2012年广州市一模数学试题(理科)定稿.答案


2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A

二、 填空题: 本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性. 共 7 小题, 每小题 5 分, 满分 30 分. 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题仅填对 1 个,则给 3 分. 9.

4 3 3

10. ? , 2 ? 3

?2 ?

? ?

11.3

12. ?1, 2?

13.35,10

14. 6 2

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识,考查化归 与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解: f ?

?? ?? ??? ? ? tan ? ? ? ……………………………………………………………………………1 分 ?3 4? ?9?

? ? ? tan 3 4 …………………………………………………………………………3 分 ? ? ? 1 ? tan tan 3 4 tan

?

3 ?1 ? ?2 ? 3 .………………………………………………………………………4 分 1? 3

(2)解:因为 f ?

3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ………………………………………………………………5 分 4 4? ? 3 4? ?

? tan ?? ? ?? ……………………………………………………………………6 分
? tan ? ? 2 .……………………………………………………………………7 分
所以

sin ? ? 2 ,即 sin ? ? 2 cos ? . cos ?
2 2

① ②
第 1 页(共 12 页)

因为 sin ? ? cos ? ? 1 ,

数学(理科)参考答案及评分标准

由①、②解得 cos ? ?
2

1 .………………………………………………………………………………9 分 5

因为 ? ? ? ?,

? ?

5 2 5 3? ? , sin ? ? ? .…………………………………………10 分 ? ,所以 cos ? ? ? 5 5 2 ?
? ? ?? ? ? cos ? cos 4 ? sin ? sin 4 ………………………………………………………11 分 4?

所以 cos ? ? ?

? ?

??

5 2 ? 2 5? 2 3 10 ? ?? ? ? ?? .……………………………………12 分 ? ? ? 5 2 ? 5 ? 2 10

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思 想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意,得

1 1 ? (87 ? 89 ? 96 ? 96) ? ? (87 ? 90 ? a ? 93 ? 95) ,……………………………1 分 4 4

解得 a ? 3 .…………………………………………………………………………………………………2 分 (2)解:根据已知条件,可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 x ? 92 .……………………………3 分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为 s ?
2

1? 2 2 2 2 ?9. ?87 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 93 ? 92 ? ? ? 95 ? 92 ? ? ? ? 4

……………………………5 分 (3)解:分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有 4 ? 4 ? 16 种可能的结果.……………6 分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表:
X 乙 甲

87 0 6 6 8

89 2 4 4 6

96 9 3 3 1

96 9 3 3 1

87 93 93 95 由表可得 P( X ? 0) ?

所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6,8,9.…………………………………………………8 分

1 2 1 4 , P ( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P ( X ? 3) ? , 16 16 16 16 2 3 1 2 P( X ? 4) ? , P( X ? 6) ? , P ( X ? 8) ? , P( X ? 9) ? . 16 16 16 16 所以随机变量 X 的分布列为:
X
P
随机变量 X 的数学期望为 0 1 2 3 4 6 8 9

1 16

2 16

1 16

4 16

2 16

3 16

1 16

2 16

……………………10 分

EX ? 0 ?

1 2 1 4 2 3 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ?8 ? ? 9 ? …………………………11 分 16 16 16 16 16 16 16 16 68 17 ? ? .…………………………………………………………………………………………12 分 16 4
数学(理科)参考答案及评分标准 第 2 页(共 12 页)

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归 与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) PD ? AC , (1) 证明 1: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC , 所以 PD ? 平面 ABC .…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中, AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 6 , AC ? 4 ,所以 BE ?

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .………………3 分
P

因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 3 , CD ? 3 , 所以 PC ?

PD 2 ? CD 2 ?

? 3? ? 2?

2

? 32 ? 2 3 .………4 分
A
E D B

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 BE ? 2 , DE ? 1 , 所以 BD ?

C

BE 2 ? DE 2 ?

2

? 12 ? 3 .…………5 分

因为 PD ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 PD ? 3 , BD ? 3 , 所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ?

