近年广东高考解析几何试题分析


广东新课程高考解析几何试题分析及复习建议
广东仲元中学 严运华

解析几何是高中数学的主干知识之一,高中课程标准下的教材螺旋式地安排了三部分内容:必修 2:解析几何初步(直线与圆) 、选修 2-1(或选修 1-2) :圆锥曲线、选修 4-4 坐标系与参数方程;其中 坐标系与参数方程为选修内容,广东高考为选做题.解析几何初步和圆锥曲线作为必考内容,这部分内 容也是高考的核心内容、重点内容.解析几何的命题既注重对解析几何基础知识的考查,又常与函数、 方程、不等式、导数等知识交汇,通过求曲线方程、轨迹、最值、范围等问题来综合考查学生分析问题 与解决问题的能力,其综合性强,思维性高,运算量大、因此,学生在解答解析几何问题时,往往得分 不高,如何有效提高解析几何的得分率,作为教师一方面要深入研究考纲、考题,明确高考解析几何考 什么及如何考,一方面要根据学生实际研究教法学法.教什么?如何教?如何导?练什么?如何练?如 何评?这些问题都值得每一位教师特别是高三教师认真思考.本文就解析几何考什么、怎样考及高考复 习谈点肤浅体会,旨在抛砖引玉,以期引发大家对如何提高解析几何复习效果进行深入思考.

一、 1.
年份 2007 年

广东新课程高考解析几何试题分析 高考解析几何客观题考查情况
类别 文科 理科 文科 题号 11 11 6 11 13 分值 5分 5分 5分 5分 5分 曲线背景 抛物线 抛物线 圆、直线 圆、直线 直线、圆 设问特点 求抛物线方 程 求准线方程 求直线方程 求直线方程 求圆的方程 涉及知识点 抛物线方程 抛物线及准线方程 两直线垂直条件、 圆的 一般方程 两直线垂直条件、 圆的 一般方程. 直线与圆的相切、 点到 直线的距离 圆的标准方程. 椭 圆 定 义 与 椭 圆 标准 方程. 直线与圆的相切、 点到 直线的距离、 圆的标准 方程. 椭圆几何量间基本关 系、等差数列的概念 直线与圆的相切、 点到 直线的距离 圆的标准方程. 直线与圆的位置关系 集合 圆与圆位置关系、 求求 轨迹的方法、 抛物线的定义 同文科第 2 题 圆的方程, 点到直线距 离. 备注 文理设问上略 有区别. 文科以选择题 形式出现、理 科以填空题呈 现 文理考查指点 不同,文科考 圆、理科考椭 圆,但方法都 是待定系数 法. 文科、理科差 异大,主要与 后面解答题的 不同而为了知 识点考查多一 些.

2008 年

理科 文科

2009 年

理科

11

5分

椭圆

求椭圆方程

文科

6

5分

直线、圆

求圆的方程

2010 年 理科

7 12

5分 5分

椭圆 直线、圆

求椭圆离心 率 求圆的方程

文科

2 8

5分 5分

圆、直线 圆

2011 年 理科 文科 2012 年 理科 2 8 5分 5分 同文科第 2题 直线、圆

求 AI B的 元素个数 求圆心的轨 迹 同文科第 2 题 求弦长

文科题第 8 题 用定义求轨 迹,就是理科 解答题的约 简.

理科没有专门 的解析几何小 题,但是有线

1

文科 2013 年 理科

9 7

5分 5分

椭圆 双曲线

求椭圆方程 求双曲线方 程

椭圆标准方程、 几何量 的关系 双曲线的标准方程、 几 何量关系

文科 2014 年

8

5分

双曲线、 椭圆 双曲线

判断含参数 的曲线哪些 几何量相同

理科

4

5分

双曲线、 椭圆的标准方 程 以 及 它 们 几 何 量关 系 双曲线、 椭圆的标准方 程 以 及 它 们 几 何 量关 系

性规划、有求 切线等两个小 题,其实,这 些也是解析几 何内容 文科、理科方 法相同,只是 数字略有不 同.文科考椭 圆,理科考双 曲线. 文、理试题形 式相同,数字 上略有不同, 题号不同.

2.
年份 2007

高考解析几何解答题考查
类别 文科 题号 19 分值 14 分 曲线背景 设问特点 涉及知识点 圆的方程、直线 与圆相切、椭圆 的定义、椭圆中 几何量的计算、 两点间距离公 式,解一元二次 方程. 与文科相同 椭圆标准方程、 抛物线方程,抛 物线切线、分类 讨论、 数形结合. 与文科相同 文科、理科相同, 但题号不同. 本题与 2008 年命 题思路相同, 背景 略有不同, 探究点 的存在性不必具 体求出点的坐标. 运算量降低, 体现 多考点想, 少考点 算的命题原则. 备 注 文科、 理科题目相 同,只是题号不 同. 直线、圆、 1.求圆的方程 椭圆 2.探究圆上符合条 件的点是否存在

理科 2008 文科

18 20

14 分 14 分

与文科相 同 椭圆、抛 物线、直 线

与文科相同 1.求椭圆和抛物线 方程; 2.探究点的存在性 及个数(不必具体 求出) 与文科相同

理科

18

14 分

与文科相 同

2009

文科

19

14 分

椭圆、圆

1.求椭圆方程 2.求三角形面积 3.探究是否存在圆 是否包围椭圆. 1.求中点轨迹方程 2.探究动圆与抛物 线弧有交点时参数
2

理科

19

14 分

直线、抛 物线、圆

椭圆的定义及标 文科、 理科虽然曲 准方程、几何性 线背景、 设问形式 质、 三角形面积, 都不同, 但对动态 问题的分析考查 通过此题 动点转移法(或 是相通, 代入法) 求轨迹; 反映出高考文科、 直线与圆方程, 理 科 要 求 的 差 异

范围问题. 2010 文科 21 14 分 抛物线、 直线 1. 求切线方程 2. 求 满 足 条 件 的 点的坐标. 3. 证明不等式 1. 求轨迹; 2. 求 满 足 条 件 的 点.

动态问题探究, 以静窥动. 抛物线,切线、 点到直线的距离 不等式证明、放 缩法. 求轨迹的交轨 法、代入法; 椭圆的切线,解 方程组;分类讨 论等

性. 文科、 理科的命题 特点不同, 文科侧 重于抛物线与函 数、不等式、最值 联系,与 2009 年 理科试题的最后 一道函数与圆的 综合. 体现在知识 的交汇处命题思 想. 理科则侧重解析 几何中多知识, 多 曲线的综合, 对思 维的严谨性要求 高, 也需要较强的 运算能力. 文科、 理科虽然题 目不同, 但解题方 法一直. 都是定义 法求轨迹, 几何法 求最值问题, 体现 数形结合的思想 和定义的运用. 突 出“形”的作用.

理科

20

14 分

双曲线、 直线

2011

文科

21

14 分

直线与抛 物线

1. 求轨迹 2. 求 取 得 线 段 之 和为最小的点 坐标 3. 直 线 与 抛 物 线 交于两点时斜 率的取值范围 1.求轨迹 2.求线段之差的最 大值时点的坐标

求轨迹方法(定 义法或直接法) 轨迹不是标准方 程 几何法求线段和 最小值 直线与曲线位置 关系 求轨迹(定义 法) 、 圆与圆的位 置关系, 几何法求线段之 差的最大值. 椭圆标准方程、 抛物线标准方 程、以及直线与 椭圆、抛物线的 位置关系. 椭圆的标准方 程;直线与圆的 位置关系、利用 函数或不等式求 最值. 直线与抛物线方 程、点点直线距 离、导数与切线

理科

19

14

圆、双曲 线

2012

文科

20

14

椭圆、抛 物线、直 线

1. 求椭圆方程; 2. 求与椭圆、 抛物 线都相切的直 线方程 1. 求椭圆方程 2. 求 面 积 最 大 时 的点的坐标.

