吉林省长春市实验中学2013届高三上学期第一次月考数学(理)试题


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一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中 ,有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且 logxy∈N*},则中元素 个 ( D ) A.9 B.8 C.3 D.4 数 是

2. 有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 A. p1 , p4

x x 1 + cos 2 = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : ?x ? R ,sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2
( A )

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4 ( C )

3. {an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4. 曲线 y= B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π sin x 1 - 在点 M?4,0?处的切线的斜率为 ? ? sin x+cos x 2 1 B . . 2 C .- 2 2 D . 2 2

( B

)

A .-

1 2

5. 已知 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? [?1, 0)
2 ? x ? 1, x ? [0,1]

则下列函数的图象错误的是

(D

)

6. 已知 a= 5

log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

5lo,c= ( )

1 5

log 3 0.3

,则 D.c>a>b

( C)

A .a>b>c

B.b>a>c

C .a>c>b
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http://www.shijuan.cn 7.设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图象可能是

( D

)

1 8. 若定义在 R 上的偶函数 f(x)在(-∞, 0)上是减函数, f( )=2, 且 那么不等式式 f( log 1 x)>2 3
8

的解集为 1 A.( ,1)∪(2,+∞) 2 1 C .(0, ) 2 9. 图中阴影部分的面积是 ( B A.16 ) B.18 C.20 D.22 1 B .(0, )∪(2,+∞) 2 D .(2,+∞)

( A )

10.已知 f ( x) ? ? 范 ( B A. ()

? x , x ? 0, ?
?x x ?e ? e , x ? 0 , ?

若函数 y ? f ( x) ? k ( x ? 1) 有三个零点,则实数 k 的取值 围 是

1 , 0) 2

B. (0 , )

1 2

C. (

1 ,1) 2

D. (1,??)

11. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y = f(x) 的 图 象 在 区 间 [0,8] 上 与 x 轴 的 交 点 的 个 数 为 (D ) B .7 C .8 D.9 A .6
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http://www.shijuan.cn 12. 函数 y ? 于

1 的图象与函数 y ? 2sin ? x( ?2 ? x ? 4) 的图象所有交点的横坐标之和等 1? x
( D )

A .2

B. 4

C. 6

D .8

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 13. 已知点( 2,2)在幂函数 y=f(x)的图象上,点?- 2,2?在幂函数 y=g(x)的图象上,若 ? ? f(x)=g(x),则 x=_____. ? 1 . 14. 已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范围是________.(-∞,2ln 2-2]
x

1? 15. 已知函数 y= f (x) 的周期为 2, x ? ?? 1, 时 f (x) =x2,那么函数 y = f (x) 的图像与函数 当
y = lg x 的图像的交点共有 16. 关于 x 的方程 2 ? 1
x

.10 则实数 k ? (3k ? 2) 2 x ? 1 ? 1 ? 2k ? 0 有三个不相等的实数根, 。 ?k k ? ?

?

?

2

的取值范围是

? ?

? 1 或k ? 0? 2 ?

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) ex a (1)设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; a e (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足 f(1-m)+f(1-m2)< 0 的实数 m 的取值范围. e x a ex a 解:(1)法一 ∵f(x)是 R 上偶函数,∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立.即 + -x= + x,1 分 a e a e (a2-1)(e2x-1)=0,对任意的 x 恒成立,
?a2-1=0, ? ∴? 解得 a=1. ? ?a>0,


3分 5分

法二 ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-1)=f(1), 11 e a ∴ ·+ae= + , ae a e 1 11 ∴?a-a?e+ ( -a)=0, ? ? ea 1 1 ∴?a-a?(e2-1)=0,∴a- =0. ? ? a 又 a>0,∴a=1. 经验证当 a=1 时,有 f(-x)=f(x).∴a=1. (2)∵f(x)的定义域为[-2,2],
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?-2≤1-m≤2, ? ∴有? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ? ?-2≤1-m ≤2,

7分

又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.②
综合①②,可知-1≤m<1. 10 分

9分

18.(本小题满分 12 分) 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x) =2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011)=0. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011)=0. 12 分

4分

8分

19. 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P) 落在下图中的两条线段上;该股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如 下表所示: 第t天 Q(万股) 4 36 10 30 16 24 22 18

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(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y 表示该股票日交易额(万元),写出 y 关于 t 的函数关系式,并求在这 30 天中第几天日交易额最大,最大值是多少?