? 3? ? ? 3?
2

2

? 6 .…………………………………………………6 分

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ? 所以 BC ? PB ? PC .
2 2 2

6 , PC ? 2 3 ,

所以 ?PBC 为直角三角形.………………………………………………………………………………7 分 PD ? AC , 证明 2: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC I 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC , 所以 PD ? 平面 ABC .…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 6 , AC ? 4 ,所以 BE ?

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .………………3 分

o 连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .………………………………………………………4分

在△ BCD 中,因为 CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 ,
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .……………………………………………………………5分

因为 PD ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 BC ? PD .…………………………………………………………………………………………6分 因为 BD PD ? D ,所以 BC ? 平面 PBD . 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC 为直角三角形.………………………………………………………………………………7分

数学(理科)参考答案及评分标准

第 3 页(共 12 页)

(2)解法1:过点 A 作平面 PBC 的垂线,垂足为 H ,连 PH , 则 ?APH 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角.…………………………………………………………8 分 由(1)知,△ ABC 的面积 S ?ABC ? 因为 PD ? 3 ,所以 VP ? ABC ?

1 ? AC ? BE ? 2 2 .…………………………………………9 分 2

1 1 2 6 ? S?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 3 ? .…………………………10 分 3 3 3

由(1)知 ?PBC 为直角三角形, BC ? 6 , PB ? 所以△ PBC 的面积 S ?PBC ?

6,

1 1 ? BC ? PB ? ? 6 ? 6 ? 3 .……………………………………11 分 2 2

因为三棱锥 A ? PBC 与三棱锥 P ? ABC 的体积相等,即 VA? PBC ? VP? ABC , 即 ? 3 ? AH ?

1 3

2 6 2 6 ,所以 AH ? .……………………………………………………………12 分 3 3

在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ?

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .………………………………………………………13 分

2 6 AH 6 ? 3 ? 因为 sin ?APH ? . AP 2 3
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 解法 2:过点 D 作 DM ∥AP ,设 DM

6 .…………………………………………………14 分 3

PC ? M , 则 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的角.……………………………………8 分 P 由(1)知 BC ? PD , BC ? PB ,且 PD PB ? P , M 所以 BC ? 平面 PBD .
因为 BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PBD . 过点 D 作 DN ? PB 于点 N ,连接 MN , 则 DN ? 平面 PBC . 所以 ?DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角.……10 分 在 Rt △ PAD 中,因为 PD ? 3 , AD ? 1 , 所以 AP ?

A

D

N
B

C

PD 2 ? AD 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 .………………………………………………………11 分

因为 DM ∥AP ,所以

DM CD DM 3 3 ? ? ,所以 DM ? .………………………………12 分 ,即 AP CA 2 4 2

由(1)知 BD ? 3 , PB ? 所以 DN ?

6 ,且 PD ? 3 ,

PD ? BD 3? 3 6 .……………………………………………………………13 分 ? ? PB 2 6
数学(理科)参考答案及评分标准 第 4 页(共 12 页)

6 DN 6 因为 sin ?DMN ? , ? 2 ? 3 DE 3 2
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .…………………………………………………14 分 3
P

解法 3:延长 CB 至点 G ,使得 BG ? BC ,连接 AG 、 PG ,……………………………………8 分 在△ PCG 中, PB ? BG ? BC ? 6 , 所以 ?CPG ? 90 ,即 CP ? PG .
o

K
在△ PAC 中,因为 PC ? 2 3 , PA ? 2 , AC ? 4 , 所以 PA ? PC ? AC ,
2 2 2

A

E D B

C

所以 CP ? PA . 因为 PA I PG ? P ,

G

所以 CP ? 平面 PAG .…………………………………………………………………………………9 分 过点 A 作 AK ? PG 于点 K , 因为 AK ? 平面 PAG , 所以 CP ? AK . 因为 PG I CP ? P , 所以 AK ? 平面 PCG . 所以 ? APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角.……………………………………………………11 分 由(1)知, BC ? PB , 所以 PG ? PC ? 2 3 . 在△ CAG 中,点 E 、 B 分别为边 CA 、 CG 的中点, 所以 AG ? 2BE ? 2 2 .………………………………………………………………………………12 分 在△ PAG 中, PA ? 2 , AG ? 2 2 , PG ? 2 3 ,
2 2 2 所以 PA ? AG ? PG ,即 PA ? AG .……………………………………………………………13 分

因为 sin ?APK ?