理科

20

14

椭圆、直 线、圆.

文科、 理科的难度 差异大, 基本思想 都是用“数”刻画 “形” ,体现“数” 在“形”方面的应 用, 也是解析几何 思想的体现.

2013

文科

20

14 分

抛物线、 直线(切 线)

1.求抛物线方程 2.求切点弦方程 3.求线段积的最小

文理同题, 较好体 现数形结合思想、

3

值 理科 2014 文科 20 20 14 分 14 分 同文科 椭圆、直 线 同文科 1.求椭圆方程 2.求轨迹方程

等考点 同文科 椭圆的标准方 程,直线与椭圆 的位置关系(相 切) , 直线垂直条 件,求轨迹方程 的方法. 同文科

函数与方程思想.

继续保持 2013 年 的风格,文理同 题, 较好体现数形 结合思想、 函数与 方程思想.

理科

20

14 分

同文科

同文科

3.广东新课程高考解析几何试题主要特点
对近几年试题分析,不难看出广东解析几何试题具有以下特点: 3.1 题型、分值稳定 试题严格依据《考试大纲》 ,总体保持稳定.除坐标系与参数方程选做题以及线性规划题目外,一般 还设置一道客观题(选择题或填空题)和一道解答题,也有少数年份设置两道小题和一道解答题,试题分 值为 19 分或 24 分,与解析几何在高中教学内容的比例基本相当. 3.2 重点突出 难度适中 近几年解析几何试题突出解析几何的主要思想和方法,考查内容注重知识点的覆盖, 考虑到不同考生 的实际情况,试题的难易程度与题型紧密相关. 选择题或填空题的考查以圆锥曲线的基本概念、标准方程和几何性质为主,试题贴近课本,问题背 景公平,设问主要为求直线方程、圆、椭圆、抛物线方程或求有关几何量(离心率和准线方程)等.试 题能在不同版本的教材中找到原型,思维量和计算量都不大,与课本练习题难度相当,只要学习并初步 掌握了解析几何的基本知识,便可顺利完成,没有设置思维障碍,旨在引导教师注重解析几何基础知识 的教学,注重面向全体学生,充分体现基础性与公平性. 解答题则重点考查圆锥曲线的基本概念和几何性质,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉 及位置关系、切线(含切点弦) 、轨迹、最值、参数范围、定点或定值等问题,关注多种曲线的综合, 关 注与其它知识如函数、导数、不等式等知识的交汇,关注试题的探究性与创新性.一般设置两个问题(有 少数年份出现三问) ,第一问主要是求曲线方程,难度略高于客观题,属中等难度,第二问则要综合运用 有关知识进行解题,特别关注“数”与“形”的相互转化,突出解析几何的本质,体现用“数”研究“形” 的方法,同时要注意通过“形”的特征简化“数”的运算;重视函数与方程、转化与化归、特殊与一般 思想的考查,关注对整体处理问题策略的考查.完成这道题需具有较好的思维品质、较强的运算能力以 及综合运用所学知识解决问题的能力. 3.3 注重探究 考查学生思维能力 2007 年—2011 年在试题设置上严格按照初中课程标准中删除韦达定理的要求,避开传统的以二次曲 线方程与直线联立求解得出一元二次方程,再根据韦达定理,求弦长、中点轨迹等问题.这些年的试题 特别重视图形探究,高层次考查学生思维能力与数学素养.

x2 y2 ? ? 1 ,抛 2b 2 b 2 2 物线方程为 x ? 8( y ? b), 如下图所示,过点 F (0, b ? 2) 作 x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为 G , 已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右 焦点 F1 .
如 2008 年文科 20 及理科 18 题:设 b ? 0 ,椭圆方程为 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 ?ABP 为直角三 角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) . 本题注重探究,突出能力,渗透思想.一方面,本题的两个问都有多种解法,比如:在求抛物线的切 线时,可以用判别式法,也可用求导法.又如: ?ABP 为直角三角形,到底哪个角为直角,需要分类讨 论,当∠APB为直角时,可以用斜率法,也可以用向量数量积,还可转化为“以AB为直径的圆与抛物线有
4

两个交点”.不同的解法,所用的时间不同,有利于考查学生的能力,有利于选拔人才.另一方面,由 于本题的第(Ⅱ)问只要求推导出符合条件的点的个数,而不用求出这些点的坐标.这种设问方式大大 减少了运算量,符合“多考想、少考算”这一命题原则. 3.4 注重综合 考查学生灵活运用知识解决问题的能力 注重综合是广东解析几何的一个特点,既重视多种曲线的综合同时也关注多知识点的综合. 3.4.1 多种曲线综合:近年高考解答题一般有三种曲线综合一起,全面考查解析几何的知识与方法. 3.4.2 多知识点交汇:常与数列、不等式、导数等知识综合. 如 2009 年理科 21 题:已知曲线 Cn : x ? 2nx ? y ? 0( n ? 1, 2,?) .从点 P ( ?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率
2 2

为 kn ( kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ?
2

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

又如 2010 年文科第 21 题,已知曲线 Cn : y ? nx ,点 Pn ( xn , yn ) ( xn ? 0 , yn ? 0 )是曲线 Cn 上的 点( n ? 1, 2,? ) . (Ⅰ)试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (Ⅱ)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比取得最大值,试求点 Pn 的坐标 ( xn , yn ) ; (Ⅲ)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(Ⅱ)中条件的点 Pn 的坐标, 证明:

?|
n ?1

s

(m ? 1) xn . ? (k ? 1) yn | ?| ms ? ks | ( s ? 1, 2,? ) 2
考查学生的学习能力和创新意识

3.5 注重创新 一种折线距离

2010 年 21 题:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是平面直角坐标系 xOy 上的两点,现定义由点 A 到点 B 的

? ( A, B) 为 ? ( A, B) ?| x 2 ? x1 | ? | y 2 ? y1 | . 对 于 平 面 xOy 上 给 定 的 不 同 的 两 点

A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) (Ⅰ)若点 C ( x , y ) 是平面 xOy 上的点,试证明: ? ( A, C ) ? ? (C , B ) ? ? ( A, B ) ;
(Ⅱ)在平面 xOy 上是否存在点 C ( x , y ) ,同时满足 ① ? ( A, C ) ? ? (C , B ) ? ? ( A, B ) ; ② ? ( A, C ) ? ? (C , B ) . 若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明. 这种以新定义(折线距离)的方式考查了学生的学习能力和创新意识,考查学生综合运用知识分析 问题和解决问题的能力,有利于选拔人才. 2009年文科题的圆包含椭圆,2009年圆与抛物线区域有公共点等问题,属解析几何动态探究问题, 要求灵活运用“以静制动,动中窥静”的策略,设问和背景体现“新而不偏,活而不难” .

二、广东高考解析几何试题来源、背景研究
从全国高考解析几何的命题情况看:圆锥曲线命题已形成了不同年段不同风格或潮流.一段时间以 轨迹探究为主要形式;一段时间以向量为语言或运算工具进行渗透,一股与向量交汇命题之风便盛行起 来, 还有一股曲线特征( 性质) 探究风潮,如对圆锥曲线的切线( 切点弦) 的研究。一些省份甚至以经 典几何中的定理入题。如北京市考椭圆中的蝴蝶定理,全国及各省多次考查阿波罗尼斯圆等问题等. 阿波罗尼(奥)斯)(约前 262 年至前 190 年),希腊数学家、天文学家,经典巨著《圆锥曲线论》领先 时代 1800 年.阿波罗尼(奥)斯圆是“与两定点的距离之比为常数(不等于 1)的点的轨迹是一个圆”.以 此为背景的高考题多.
5

如 2008 江苏 13:满足条件 AB ? 2, AC ?

