 的平方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的平方等于 0” ,则 p 是 q 的 . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)

2 y2 6.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心重合,且双曲线的离心 a b

率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为



7.若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104,则 a5 与 a7 的等比中项 为 .

8.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率 为 . .
??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? BA ? BC 9.在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3 , | AB ? AC |?| BC| ,则 ???? = | BC |

10.已知 0 ? a ? 1 ,若 loga (2 x ? y ? 1) ? log a (3 y ? x ? 2) ,且 ? ? x ? y ,则 ? 的最大值 为 11.曲线 f ( x) ? .
f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2



12.如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm, 周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始 计时.则该物体 5s 时刻的位移为 cm.
O
(第 12 题)

13.已知直线 y=ax+3 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 ? 0 相交于 A,B 两点,点 P( x0 , y0 ) 在直线 y=2x 上,且 PA=PB,则 x0 的取值范围为 .
3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 ,则 ? x ?1 y?2

14.设 P(x,y)为函数 y ? x 2 ? 1 ( x ? 3) 图象上一动点,记 m ?

1

当 m 最小时,点 P 的坐标为



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD.
B1 E F A B C A1 C1

D
(第 15 题)

16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b2 的取值范围.

2

17.(本题满分 14 分) 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板, 其周长为 4 米, 这种薄板须沿 其对角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿

AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边
形 ACB ?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
A D P

B?
C

(第 17 题)

B

18.(本题满分 16 分) 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?
an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比 3n
n(an ? a1 ) . 2

数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

3

19.(本题满分 16 分) 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1, 3

k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1).
ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

4

南通市 2013 届高三第一次调研测试数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应 的位置上. 1.已知全集 U=R,集合 A ? ?x x ? 1 ? 0? ,则 ?U A ? 答案: (??, ?1] . 2.已知复数 z= 3 ? 2i (i 是虚数单位),则复数 z 所对应的点位于复平面的第
i







象限. 答案:三. 3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是 答案:48. 4.定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x∈R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (?2, 0) 时,
f ( x) ? 4 x ,





则 f (2013) ?
1 答案: . 4





5.已知命题 p : “正数 a 的平方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的平方等于 0” , 则 p 是q的 ▲ . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)
开始 输入 x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出 x
(第 8 题)

答案:否命题.
2 y2 6.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心重合, a b

且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为
2 y 答案: x ? ? 1 . 5 20 2





7.若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为 答案: ?4 2 . 8.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为
3 答案: . 8





Y





结束

5

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? BA ? BC 9.在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3 , | AB ? AC |?| BC| ,则 ???? = | BC |





1 答案: . 2

10.已知 0 ? a ? 1 ,若 loga (2 x ? y ? 1) ? log a (3 y ? x ? 2) ,且 ? ? x ? y ,则 ? 的最大值为 ▲ .

答案:-2. 11.曲线 f ( x) ?
f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2
1 . 2
O
(第 12 题)





答案: y ? ex ?

12.如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振 幅为 3cm, 周期为 3s, 且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. 则 该物体 5s 时刻的位移为 答案:-1.5. 13.已知直线 y=ax+3 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 ? 0 相交于 A,B 两点,点 P( x0 , y0 ) 在直线 y=2x 上,且 PA=PB,则 x0 的取值范围为 答案: (?1, 0) ? (0, 2) . 14.设 P(x,y)为函数 y ? x 2 ? 1 ( x ? 3) 图象上一动点,记 m ? 当 m 最小时,点 P 的坐标为 答案:(2,3). 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD.
B1 E F A B C A1 C1



cm.





3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 ,则 ? x ?1 y?2





解: (1)连结 A1 B和A1C .

D
(第 15 题)

6

因为 E、 F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, 所以 E、 F 分别是 A1 B和A1C 的中点. 所以 EF // BC .
B1 ………………………………………………………3 分

A1 C1 E F A C

又 BC ? 平面 ABC 中, EF ? 平面 ABC 中, 故 EF // 平面 ABC . ………………………………………………6 分
B D
(第 15 题)

(2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, 所以 A1 A ? 平面 ABC ,所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC ,得 EF ? A1 A .

………………………………………8 分

又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 BC ? AD . 故由 EF // BC ,得
EF ? AD .

…………………………………………………………………10 分

而 A1 A ? AD ? A , A1 A, AD ? 平面 A1 AD ,所以 EF ? 平面
A1 AD .…………………………………12 分

又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面
A1 AD .………………………………………………………14 分

16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B .
cos A ? cos B

(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b2 的取值范围. 解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B ,
cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得
sin(C ? A) ? sin( B ? C ) .

……………………………………………………………………

………4 分 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得
C?? . 3

…………………………………………………………………7 分

7

(2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π .
3 3 3 3 3 3


a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B ,

………………………………………………

…………8 分 故 a 2 ? b2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B
2 2

= 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ……………………… ? ? 2? 3 3 2 ? ………………11 分
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤1 ,故 2 3 3 3 3
3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 .……………………………14 分 4 2

17.(本题满分 14 分) 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板, 其周长为 4 米, 这种薄板须沿 其对角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿

AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边
形 ACB ?PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
A D P

B?
C

(第 17 题)

B

解: (1)由题意, AB ? x , BC ? 2 ? x .因 x ? 2 ? x ,故
1? x ? 2 .