AG 2 2 6 . ? ? PG 2 3 3
6 .…………………………………………………14 分 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

解法 4:以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐标系

E ? xyz ,…………………………………………………………………………………………………8 分

数学(理科)参考答案及评分标准

第 5 页(共 12 页)

则 A? 0, ?2,0? , B 于是 AP ? 0,1,

?

? 2, 0, 0? , C ?0,2,0? , P ? 0, ?1, 3 ? . 3 ? , PB ? ? 2,1, ? 3 ? , PC ? ? 0,3, ? 3 ? .
A

P

z

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

E D

? ?n ? PB ? 0, 则? ? ?n ? PC ? 0.
即?

C

y

x

B

? ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ?3 y ? 3z ? 0. ?

取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?
?

2,1, 3 .……………………………………………………12分

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? , 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ?

AP ? n AP ? n

4 6 . ? 3 2? 6
6 .…………………………………………………14 分 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

若第(1) 、 (2)问都用向量法求解,给分如下: (1)以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐标系

E ? xyz ,…………………………………………………………………………………………………1 分
则B

?

2, 0, 0 , C ? 0,2,0? , P 0, ?1, 3 .

?

?

?

P

z

于是 BP ? ? 2, ?1, 3 , BC ? ? 2, 2, 0 . 因为 BP BC ? ? 2, ?1, 3 所以 BP ? BC .

?

?

?

?

?

? ??

2, 2, 0 ? 0 ,

?

A

E D

C

y

所以 BP ? BC . 所以 ?PBC 为直角三角形.………………………………………………………………………………7分 (2)由(1)可得, A? 0, ?2,0? . 于是 AP ? 0,1, 3 , PB ?

x

B

?

?

?

2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 .

?

?

?

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

数学(理科)参考答案及评分标准

第 6 页(共 12 页)

则?

? ?n ? PB ? 0, ? ?n ? PC ? 0.

即?

? ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0.

取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ?

?
?

2,1, 3 .……………………………………………………12分

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? , 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ?

AP ? n AP ? n

4 6 . ? 3 2? 6
6 .…………………………………………………14 分 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能 力、运算求解能力和创新意识) (1)解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,依题意,有

2a4 ? 4a5 ? , ? ?a3 ? a4 ? 2a5 , ?a3 ? 即? ……………………………………………………………………2 分 2 ? 2 a ? 2 a . ? 2 3 2 ? ? a ? 2a . 2 ? 3
2 3 4 ? ?a1q ? a1q ? 2a1q , 所以 ? 2 ………………………………………………………………………………3 分 2 2 ? ?a1q ? 2a1 q .

1 ? 1 a1 ? , ? ? ? ?a ? , 2 由于 a1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或 ? 1 2 ……………………………………………………5 分 ?q ? 1. ? ? q ? ?1. ? ? 2
又 a1 ? 0, q ? 0 ,所以 a1 ?

1 1 , q ? ,…………………………………………………………………6 分 2 2

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ( n ? N ) .…………………………………………………7 分
*

?1? ?2?

n

(2)解:由(1) ,得 bn ?

2n ? 5 2n ? 5 1 ? an ? ? n .………………………………8 分 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

所以 bn ? ?

1 ? 1 ? 2 ? ?? n ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? 2

?

1 1 ? .…………………………………………………………………10 分 n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n
数学(理科)参考答案及评分标准 第 7 页(共 12 页)

所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5? 2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

1 1 . ? ? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

1 1 .………………………………………………………14 分 ? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得 A(?1, 0) , B(1, 0) .…………………………………………………………………1 分 设双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ?b ? 0? , b2

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

1 ? b2 ? 5 ,即 b ? 2 . 1

所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. ……………………………………………………………………3 分 4

(2)证法 1:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) ,直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) , 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ………………………………………………………………………4 分

? y ? k ? x ? 1? , ? 联立方程组 ? ………………………………………………………………………………5 分 y2 2 x ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 整理,得 4 ? k x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 ,

?

?