2 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值为

分析:本题表面是三角,实际上是阿波罗尼圆背景问题.因AB 为定值, 求三角形 ABC 的面积的最 大值, 只需求顶点 C 到边 AB 距离的最大值即可,又动点C满足

AC 所以动点C的轨迹为阿波罗尼圆. ? 2, BC

建系即可解决.以直线AB为x 轴, 线段AB 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系. 由已知得 A( ?1, 0) ,

B (1, 0) ,设 C ( x, y ) ,由

AC ? 2 得 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 ,所以点 C 的轨迹为以点( 3, 0) 为圆心,半径为 BC

2 2 的圆(除去x 轴上的两点), 易知, 点C 到边AB 的距离最大值为 2 2 ,故三角形ABC面积的最大值
为2 2 。 还有2013年的辽宁等地均以解答题形式出现. 经典定理的翻新,各具特色, 每一年都在经典几何中披沥着那些饶有兴趣的定理. 近年来,不少地 方还出现以高等几何中极点与极线为背景的试题等.

广东高考解析几何试题的命题来源和背景,主要有以下几个方面:
1、 以教材例题习题为背景命制试题 近年广东高考解析几何的客观题及解答题第 1 问均可以在教材中找到原型,高度相似,属基本问题. 如 2014 年的选择题: 若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线

A. 离心率相等

x2 y2 x2 y2 ) ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 25 9 ? k 25 ? k 9 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等


x2 y 2 x2 y2 就是选修 2-1 中,80 页 A 组习题 曲线 ? ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k
(A)长轴长相等 (B)短轴长相等 (C)离心率相等 (D)焦距相等

2014 年解答题第 1 问:已知椭圆 C : (1) 求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 5 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 2 a b 3

该题与人教版选修 2-1 第 48 页练习题几乎一样:求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ?

1 3

(2)焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ?
2

3 . 5
2

这些题与高考题相差甚微,有些只是数字的改变,有些是完全拿来. 2009 年求中点轨迹轨与选修 2-1 课本中例 2:如图 2.2-5,在圆 x ? y ? 4 上 任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么? 高考题是定点与抛物线上点的连线中点,与例题相比只是曲线形状改变而已. 2010 年广东理科解答题第 1 问求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; 与选修 4-4 中 80 页的例题类似 已知抛物线 y 2 ? 4 px , ( p ? 0) ,O 为顶点,A、B 为抛物线上两动点,且满足 OA ? OB ,如果 OM ? AB 于
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M ,求点 M 的轨迹方程.

都是求两条直线交点的轨迹问题,解题方法类似. 2、 以解析几何典型问题为背景命制试题 广东高考从 2009 年开始,几乎年年都要涉及轨迹问题.2009 年考中点轨迹(代入法) 、2010 年考交 点轨迹(交轨法) 、2011 年动圆圆心轨迹(定义法) 、2012 年考圆两垂直切线交点轨迹、2013 年切点弦、 2014 年椭圆两垂直切线交点轨迹,即近年来解几大题以轨迹为主旋律,而这些轨迹都是一些经典问题. 2.1 以经典轨迹问题为背景的试题 2.1.1 圆与二次曲线的关系: 圆生成二次曲线,表现在两个方面: 一方面可以通过动圆与定圆即定直线相切的圆的圆心轨迹得到: 与两定圆相切的动圆圆心的轨迹可以是椭圆, 也可以是双曲线, 过定点且与定直线相切的动圆圆心的 轨迹为抛物线等. (广东 2011 年解答题的第 1 问就是这类问题,采用定义法即可完成) 另一方面,可以通过圆的两条直线交点轨迹得到: 结论 1: 给定圆 O :x ? y ? r ( r ? 0), A( a,0), B (b,0), (b ? 0, b ? a ) 是 x 轴上的两个定点,P 是
2 2 2

圆 O 上的一个动点, Q 是 P 在 y 轴上的射影,直线 AP 与 BQ 的交点为 M,则点 M 的轨迹: (1)当 a ? b ? r 时为抛物线; (2)当 a ? b ? r 时且 b ?

a2 ? r 2 a2 ? r 2 时为椭圆,当 b ? 时为圆; 2a 2a
2 2

(3)当 a ? b ? r 时为双曲线. 结论 2 :给定圆 O : x ? y ? r ( r ? 0) , A( a,0), B (b,0), ( a ? b) 是 x 轴上两定点,点 P 、 Q 是
2

圆上的两个动点,且关于 x 轴对称.设直线 PA 与 QB 的交点为 M .则 M 的轨迹: (1)当 a ? b ? 2r 时为抛物线; (2)当 a ? b ? 2r 且 ab ? r 时为圆;
2

当 a ? b ? 2r 且 ab ? r 时为椭圆;
2 2

(3)当 a ? b ? 2r 且 ab ? r 时为双曲线. 2.1.2 椭圆、双曲线的相互生成:

x2 y 2 ? ? 1 的实轴的两个端点,QQ? 是与 AA? 垂直的弦,则直线 AQ 与 a 2 b2 x2 y 2 A?Q? 的交点 P 的轨迹是椭圆 2 ? 2 ? 1 .(2010 年就是该结论的一个特例) a b
结论 3:设 A, A? 是双曲线

x2 y 2 则直线 AQ 与 A?Q? ? ? 1 的长轴的两个端点, QQ ' 是与 AA' 垂直的弦, a 2 b2 x2 y 2 的交点 P 的轨迹是双曲线 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 结论 5:双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 ( ? a, 0) , A2 ( a, 0) ,与 y 轴平行的直线交双 a b x2 y 2 曲线于 P1、P2,则 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 结论 6:椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a, 0) , A2 ( a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆 a b x2 y 2 于 P1、P2,则 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是双曲线 2 ? 2 ? 1 . a b
结论 4: 设 A, A? 是椭圆
7

2.1.2 圆锥曲线相互垂直切线交点轨迹问题

x2 y 2 2 2 2 2 结论7:椭圆 2 ? 2 ? 1 两条互相垂直切线的交点的轨迹方程是 x ? y ? a ? b ; a b
(2014年高考就是将此结论中 a, b 具体化而得出.2010年高考的第2问也是此结论的一个简单应用) 特别地 圆 x ? y ? r 的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程是 x ? y ? 2r ;
2 2 2 2 2 2

结论8:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 ; a 2 b2
2 2

当 a ? b 时,轨迹是以原点为圆心,以 a ? b 为半径的圆; 当 a ? b 时,轨迹是点(0,0); 当 a ? b 时,轨迹不存在. 结论9:抛物线 y ? 2 px 两条互相垂直切线的交点的轨迹是 x ? ?
2

p . 2

(全国高考以此为背景的高考题较多) 2.2 定点与曲线上动点的距离的最值问题 上世纪末,本世纪初,此类问题在高考中考查的多,主要是与函数结合,仅用形的直观很难得出正 确结论.椭圆、抛物线、双曲线等曲线上点与定点的距离的最值一般情况要建立二次函数关系,再求给 定区间的最值问题. 1990 年全国高考 25 题: 设椭圆的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率 e ? 到这个椭圆上的点的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点 P (0, 坐标. 2001年上海高考:已知抛物线 y ? 4 x , P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,点 M ( m, 0) m ∈R,求 PM
2 2

3 3 , 已知点 P (0, ) 2 2

3 ) 的距离等于 7 的点的 2

的最小值. 2012年广东高考第1问就是1990年全国高考试题数字上变了一下,近年,还有一些省也考了这一问题. 若定点为曲线的焦点时解题方法可多样化,既可根据“数”来研究,也可用“定义”+“形”的方法处理; 若有两个定点(或其中一个为曲线焦点) ,求曲线上一点到两定点距离和或差的最值时,需根据三角形的 边的关系求解. (2011年文科、理科的试题的第二问就是此背景来命题的) 3、 以高等几何中极点、极线为背景命题 高考中的高数背景出现多,其结论可用高等数学容易得到,但解题方法必须是中学范围内问题,解几 中以高等几何为背景的题太多了,仅举几例: (1) ( 2009 年 安 徽 理 20 题 ) 点 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

y0 ? b sin ? , 0 ? ? ?