……………………………2 分

设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB ?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由
PA2 ? AD2 ? DP 2 ,得

( x ? y)2 ? (2 ? x)2 ? y 2 ? y ? 2(1 ? 1 ) , x

1 ? x ? 2 .……………………5 分

(2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则
S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) x

………………………………………………………………………

………………6 分

8

? 3 ? (x ? 2) ? 2 ? 2 2 , x

当且仅当 x ? 2 ∈(1,2)时,S1 取得最大 值.…………………………………………………………8 分 故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最 好. ………………………………………9 分

(3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则
S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 2 x 2 x
1 ? x ? 2 .……………………………………………10 分

于是,
3 …………………………………………………… S2? ? ? 1 (2x ? 4 ) ? ? x 2? 2 ? 0 ? x ? 3 2 . 2 2 x x

11 分 关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所以当 x ? 3 2 时, S2 取得最大 值. ……………………………………………………13 分

故当薄板长为 3 2 米,宽为 2 ? 3 2 米时,制冷效果最 好. ………………………………………14 分

18.(本题满分 16 分) 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?
an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比 3n
n(an ? a1 ) . 2

数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 解:(1)令 n=1,则

a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0. 2

………………………………………………………………3 分 ① ②

(2)由 Sn ? 得
Sn?1 ?

na n(an ? a1 ) ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an?1 . 2

9

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

③ ④

于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 . ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即
an ? 2 ? an ? 2an ?1 .

……………………………………………7 分

又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n- 1. ………………………………………………………………………………………9 分 (3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成 等差数列, 于是,
2p 1 q ? ? . 3 p 3 3q

………………………………………………………………………………

…11 分 所以, q ? 3q (
2p 1 ? ) (☆). 3p 3

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组 解. ……………………………………………………………13 分 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是
2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, p ?1 3 3 3 3

2p 1 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. ? ≤ 2? 3 33 3p 3

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数 列. …………………………16 分 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数

列的,亦相应评分.但在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分.

19.(本题满分 16 分) 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1, 3

k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.
10

解:依题设 c=1,且右焦点 F? (1,0).
? ? 2 2 2 所以,2a= EF ? EF? = (1 ? 1) ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b =a -c =2, 3 3 ? ?
2 2

故所求的椭圆的标准方程为
2 x2 ? y ? 1 . 3 2

…………………………………………………………4 分
x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? ?0. 3 2

k1=

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2. x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

……………………………………………………

…9 分 (3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ), 直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1), 即 y=k1x+(1-k1), 亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ?
yM ? 2k2 . 2 ? 3k12 ?3k1k2 , 2 ? 3k12
2 (2 ? 3k12 ) x2 ? 6k1k2 x ? 3k2 ?6 ? 0 .

……………………………………………………………11 分
?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

同理, xN ?

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率

k=

2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? yN 4 ? 6(k2 = .……………………………………13 分 ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) ?9k2 k1 xM ? xN

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
y?

2k2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), 2 ? 9 k k 2 ? 3k1 2 ? 3k12 2 1

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k2 k1 3k1k2 2k 2 x?( ? ? ), 2 ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k1 2 ? 3k12

y?

10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

此时直线过定点
(0, ? 2 ) . ………………………………………………………………………………15 分 3
11

当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) .
3

综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为
(0, ? 2 ) . 3

……………………………………………………16 分

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1).
ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.
1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成 解: (1)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x)

立.

………………2 分

所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x)max ? 0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x)

? ln x ?
4

2

? 1 ?a ?? 1 ?1 ln x ln x 2

?

? a, ? ?1 4
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e 2 时, f ?( x)max ? 1 ? a .
ln x
4

2

4

所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为
1. 4

……………………………………………………6 分

(2)命题“若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ?[e,e2 ] 时,有 . f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ” ……………………………………………………7 分
4 4

由(1) ,当 x ?[e,e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 问题等价于: “当 x ?[e,e2 ] 时,有
f ( x)min ? 1 ” . 4

……………………………………………………8 分

10 当 a ? 1 时,由(1) , f ( x) 在 [e,e2 ] 上为减函数, 4
2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 2 4

a ? 1 ? 12 . 2 4e

……………………………………………10 分

12

2 0 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ? 1 ? 1 4 ln x 2

?

? a 在 [e,e ] 上为增函数, ? ?1 4
2
2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e2 )] ,即 [?a, 1 ? a] .
4

(i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数, 于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不
4

合.

…………………………………………………12 分
4

(ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知,
? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:

当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增 函数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?
x0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e2 ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 合. ………………………15 分 综上,得
a ? 1 ? 12 . 2 4e

………………………………………………………………………………

16 分

13


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