?5t+2,0<t≤20, (1)P=? 1 ?-10t+8,20<t≤30.
1

(t∈N*)

4分

?4a+b=36, ? (2)设 Q=at+b(a,b 为常数),把(4,36),(10,30)代入,得? ∴a=-1,b=40. ? ?10a+b=30.

所以日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q=-t+40,0<t≤30,t∈N*,8 分

??5t+2?×?40-t?,0<t≤20, ? ? (3)由(1)(2)可得 y=? 1 ??-10t+8?×?40-t?,20<t≤30. ? ?
1

?-5?t-15? +125,0<t≤20, 即 y=? 1 ?10?t-60? -40,20<t≤30.
1
2 2

(t∈N*)

当 0<t≤20 时,y 有最大值 ymax=125 万元,此时 t=15;当 20<t≤30 时,y 随 t 的增大而 减小,ymax< 1 (20-60)2-40=120 万元. 10 12 分

所以,在 30 天中的第 15 天,日交易额取得最大值 125 万元. 20.(本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. (1)解 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2,于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表. x f′(x) (-∞,ln 2) - ln 2 0
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1分

(ln 2,+∞) +

http://www.shijuan.cn f(x) 单调递减? 2(1-ln 2+a) 单调递增? 4分 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2],单调递增区间是[ln 2,+∞), f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a). (2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln 2-1 时,g′(x)的最小值为 g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞), 都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0.
即 e -x +2ax-1>0,故 e >x -2ax+1.
x
2

6分

8分

10 分

x

2

12 分

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) 。 (1)求曲线 y ? f (x) 在点 P (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2ax 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解: (1)? f (0) ? 0,? P (0,0)

? f ?( x) ? 2 ln(2 x ? 1) ? 2,? f ?(0) ? 2 所以,曲线 y ? f (x) 在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x
(2)令 g(x)=(2x+1)ln(2x+1)-2ax, 对函数 g(x)求导数:g′(x)=2ln(2x+1)+2-2a 令 g′(x)=0,解得 x=

2分 ??4 分

e a ?1 ? 1 , 2

??6 分

(i)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0,所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又 g(0)=0,所以对 x≥0,都有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥2ax. ??8 分

e a ?1 ? 1 e a ?1 ? 1 ,g′(x)<0,所以 g(x)在(0, )是减函数, 2 2 e a ?1 ? 1 又 g(0)=0,所以对 0<x< ,都有 g(x)<g(0), 10 分 2
(ii)当 a>1 时,对于 0<x< 即当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥2ax 成立. 综上,a 的取值范围是(-∞,1]. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ,其中 a >0.[@#中国^教育出版&网~]
x

??12 分

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http://www.shijuan.cn (1)若 ?x ? R, f ( x) ? 1 成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上取定点 A( x1 , f ( x1 )), B ( x1 , f ( x1 ))( x1 ? x 2 ) ,记直线 AB 的斜率为 k,证明:存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.
x 解: f ?( x) ? e ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调 递减; 当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调 递增, 故当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a ) ? a ? a ln a.
因为 ?x ? R, f ( x) ? 1 成立,当且仅当

2分

a ? a ln a ? 1 .
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



4分

当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . 6分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. (Ⅱ)由题意知, k ? x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e ?
x

e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

e x1 ?e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? , ? x2 ? x1 ?

e x2 ?e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? x2 ? x1 ?
t t

8分

令 F (t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 et ? t ? 1 ? 0.
x2 ? x1

10 分

从而 e

? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0, 又
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e x1 e x2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

http://www.shijuan.cn 所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.

12 分

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