?
2

.

斜角为 ? ,直线 l 2 的倾斜角为 ? .

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ) 上 , x0 ? ? cos ? , a2 b2 x y0 直线 l 2 与直线 l1 : 0 x? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾 2 a b

x2 y2 (Ⅰ)证明 :点 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a b
(Ⅱ)证明:tan ? ,tan ? ,tan ? 构成等比数列.

8

(2) (2008 年安徽) 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 过点 M ( 2 ,1) ,且左焦点为 F1 (? 2 ,0) . a2 b2

(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)当过点 P ( 4,1) 的动直线 l 与椭圆C相交于不同的点A、B时,在线段AB上取点Q,满足

AP ? QB ? AQ ? PB ,证明:点Q总在某定直线上.
分析:第(Ⅰ)问得椭圆C的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

对于第(Ⅱ)问,由已知条件 AP ? QB ? AQ ? PB ,可得

AP ? QB AQ ? PB

? ?1 ,根据射影几何中关于极

点、极线的定义可知,P、Q关于椭圆C调和共轭,所以点Q在点P关于椭圆C的极线上,易得点Q所 在的直线为: 2 x ? y ? 2 ? 0.

x2 x2 2 ? 1, ? y 2 ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P ( x0 , y0 ) 满足 0 ? 0 ? y0 2 2 xx 则| PF1 |+ PF2 的取值范围为_______,直线 0 ? y0 y ? 1 与椭 2
(3) (2010 年湖北卷文)已知椭圆 C : 圆 C 的公共点个数是 .

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的 a 2 b2 左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线.
(4) (2006 年湖北)设 A, B 分别为椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直 线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内. 分析:对于第(Ⅱ)问,由于点P在椭圆的右准线上,根据射影几何知识可知直线 MN恒过椭圆的右焦点.事实上, 当直线MN垂直于 x 轴时, 线段MN是所有过右焦点弦中的长度最短的. 所以若能证明当直线MN垂直于 x 轴时,点 B 在以为 MN 直径的圆内,则问题可迎刃而解. 5. (2006 年全国卷) 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为F, A、 B是抛物线上的两动点, 且 AF ? ? FB (? ? 0) ,
2

??? ?

??? ?

过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. (Ⅰ)证明: FM ? AB 为定值; (Ⅱ)设 ?ABM 的面积为 S ,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值. 分析:对于第(Ⅰ)问,由射影几何知识可知,过A、B两点分别作抛物线的切线,它们的交点M 在其准线 y ? ?1 ,从而快速找到解题的突破口,即应先求出点M所在的直线方程,然后设出点M的坐标

???? ? ??? ?

???? ? ??? ? ( x0 ,?1) ,并把它代入 FM ? AB 进行证明.
广东 2012 年及 2013 年、2014 年都有极点、极线的背景题目,以切点弦形式出现.

9

4、

高考题改编

2013 年广东高考题第 3 问源自 2011 年湖南文科第 2 问的一种变形: (2013 年广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;
(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 该题源自 2011 年湖南文科的一种变形: (2011 年湖南文科)已知平面内一动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) ,过点 F 左两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B ,l2 与轨迹 C 相 交于点 D, E ,求 AD, EB 的最小值. 5、 同一背景, 多年涉及 不知是命题人有意还是无意,广东高考2010年、2012年、2014年都以二次曲线的两相互垂直的切线交 点轨迹为背景,考查方式略有不同,本质一样,一脉相承. 广东2010年解答题第三问:若过点 H (0, h) ( h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, 且

???? ??? ?

l1 ? l2 ,求 h 的值.
由于第1问得:轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 , x ? 0 且 x ? ? 2 .两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一 2

个交点,本题还有三种可能:其中一种情况是过点 H (0, h) 的两条切线,且这两条切线相互垂直,而根 据基本命题1知点 H (0, h) 在圆 x ? y ? a ? b ,即代入即得 x ? y ? 3 ,将点 H (0, h) 代入即得
2 2 2 2 2 2

h ? 3 ,也是以椭圆两垂直切线交点轨迹背景的题目.
广东 2012 年解答题第 2 问:在椭圆 C 上,是否存在点 M ?m, n ? 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : 且△ OAB 的面积最大?若存在, x 2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 A, B , 求出点 M 的坐标及相对应的△ OAB 的面积;若不存在,请说明理由. x2 ? y 2 ? 1 ,由三角形面积公式得: 由第 1 问已求得:椭圆 C : 3 2 2 当 OA ? OB 时,△ OAB 的面积最大,点 M ?m, n ? 在 x ? y ? 1 外, 则直线 l : mx ? ny ? 1 为点 M ?m, n ? 的极线,即为圆的切点弦方程, 如 图 MA, MB 为 圆 O 的 切 线 , 且 OA ? OB , 则 MA ? MB , 过 点
10

M ?m, n ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 相互垂直的两条切线,点 M ?m, n ? 满足 x 2 ? y 2 ? 2 .又属于曲线相互垂直切
线的轨迹问题. 如果说 2010、2012 年“犹抱琵琶半遮面”比较含蓄的考查以曲线两垂直交点轨迹问题,2014 年则 可以说是毫无掩饰的赤裸裸的漏出原形,直接考椭圆的两条相互垂直的轨迹问题. 三道试题可谓同宗同源,一脉相承.可见,命题人对这一背景情有独钟,为难我们的命题专家了, 难得找到一个好的命题点! 2013 年考了切点弦方程,实际上在 2012 年给出了信号,2012 年试题中已经出现了切点弦的影子, 但不是很明确. 广州市教研室的陈镇民老师觉得要考切点弦,于是在 2013 年广州一模就命制了抛物线切 点弦的试题,果不出所料,当年的高考就是抛物线的切点弦问题. ( 2013 年广州一模试题)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 ( ?2, 0) , F2 2,0 ,点

?

?

A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处
2

的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由. (2013 年广东解答题) : 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距 离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;
(Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

几年的命题思想的极度相似,说明命题人的头脑中对经典问题的根深蒂固,在命题时间不充分的情况 下,稍不注意,就用到自己熟悉的经典结论.

二、

部分高考题赏析
广东高考试题解法入口宽,注重通性通法的考查,只要学生掌握一些基本方法,便可迎刃而解.

1. 2014 年高考解析几何解答题
已知椭圆 C :

x2 y 2 5 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 2 a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P ( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.
解法一:若 x0 ? ?3 ,则点 P 到椭圆 C 的切线之一斜率不存在,为使两切线垂直,另一切线斜率必为

第 1 问很易得出,第 2 问有多种方法。 零 , 所 以 y0 ? ?2 , 因 此 点 (3, 2) , (3, ?2) , ( ?3, 2) , ( ?3, ?2) 在 所 求 轨 迹 上 . 以下设 A ,消去 y,整理得 o B x

y

x0 ? ?3, y0 ? ?2 ,点 P 到椭圆 C 的切线斜率存在且不为零.设 P 到椭圆 C 的切线为 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ?9 4 ? y ? y ? k(x ? x ) 0 0 ?

