2015-2016高中数学 1.3.1第2课时 函数的最大(小)值课时作业 新人教A版必修1


活页作业(十一)
知识点及角度

函数的最大(小)值
难易度及题号 基础 中档 稍难

函数图象与最值 函数单调性与最值 二次函数的最值 分段函数的最值

1 5、6 2、4、9 3、7 8、10 12 11

1.设函数 f(x)=2x-1(x<0),则 f(x)( A.有最大值 C.是增函数

) B.有最小值 D.是减函数

解析:画出函数 f(x)=2x-1(x<0)的图象,如图中实线部分所示.由图象可知,函数

f(x)=2x-1(x<0)是增函数,无最大值及最小值.

答案:C 2.函数 f(x)=x +3x+2 在区间(-5,5)上的最大、最小值分别为( A.42,12 1 C.12,- 4 1 B.42,- 4 1 D.无最大值,最小值为- 4
2

)

? 3?2 1 解析:∵f(x)=?x+ ? - ,x∈(-5,5), ? 2? 4
3 1 ∴当 x=- 时,f(x)有最小值- ,f(x)无最大值. 2 4 答案:D
? ?x+7 x∈[-1,1?, 3.函数 f(x)=? ?2x+6 x∈[1,2], ?

则 f(x)的最大值、最小值分别为( B.10,8 D.以上都不对

)

A.10,6 C.8,6 解析:当-1≤x<1 时,6≤x+7<8, 当 1≤x≤2 时,8≤2x+6≤10. ∴f(x)min=f(-1)=6,

1

f(x)max=f(2)=10.故选 A.
答案:A 4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售 x 辆该品牌车的利润(单位:万元) 分别为 L1=-x +21x 和 L2=2x.若该公司在两地共销售 15 辆, 则能获得的最大利润为( A.90 万元 C.120 万元 B.60 万元 D.120.25 万元
2 2

)

解析:设公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为 L=-x +21x+
2 19 ? 19?2 2 2(15-x)=-x +19x+30=-?x- ? +30+ , 2? 4 ?

∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元. 答案:C 1 5.函数 y=- ,x∈[-3,-1]的最大值与最小值的差是________.

x

1 解析:易证函数 y=- 在[-3,-1]上为增函数,

x

1 1 2 ∴ymin= ,ymax=1,∴ymax-ymin=1- = . 3 3 3 2 答案: 3 6.函数 y=ax+1 在区间[1,3]上的最大值为 4,则 a=________. 解析:若 a<0,则函数 y=ax+1 在区间[1,3]上是减函数,则在区间左端点处取得最 大值,即 a+1=4,a=3 不满足 a<0;若 a>0,则函数 y=ax+1 在区间[1,3]上是增函数, 则在区间右端点处取得最大值,即 3a+1=4,a=1 满足 a>0,所以 a=1. 答案:1 1 ? ? ?0<x<1?, 7.求函数 f(x)=?x ? ?x?1≤x≤2? 解:

的最值.

函数 f(x)的图象如图, 由图象可知 f(x)的最小值为

f(1)=1.无最大值.

2

8.当 0≤x≤2 时,a<-x +2x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1] C.(-∞,0)
2

2

)

B.(-∞,0] D.(0,+∞)
2

解析: a<-x +2x 恒成立, 则 a 小于函数 f(x)=-x +2x, x∈[0,2]的最小值, 而 f(x) =-x +2x,x∈[0,2]的最小值为 0,故 a<0. 答案:C 9.对于函数 f(x)=x +2x,在使 f(x)≥M 成立的所有实数 M 中,我们把 M 的最大值 Mmax =-1 叫做函数 f(x)=x +2x 的下确界,则对于 a∈R,且 a≠0,a -4a+6 的下确界为 ________. 解析:a -4a+6=(a-2) +2≥2, 则 a -4a+6 的下确界为 2. 答案:2 10.已知函数 f(x)=x -2ax+5(a>1),若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值. 解:∵f(x)开口向上,对称轴 x=a>1, ∴f(x)在[1,a]上是减函数, ∴f(x)的最大值为 f(1)=6-2a, f(x)的最小值为 f(a)=5-a , ∴6-2a=a,5-a =1, ∴a=2. 11. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足为函数 1 ? ?400x- x2 ?0≤x≤400?, 2 R(x)=? ? ?80 000 ?x>400?,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

其中 x 是仪器的产量.

(1)将利润 f(x)表示为产量 x 的函数.(利润=总收益-总成本)

(2)当产量 x 为何值时,公司所获利润最大;最大利润是多少元? 解:由题意知

f(x)=R(x)-100x-20 000=

?-1x2+300x-20 000 ?0≤x≤400?, ? 2 ? ? ?-100x+60 000 ?x>400?.
1 2 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300) +25 000, 2
3

即当 x=300 时,f(x)有最大值 25 000, 当 x>400 时,f(x)<20 000. 综上可知,当月产量为 300 台时,公司获得最大利润 25 000 元.

12.已知函数 f(x)= 值范围.

x2+2x+a ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求 a 的取 x

解:在区间[1,+∞)上,f(x)=

x2+2x+a 2 2 >0 恒成立?x +2x+a>0 恒成立,即 a>-(x x
2 2

+2x)在[1,+∞)上恒成立.由于 g(x)=-(x +2x)=-(x+1) +1 在[1,+∞)上单调递 减, ∴g(x)max=g(1)=-3,∴a>-3.

1.求最大值、最小值时的三个关注点 (1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是 最容易出现的错误,求解时一定要注意. 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后根据图象 的增减性进行研究. 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系, 它是求解二次函 数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

4


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