解得 x ? ?1 或 x ?

4 ? k2 4 ? k2 x ? .所以 .…………………………………………………………6 分 2 4 ? k2 4 ? k2

同理可得, x1 ?

4 ? k2 .…………………………………………………………………………………7 分 4 ? k2

所以 x1 ? x2 ? 1.……………………………………………………………………………………………8 分

证法 2:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) ,
数学(理科)参考答案及评分标准 第 8 页(共 12 页)

则 k AP ?

y1 y2 , k AT ? .…………………………………………………………………………4 分 x1 ? 1 x2 ? 1
y12 y2 2 y1 y2 ? ,即 .……………………………………5 分 ? ? kAT ,所以 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?
2

因为 k AP

因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?

y12 y2 ? 1 , x2 2 ? 2 ? 1 . 4 4

2 2 2 2 即 y1 ? 4 x1 ? 1 , y2 ? 4 1 ? x2 .…………………………………………………………………6 分

?

?

?

?

所以

4 ? x12 ? 1?

? x1 ? 1?

2

?

4 ?1 ? x2 2 ?

? x2 ? 1?

2

,即

x1 ? 1 1 ? x2 .……………………………………………………7 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1

所以 x1 ? x2 ? 1.……………………………………………………………………………………………8 分 证法 3:设点 P( x1 , y1 ) ,直线 AP 的方程为 y ?

y1 ( x ? 1) ,………………………………………4 分 x1 ? 1

y ? y ? 1 ? x ? 1? , ? x1 ? 1 ? 联立方程组 ? …………………………………………………………………………5 分 2 y ? x2 ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 2 2 整理,得 ? ? 4( x1 ? 1) ? y1 ? ? x ? 2 y1 x ? y1 ? 4( x1 ? 1) ? 0 ,

4( x1 ? 1)2 ? y12 解得 x ? ?1 或 x ? .…………………………………………………………………6 分 4( x1 ? 1)2 ? y12
将 y12 ? 4x12 ? 4 代入 x ?

1 1 4( x1 ? 1)2 ? y12 ,得 x ? ,即 x2 ? . 2 2 x1 x1 4( x1 ? 1) ? y1

所以 x1 ? x2 ? 1.…………………………………………………………………………………………8 分 (3)解:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? . 因为 PA ? PB ? 15 ,所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ,即 x12 ? y12 ? 16 .…………………………9 分
2

y12 ? 1 ,所以 x12 ? 4x12 ? 4 ? 16 ,即 x12 ? 4 . 因为点 P 在双曲线上,则 x ? 4
2 1

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 .…………………………………………10 分

数学(理科)参考答案及评分标准

第 9 页(共 12 页)

1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | , S2 ? | OB || y1 |? | y1 | , 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 S1 ? S 2 ? y2 ? y1 ? ? 4 ? 4 x2 ? ? ? x1 ? 1? ? 5 ? x1 ? 4 x2 .……………………………11 分 4
因为 S1 ? 由(2)知, x1 ? x2 ? 1,即 x2 ? 设 t ? x12 ,则 1 ? t ? 4 ,

1 . x1

S12 ? S 2 2 ? 5 ? t ?
设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 . t

4 4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? ,则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? , t t t2

当 1 ? t ? 2 时, f ? ?t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ?t ? ? 0 , 所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, 4? 上单调递减. 因为 f ? 2? ? 1 , f ?1? ? f ? 4? ? 0 ,
2 2 所以当 t ? 4 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2 2 2 当 t ? 2 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2

?

?

min

? f ? 4 ? ? 0 .……………………………………………12 分

?

?

max

? f ? 2 ? ? 1 .………………………………………………13 分

所以 S12 ? S22 的取值范围为 ?0,1? .……………………………………………………………………14 分

2 2 2 2 说明:由 S1 ? S 2 ? 5 ? x1 ? 4 x2 ? 5 ? 4 x1 x2 ? 1 ,得 S1 ? S2

?

?

?

2

2

?

max

? 1 ,给 1 分.

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、化归与转化、 分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? e ? x ?1 ,
x
x 所以 ?1? ( x ) ? e ? 1 . ………………………………………………………………………………………1 分

当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 .

) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小值,………2 分 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??
因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 , 所以 f ( x ) ≥g1 ( x) .………………………………………………………………………………………3 分
数学(理科)参考答案及评分标准 第 10 页(共 12 页)

?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .

(2)解:当 x ? 0 时, f ( x) ? gn ( x) .………………………………………………………………………4 分 用数学归纳法证明如下: (资料来源:中国高考吧 www.gaokao8.net) ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x ) ? g1 ( x) .
* ②假设当 n ? k ( k ? N )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? gk ( x) ,…………………………………5 分

令 ?k ( x) ? f ( x) ? gk ( x) , ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) ,

? ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) , 因为对任意的正实数 x , ?k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k
由归纳假设知,? k ?1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 .…………………………………………………………6 分 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ?k ?1 ( x) ? ?k ?1 (0) , 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ,所以 ?k ?1 ( x) ? 0 . 从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x) . 这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有 f ( x) ? g k ?1 ( x) . 由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? gn ( x) .………………………………………………………8 分 (3)证明 1:先证对任意正整数 n , gn ?1? ? e . 由(2)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x) ? gn ( x) . 令 x ? 1 ,得 gn ?1? ? f ?1? = e . 所以 gn ?1? ? e . ……………………………………………………………………………………………9 分 再证对任意正整数 n , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?2? ?2?

1

?2? ?3?

2

? 2? ? 4?

3

1 1 ? 2 ? ?? ? ? gn ?1? ? 1 ? 1 ? 2! ? 3! ? ? n ?1 ?
n

n

?

1 . n!

1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? ? ? 成立. ? n ? 1 ? n! ? n ?1 ? 即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ? ? (*)成立.……………………………………10 分 ? 2 ?
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) : ①当 n ? 1 时, 1! ? ?
n

? 1?1 ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
数学(理科)参考答案及评分标准 第 11 页(共 12 页)

1

②假设当 n ? k ( k ? N )时,不等式(*)成立,
*

即 k!? ?

? k ?1 ? ? .………………………………………………………………………………………11 分 ? 2 ?
k k ?1

k

? k ?1 ? ? k ?1 ? 则 ? k ? 1?! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k ?1



?k ?2? k ?1 k ?1 ? ? 1 ? 1 2 ? ?k ?2? ? 0 1 因为 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? Ck ?1 ? Ck ?1 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1? ? k ?1 ? ? ? ? 2 ?
所以 ? k ? 1?! ? 2 ?

?1 ? 1 ? ? Ck k ?1 ? ? ? k ?1 ?

k ?1

? 2 ,…12 分

? k ?1 ? ? ? 2 ?

k ?1

? k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1

.……………………………………………………………13 分

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立.

?2? ?2? ?2? 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?4?
方法 2(基本不等式法) : 因为 n ?1 ?

1

2

3

? 2 ? ?? ? ? gn ?1? ? e 成立. ? n ?1 ?
……………………………………14 分

n

n ?1 ,……………………………………………………………………………………11 分 2 n ?1 , ? n ? 1? ? 2 ? 2
……,

1? n ?

n ?1 , 2
n

? n ?1 ? 将以上 n 个不等式相乘,得 n ! ? ? ? .……………………………………………………………13 分 ? 2 ?
所以对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?2? ?2?

1

?2? ?3?

2

?2? ?4?

3

? 2 ? ?? ? ? gn ?1? ? e 成立. ? n ?1 ?
……………………………………14 分

n

数学(理科)参考答案及评分标准

第 12 页(共 12 页)


相关文档

更多相关文档

2012年广州市一模数学试题(理科)定稿
2012年广州市一模数学试题(理科)定稿.纯word版
2012年广州市一模数学试题(理科)-含答案
2012年广州市高考一模数学试题(理科)定稿.
广州市2012年一模理科数学试题
2012年广州一模理科数学试题以及解答(Word精美版)
2014年广州市一模数学试题(理科)及参考答案
2012年广州一模理科数学试题以及答案(word)
2012年广州市一模数学试题(理科)(纯WORD精美答案)
2014年广州市一模理科数学试题(理数定稿)
电脑版