P

(9k 2 ? 4) x 2 ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9( y0 ? kx0 ) 2 ? 36 ? 0 ,
由于直线 l 与椭圆 C 相切,故上式关于 x 的一元二次方程的判别式 ? ? 0 , ①
11

182 k 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 4(9k 2 ? 4)[9( y0 ? kx0 ) 2 ? 36] ? 0 ,
整理得 ( x0 ? 9) k ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 4 ? 0
2 2 2

(*)

根据题意,两条切线垂直,所以 k1k2 ? ?1 ,

由方程(*) , k1k2 ?

y ?4 ? ?1 , 从而 x ?9
2 0 2 0 2 2

2 2 x0 ? y0 ? 13 , 2 2

而点 (3, 2) , (3, ?2) , ( ?3, 2) , ( ?3, ?2) 也满足 x0 ? y0 ? 13 , 故动点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 13 . 解法二:若 x0 ? ?3 ,则点 P 到椭圆 C 的切线之一斜率不存在,为使两切线垂直,另一切线斜率必为 零,所以 y0 ? ?2 ,因此点 (3, 2) , (3, ?2) , ( ?3, 2) , ( ?3, ?2) 在所求轨迹上. 以下设 x0 ? ?3, y0 ? ?2 , 点 P 到椭圆 C 的切线斜率存在且不为零. 设 P 到椭圆 C 的互相垂直的两条切线

1 l2 : y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) , k ? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ? ?9 4 分别与椭圆 C 的方程联立,得: ? 9 和? , 4 ? y ? y ? k(x ? x ) ? y ? y ? ? 1 (x ? x ) 0 0 ? 0 0 ? k ? 2 2 2 消去 y 分别得到 (9k ? 4) x ? 18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9( y0 ? kx0 ) ? 36 ? 0 (*) 和 x x 9 18 (**) ( 2 ? 4) x 2 ? ( y0 ? 0 ) x ? 9( y0 ? 0 ) 2 ? 36 ? 0 k k k k 由于直线 l1 , l2 均与椭圆 C 相切,所以上述关于 x 的一元二次方程(*)和(**)的判别式均为零, 即
分别为 l1 : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 和
2 2 ?( x0 ? 9)k 2 ? 2 x0 y0 k ? ( y0 ? 4) ? 0 ? ?1 ? 0, ? 2 ? 0 整理为: ? , 2 2 2 ( y ? 4) k ? 2 x y k ? ( x ? 9) ? 0 ? 0 0 0 0 ? 2 2 2 2 2 两式相加得: ( x0 ? y0 ? 13)( k ? 1) ? 0 , 因此 x0 ? y0 ? 13 ,

点 (3, 2) , (3, ?2) , ( ?3, 2) , ( ?3, ?2) 也满足 x0 ? y0 ? 13 ,故动点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 13 .
2 2 2 2

解法三:设 P 到椭圆 C 的两条切线的切点分别为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,两条切线的方程为:

x1 y x y xx yy (*) x ? 1 y ? 1 , lB : 2 x ? 2 y ? 1 两条切线互相垂直,所以 1 2 ? 1 2 ? 0 9 4 9 4 81 16 x y x y 由于点 P 在直线 l A , lB 上,所以, 2 x0 ? 2 y0 ? 1 , 也即切点 A, B 在直线 0 x ? 0 y ? 1 上, 将此 9 4 9 4 2 2 ?x y ? ?1 ? ?9 4 直线方程与椭圆 C 方程联立: ? ,此方程组的两组解即为 A, B 的坐标 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ? x0 x ? y0 y ? 1 ? 4 ?9 2 81(4 ? y0 ) 2 2 2 2 方程组消去 y, 得 ? 4 x0 ? 9 y0 ? x ? 72 x0 x ? 81? 4 ? y0 ? ? 0 , 两根之积 x1 x2 ? (**) 2 2 4 x0 ? 9 y0 lA :
消去 x 得: 4 x0 ? 9 y0 y ? 72 y0 y ? 16 9 ? x0 ? 0 ,
2 2 2 2

?

?

?

?

两根之积 y1 y2 ?

2 16(9 ? x0 ) 2 2 4 x0 ? 9 y0 2 2

(***) ,

将(**)和(***)带入(*) ,整理得 x0 ? y0 ? 13 ,
2 2

所以 P 的轨迹方程为 x ? y ? 13 .

解 法 四 :设 P 到 椭圆 C 的 两条 切线 的 切点 分别 为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 两条 切线 的 方程 为:

lA :

x1 y x y (#) x ? 1 y ? 1 , lB : 2 x ? 2 y ? 1 , 9 4 9 4
12

两条切线垂直,所以

x1 x2 y1 y2 ( ## ) ? ?0 , 81 16

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 9 4 9 4 2 81(4 ? y ) 16(9 ? x 2 ) 由(#)和(###) , x1 x2 ? , y y ? 1 2 4x2 ? 9 y 2 4x2 ? 9 y 2
点 A、B 在椭圆 C 上,所以 代入(##)得 P 的轨迹方程: x ? y ? 13
2 2

(###)

2.2013 年广东高考解答题 20 题
已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 2

l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;
(Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

p 2 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y . (Ⅱ) ? p ? 2, 2 1 1 2 2 x , 得 y? ? x . 解 法 一 : 设 点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 由 x ? 4 y , 即 y ? 4 2 x1 x1 1 2 ( x ? x1 ) , 即 y ? x ? y1 ? x1 . ∴ 抛 物 线 C 在 点 A 处 的 切 线 l1 的 方 程 为 y ? y1 ? 2 2 2 x x 1 ∵ y1 ? x12 , ∴ y ? 1 x ? y1 .∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上, ∴ y 0 ? 1 x0 ? y1 . ① 2 2 4 x x 同理, y 0 ? 2 x 0 ? y 2 . ② 综合①、 ②得, 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? x 0 ? y . 2 2 x ∵过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的直线是唯一的,∴直线 AB 的方程为 y 0 ? x 0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . 2 1 2 1 2 1 2 1 解法二:设 A( x1 , x1 ) , B ( x2 , x2 ) ,由(1)可知 C : y ? x ,则 y? ? x ,所以切线 PA , PB 4 4 4 2 1 1 1 1 2 x 1 2 的斜率分别为 x1 , x2 ,所以直线 PA 的方程为 y ? x1 ( x ? x1 ) ? x1 ? 1 x ? x1 ,直线 PB 的方 2 2 2 4 2 4 x2 x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2 x1 x2 1 2 程为 y ? , y0 ? . x ? x2 ,解得 P ( , ) ,所以 x0 ? 2 4 2 4 2 4 所以直线 AB 的方程为 1 2 1 2 x1 ? x2 4 ( x ? x ) ? 1 x 2 ? x1 ? x2 ( x ? x ) ? 1 x 2 ? 1 x ( x ? x ) ? 1 x 2 ? 1 x x ? 1 x x ? 1 x 2 , y? 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 x1 ? x2 4 4 4 2 4 2 2 4 1 1 2 1 1 2 由直线 PA 过点 P ( x0 , y0 ) 可得 y0 ? x1 ( x0 ? x1 ) ? x1 ? x1 x0 ? x1 , 2 4 2 4 1 1 1 2 1 1 所以直线 AB 的方程为 y ? x0 x ? x1 x0 ? x1 ? x0 x ? y0 ? x0 x ? x0 ? 2 . 2 2 4 2 2
解: (Ⅰ)设抛物线方程为 x ? 2 py , 依题意得 c ? 1 ?
2

解法三:设直线 AB 的方程为:y=kx+b,代人 x =4y 消去 y 得 x -4kx-4b=0 记抛物线 C 上的切点为(x,y),由 x2=4y 得,过 P 点的切线的斜率 y ?
/

2

2



y ? y0 1 1 ,其中 x ,则 x ? 2 2 x ? x0

y?

1 2 x ,x0-y0-2=0,化简得 x2-2x0x+4x0-8=0. 4



13

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由①②两式可知:x1+x2=4k=2x0, x1x2=-4b=4x0-8,∴ k ? 线 AB 的方程为: y ?

1 x0 ,b=2-x0,故所求的直 2

1 x0 x ? 2 ? x0 . 2 解 法 四 : 设 过 点 P 的 抛 物 线 C 的 切 线 斜 率 为 k , 则 切 线 方 程 为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 , 联 立 ? y ? k ( x ? x0 ) ? y0 2 ,整理得, x ? 4kx ? 4kx0 ? 4 y0 ? 0 (*) , ? 2 x ? 4 y ? k2 ? 2 由题意知,? ? 16k ? 16kx0 ? 16 y0 ? 0 , 又 x0 ? y0 ? 2 ? 0 , 所以 k ? kx0 ? x0 ? 2 ? 0 , 则 x0 ? , k ?1 k2 ? 2 k2 ? 2 k PA ? k PB ? x0 , k PA k PB ? x0 ? 2 .所以(*)式可化为 x 2 ? 4kx ? 4k ? ? 4( ? 2) ? 0 , k ?1 k ?1 2 2 2 整理得, ( x ? 2k ) ? 0 ,不防取 A(2k , k ) ,则可得 B (2( x0 ? k ), ( x0 ? k ) ) .所以直线 AB 的方程为
2 2

( x0 ? k ) 2 ? k 2 (x ? k) ? k ( x ? 2k ) ? k 2 ? 0 ( x ? 2k ) ? k 2 2( x0 ? k ) ? 2k 2 x x x ? 0 ( x ? 2k ) ? k 2 ? 0 x ? kx0 ? k 2 ? 0 x ? x0 ? 2 . 2 2 2 p p (Ⅲ) 解法一:利用抛物线的定义 AF ? y1 ? , BF ? y2 ? ,所以 2 2 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1 * y? x ? ? y0 ? x0 ? y 2 2 2 联立方程组 ? 得 y ? (2 y0 ? x0 ) y ? y0 ? 0 2 ? x2 ? 4 y ?
所以 y1 y2 ? y0 , y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0
2 2

代入*式得 AF ? BF ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2 2

因为点 P ( x0 , y0 ) 在

直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上,所以 y0 ? x0 ? 2 ,代入得 2 x0 ? 6 x0 ? 9 ? 2( x0 ? ) ?
2

3 2

9 2

3 9 时, AF ? BF 有最小值 . 2 2 1 1 2 2 解法二: 由(2)的解法一可知: y 0 ? x1 x 0 ? y1 ,y 0 ? x 2 x 0 ? y 2 , ∴ y1 y 2 ? y 0 , y1 ? y 2 ? x 0 ? 2 y 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 故 |BF|?|AF|=( y1+1)(y2+1)=y1y2+y1+y2+1= y 0 ? x 0 ? 2 y 0 ? 1 = x 0 ? ( y 0 ? 1) 而 |PF|2= x 0 ? ( y 0 ? 1) ,
当 x0 ? 所以|BF|?|AF|=|PF|2,由于点 P 在直线 l 上移动,∴|PF|≥ 因此|BF|?|AF|≥

3 2 3 2 (点 F 到直线 l 的距离为 ) 2 2

9 9 .所以|BF|?|AF|的最小值是 . 2 2 2 解法三:设点 A, B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将切线方程 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 代入 x ? 4 y 消
去 x 得 y ? (2 y0 ? x0 ) y ? y0 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 ,
2 2 2 2 2

由抛物线的定义可得:

| AF | ? | BF |? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

3 ? x0 ? ? ?1 ? y0 ? x0 [1 ? y0 ? x0 ] 9 ? 2 时, | AF | ? | BF | 取最 ,即 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? x0 2 ? ? ,当且仅当 ? 2 2 ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ?y ? ? 1 0 ? ? 2
2

14

小值为

9 . 2

广东高考解析几何题前三年以动态探究为主,考查学生探究能力,近三年回归传统,可以用韦达定理, 当然,不用也是可以的,可见,命题者并没有刻意回避韦达定理.

四、复习建议
解析几何是高考重点,也是难点,学生得分不理想.教师要加强加强考纲考题的研究,注重通性通 法的提炼,通过研究高考命题的考点分布、试题结构、命题背景等,了解高考解析几何到底考什么?怎 样考?这样就能提高备考的针对性和训练的有效性.根据本人的教学体会,提出三点建议,供大家参考. 1 狠抓基础 注重落实 纵观近几年高考试题,考查圆锥曲线的定义、离心率、准线、焦点、标准方程等基础性知识点的试题 随处可见,这些试题大多以选择题、填空题或解答题的第一问等形式呈现,着重考查数学的基础知识、 基 本技能、基本方法.因此,解析几何的复习要狠抓基础,熟练方法.基础是灵活应用的灵魂,只有掌握牢 固的基础知识,深刻理解定义的实质,才能做到自如运用.所以在高考复习中,一定要重视加强基础知识的 强化训练,力争在高考中基础知识做到不失分. 2 精选例习题 突破重难点 解析几何解答题考查热点主要集中在直线与圆锥曲线的位置关系问题.涉及轨迹方程、参数范围、 最 值、定点以及圆锥曲线的相关几何性质的证明等方面.这类试题主要以解答题的形式出现,它们往往综合 性较强,解题思路比较复杂,计算量相对较大.因此,在复习过程中, 选择例题意图要明显,教学重点要突 出,通过精选例题,使学生能认识一类题型的解法,并掌握同类问题的一般解法,真正使学生做到“解 一题,会一类”,例题可以是从教材、高考题、近年广州模拟和考前训练题以及经典问题,还可以从杂 志中选. 例题教学重视变式与拓展:不就题论题,而像 G·波利亚所说: “拿一个有意义且又不复杂的题目去 帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域. ” , 抓住教材或学习中的典型题目, 、一题多解,一题多变,对问题进行适当地延伸、拓展,拓宽知识点间的 横向联系,加深学生对知识的纵向认识,变孤立题目的教学为一类问题的研究;通过通过类比推广,把 握数学精髓.如复习求曲线方程时,要通过典型题目,把握求曲线的方程的常用方法有两类:一类是曲 线形状明确,方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等),常用待定系数法或定义法求方程. 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般采用以下方法:直译法、代入法:参数法 交 轨法等,其中核心是都是消去参数;就具体操作而言,一些基本思想和方法在于平时的积累,如待定系 数法、设而不求的解题方法、整体代换的方法等.在解析几何复习中要重点培养学生的数形转化能力、 运 算能力以及类比推理能力题的解.下举一例说明: 选自选修 4-4 中例题,也是 2000 年春季高考:已知抛物线 y 2 ? 4 px , ( p ? 0) ,O 为顶点,A、B 为抛 物线上两动点,且满足 OA ? OB ,如果 OM ? AB 于 M ,求点 M 的轨迹方程. 分析一:因点 M 是直线 OM 与 AB 的交点,所以,联想到写出直线 OM 与 AB 的方程,用方程组消 参的方法求解,其中 OA ? OB 可转化为 OA ? OB ? 0 解法 1: (设而不求,方程组消参法) 设 M ( x, y ) , A(
y y y1 , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) ,则 OA ? , y1 ) , OB ? ( 2 , y 2 ) , 4p 4p 4p 4p y12 y 2 2 16 p
2 2 2

y
y2 ( 1
2

A Q

因 为 OA ? OB , 所 以 OA ? OB ?
k AB ? y1 ? y 2 y12 y 2 2 ? 4p 4p

? y1 y 2 ? 0 , 解 得 : y1 y 2 ? ?16 p , 又 因 为

2

O B

M

x

y2 4p 4p 所 以 , 直 线 AB 的 方 程 为 : y ? y1 ? ? (x ? 1 ) y1 ? y 2 y1 ? y 2 4p



15

y?

4p 16 p 2 …………….① x? y1 ? y2 y1 ? y2

又因为 OM ? AB , 所以, 直线 OM 的方程为: y ? ?
x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0 , ( x ? 0) …………③

y1 ? y 2 x ………..②由① ? ②得: y 2 ? ? x 2 ? 4 px 即: 4p

当直线 AB 与 x 轴垂直时,可求 M 的坐标为 (4 p,0) ,满足方程③ 故所求点 M 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0 ( x ? 0) 分析二:因直线 OM 过定点 O(0,0) ,由解题经验可知,若 OA ? OB ,则直线 AB 必过 x 轴上的一个定点, 记为 Q( x0 ,0) ,所以,联想到先求出定点 Q 的坐标,再用 OM ? QM ? 0 求解. 解法 2:设 M ( x, y ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? b (k ? 0) ,并设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 由
4 p ? 2kb b2 ? y ? kx ? b 2 2 2 , x1 x 2 ? 2 ? y 2 ? 4 px 得 k x ? (2kb ? 4 p ) x ? b ? 0 ,所以, x1 ? x 2 ? 2 ? k k

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2 ?

4 pb k

又因为 OA ? OB , OA ? ( x1 , y1 ) , OB ? ( x 2 , y 2 ) 所以 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 所以
b2 k
2

?

4 pb ?0 k

,k ??

b b b .所以直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b 即: y ? ? ( x ? 4 p) 4p 4p 4p

所以直线 AB 过定点 Q(4 p,0) ,又因为 OM ? AB , OM ? ( x, y ) , QM ? ( x ? 4 p, y ) 所以 OM ? QM ? x( x ? 4 p) ? y 2 ? 0 即: x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0 ( x ? 0) …………..(*) 当直线 AB 与 x 轴垂直时,易求得 M 点的坐标为 ( 4 p,0) ,也满足方程(*) 故所求点 M 的轨迹方程为: x ? y ? 4 px ? 0 ( x ? 0)
2 2

解法 1 中方程组消参法是求两动直线交点轨迹方程的重要方法,消参的方法很多,因题而异,应灵 掌握.解法 2 中用到了直线过定点,这要求学生在解题时,要善于总结题目的规律特征,解题的经验对 解高考题是很重要的,解此题时很多考生都没有讨论直线 AB 与 x 轴垂直的情况,应引起重视变式研究: (1)求证直线 AB 过定点 (2)求线段 AB 中点轨迹(3)求三角形 OAB 面积的最小值. 拓展类比: (4)在椭圆、双曲线中可否有类似问题?解题方法如何?结论又如何? 2.1 注重数形结合,培养学生的转化能力 “数”和“形”是数学中的两个基本概念,它们是对立又统一的.数学大师华罗庚说过:“数无形 少直观,形无数难入微.”而解析几何题是考查数形结合思想方法的最好载体之一.教学中我们首先要 让学生储备好平面几何的一些基本知识.例如与三角形相关的有三角形的三线,三角形面积的求法,与 圆相关的垂径定理,切线长定理,圆的切线与弦,圆心角与圆周角等;与曲线位置关系相关的有两直线 的垂直与平行,直线与圆(椭圆)的相交、相切、相离,圆与圆的相交、相切、相离等.其次,要在数 与形的相互转化这点上进行专项训练.能否将几何条件(结论)与代数式子进行正确的相互转化是解决 解析几何题的一大关键点. 因此,我们老师在平时的复习中要有意识地让学生体会转化过程,培养学生 的转化意识,提高学生的转化能力. 2.2 注重代数方法,培养学生的运算能力
16

在历年的高考中,解析几何的得分率往往不高,究其原因,主要是考生没有过计算关和识图关,做 解析几何离不开数形结合,也离不开一定量的计算,要想使计算简洁,一定要挖掘图形各元素间的特殊 位置关系,再把这种关系转化为代数关系.在以后的教学中要加强计算能力的培养,要加强解题技巧的训 练,加强解题目标意识的培养,多方面多途径突破解析几何. 有效的转化是解题的前提,但是能否解出题目,还在于学生的运算求解能力.所以教学中我们要注 重代数方法培养学生的运算能力,这是解答解析几何题的另一大关键. 复习中要注意以下几点: 第一要注重对学生进行算法、算理的引导.解析几何对学生来说最大的困难在于运算量大,往往能形成 思路,但不能运算出结果.一方面是因为学生基本运算训练没有落实;另一方面是学生对算法、算理的理解 和储备不够.所以在复习备考过程中,我们应当对学生进行算法、算理的引导. 第二要注意方程思想的应用.解析几何题目往往条件较多,需要引入多个变量,得到多个方程,因 此用方程(组)解决解析几何题是不变的主题.由于涉及多个变量,所以学生往往感觉难以下手,教学 中教师要重点分析如何处理方程(组) ,消元、整体代换、 ,教学中应结合题目让学生切身体会这些方法 的应用; 第三要注意培养学生耐心细致的运算习惯.要培养学生的意志力,教育学生要有信心、耐心、细心 与恒心!解决解析几何综合题需要有我能行的信心,不能随意放弃.遇到复杂的代数运算要有耐心,运算 还需细心,同时还要有不达目的不罢休的恒心! 第四要根据有关“形”的特征尽量减少运算量.充分利用定义、形的特征简化计算. 第五要注意解题后反思和总结.孔子曰: “学而不思则罔. ”功夫不能仅仅花在解题上,更要用在反 思和总结上,只有这样,我们才能深化对知识的理解,才能积累解题经验,优化解题方法,防止错误再 犯,提高解题能力.同时,要克服畏惧心理,树立信心.作为教师要多鼓励,多指导,增强学生信心. 2.3 注意类比推理在解析几何中的作用 由于二次曲线间的相似性,导致很多问题既有差异又有统一.表现在方法类比、结论类比.圆中的 直径所对的圆周角为直角,在椭圆、双曲线中如何表示?圆中垂径定理在椭圆、双曲线中怎样表达?在 解题中又如何运用这些结论进行解题.数学教育杂志此类研究论文多,如广雅中学徐广华老师在《数学 通讯》2014 年第 8 期发表的《圆锥曲线顶点生成圆的有趣性质》一文就是利用圆锥曲线的“垂径定理” 得出椭圆、双曲线、抛物线的一个统一性质,还有广州市禺山高中蓝贤光老师在《数学通讯》2014 年第 7 期发表的《与圆有关的数学问题在圆锥曲线中的拓广》也是类比得到.这样的问题,可探索的空间大. 2.4 重视函数、方程与不等式思想的应用 解析几何中的参数范围,圆锥曲线的几何性质或直线与圆锥曲线的位置关系,一直是高考的热门题 型,求解的关键是根据圆锥曲线的有关性质,构造参数不等式或方程.如根据方程有解的性质构造不等 式、根据曲线的存在范围构造不等式、根据已知参数的范围构造不等式、由方程构造参数的函数、根据 直线与圆锥曲线的位置关系构造含参数的方程.从而将问题转化为求解不等式或方程问题,或根据构造 的有关参数的函数,在确定其定义域的基础上,将问题转化为函数求解. 3 .因材施教 确保每一个学生得到最大限度的发展 针对不同基础的学生,需要制定不同的解析几何复习策略.生源好的学校要尽量拿下解析几何解答 题的第 2 问,确保解答题的得分突破 10 分,生源差的学校更要立足基础,拿好客观题及解答题的第 1 问, 第 2 问尽量列出式.教师也要根据本班学生的实际对不同学生提出不同的要求,加强跟踪与辅导,只有 这样才能使每个学生得到最大限度的提高.

17

附录 1:2007 年-2014 年广东省高考文理科解析几何试题
2007 年文科数学 11.(5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,且过点 P (2, 4) ,则该 抛物线的方程是 . 19. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线

y ? x 相切于坐标原点 O ,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在, 请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 2007 年理科数学 11. (5 分) 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) . 若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是__ ____.
2

18. (本小题满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O ,椭圆

x2 y2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,若 存在求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 2008 年文科数学 6. 经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是(
2 2



A、 x ? y ? 1 ? 0

B、 x ? y ? 1 ? 0

C、 x ? y ? 1 ? 0

D、 x ? y ? 1 ? 0

20.(本小题满分 14 分)设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 2b 2 b 2

x 2 ? 8( y ? b), 如图 6 所示,过点 F (0, b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一 象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 .
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点

P ,使得 ?ABP 为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标) .
2008 年理科数学 11 . 经 过 圆 x ? 2 x ? y ? 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x ? y ? 0 垂 直 的 直 线 方 程
2 2

y F G F1 x



. A O 图4 B

x2 y 2 18. (本小题满分 14 分)设 b ? 0 ,椭圆方程为 ? ? 1 ,抛物线方程为 2b 2 b 2 x 2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一 象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 .
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
18

(2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直 角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标). 2009 年文科数学 13. 以点(2,-1)为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是________________________.

3 ,两个焦点分别为 F1 2 2 2 和 F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 ( k ? R ) 的圆心为 点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G ?请说明理由.
19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2009 年理科数学 11.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 之和为 12,则椭圆 G 的方程为
2

3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离 2


y

19. (本小题满分 14 分)已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , yB ) , 且 x A ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含 边界)为 D .设点 P ( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

x x
o

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

D
x

2010 年文科数学 6. 若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是 A. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

B. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(

)

4 A. 5

3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5
2

21.(本小题满分 14 分)已知曲线 Cn : y ? nx ,点 Pn ( xn , yn ) ( xn ? 0 , yn ? 0 )是曲线 Cn 上的点( . n ? 1, 2,? ) (Ⅰ)试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (Ⅱ)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比取得最大值,试求点 Pn 的坐标 ( xn , yn ) ; (Ⅲ)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(Ⅱ)中条件的点 Pn 的坐标,

证明:

?|
n ?1

s

(m ? 1) xn . ? (k ? 1) yn | ?| ms ? ks | ( s ? 1, 2,? ) 2

19

2010 年理科数学 12. 已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? y ? 0 相切,则圆 O 的方程是 20. (本小题满分为 14 分)一条双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P ( x1 , y1 ) ,Q( x1 , ? y1 ) 2

是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H (0, h) ( h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值. 2011 年文科数学 2.已知集合 A ?

?? x, y ? | x、y 为实数,且 x
B.3
2

2

? y 2 ? 1? , B ? ?? x, y ? | x、y 为实数,且 x ? y ? 1? ,则
C.2 D. 1

A ? B 的元素个数为 A.4

8. 设圆 C 与圆 x 2 ? ? y ? 3? ? 1 外切,与直线 y ? 0 相切.则 C 的圆心轨迹为 A. 抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 21. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A ,设 P 是 l 上一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | ? | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; 取值范围. 2011 年理科数学 2.已知集合 A ? 的元素个数为

(3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的

?? x, y ?
A.0

∣ x, y 为实数, 且 x ? y ? 1 ,B ?
2 2

?

?? x, y ? x, y 为实数,且 y ? x? ,则 A I B
D.3
2 2

B.1
2

C.2
2

19.(本小题满分 14 分)设圆 C 与两圆 ( x ? 5 ) ? y ? 4, ( x ? 5 ) ? y ? 4 中的一个内切, 另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M (

3 5 4 5 , ) , F ( 5 ,0) ,且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时点 P 坐标. 5 5

2012 年文科数学 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长
2 2

等于

A. 3 3

B. 2 3

C.

3

D. 1

x2 y 2 20.(本 小题 满分 14 分 )在 平面 直角 坐 标系 xOy 中 ,已 知椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的 左焦 点 a b F1 (?1, 0) ,且在 P (0 , 1) 在 C1 上. (1)求 C1 的方程;
(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.

20

2012 年理科数学 20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q?0,2 ? 的距离的最大值为 3. 3 (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M ?m, n ? 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x ? y ? 1 相交于不同 的两点 A, B ,且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△ OAB 的面积;若不存在, e?
请说明理由. 2013 年文科数学

1 ,则 C 的方程是( ) 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. B. C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 4 4 3 3 4 4 2 3 20. (本小题满分 14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的
9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;
(3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

2013 年理科数学

3 ,则 C 的方程是( ) 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 A. B. C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 4 4 5 2 5 2 5 5 20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F (0, C )( C ? 0 ) 到直线 L :x ? y ? 2 ? 0 3 的距离为 2 ,设 P 为直线 L 上的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA , PB ,其中 A, B 为切点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ( x0 , y0 ) 为直线 L 上的定点时,求直线 AB 的方程;
7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F (3,0) ,离心率等于 (3)当点 P 在直线 L 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 2014 年文科数学 8.若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线 A.实半轴长相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 16 5 ? k 16 ? k 5
C.离心率相等 D.焦距相等



B.虚半轴长相等

20(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y2 5 . ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 ( 5 ,0) ,离心率为 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 外一点, 且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直, 求点 P 的轨迹方程.

21

2014 年理科数学

x2 y2 x2 y2 ) ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 25 9 ? k 25 ? k 9 A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等 2 2 x y 5 20.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 , a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P ( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.
4. 若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线

附录 2:关于高等几何中极点与极线的有关知识
1 极点与极线的定义 如图, P 为不在圆锥曲线上的点,过点 P 引两条割线一次交圆锥 曲线于四点 E 、F 、G 、H , 连接 EH 、FG 交于 N , 连接 EG 、FH 交于 M ,则 MN 为点 P 对应的极线.. 若 P 为圆锥曲线上的点,过点 P 的切线即为极线. 由上作图可知,同理 PM 为点 N 对应的极线, PN 为点 M 对应极 线, MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 A 、 B 两点, 则 PA 、 PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线,每一条直线都有一个极点. 标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程与有关性质 命题 1

xx y y x2 y2 ? 2 ? 1 ,则点 P ( x0 , y0 ) 对应的极线方程为: 02 ? 02 ? 1 ; 2 a b a b 2 2 xx y y x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 ,则点 P ( x0 , y0 ) 对应的极线方程为: 02 ? 02 ? 1 ; a b a b 2 抛物线 x ? 2 py ,则点 P ( x0 , y0 ) 对应的极线方程为: x0 x ? p ( y ? y0 ) ? 0 ;
椭圆 抛物线 y ? 2 px ,则点 P ( x0 , y0 ) 对应的极线方程为: y0 y ? p ( x ? x0 ) ? 0 .
2

命题 2 若圆锥曲线中极线共点于 P,则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的极线.反之亦然.称为 极点与相应极线对偶性. (配极原则) 命题3:已知点P和直线 l 是圆锥曲线 C 的一对极点与极线.(1)若极点P在曲线上,则极线 l 与曲线 C 相切于 点P;(2)若极点P在曲线 C 内,则极线 l 与曲线 C 相离;(3)若极点P在曲线 C 外,则极线 l 与曲线 C 相交. 命题4:(1)圆锥曲线的过定点(极点)弦的端点之切线交点的轨迹为直线(极线);
(2)圆锥曲线过定点(极点)的弦AB的中点向极线作垂线交点为 PA, PB ,则 PA, PB 与圆锥曲线相

切.反之亦然. (3)圆锥曲线极线上的任意一点 M 与极点 P 的连线交圆锥曲线于 A, B 两点,则

PA MA ? ; PB MB

(4)过圆锥曲线特定直线(极线)上任意一点引圆锥曲线的切线,则切点弦直线恒过定点(极点).

上述证明可参考 梅向明 《高等几何》.

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