第3讲 三角函数的图像与性质


第 3 讲 三角函数的图像与性质
考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性. 【复习指导】 1.要熟记本节的基础知识,并会将 ωx+φ 看作一个整体进行解题. 2.解题时要注意图像的应用,如利用图像求函数的最值、值域等. 3.注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题,这是近几年高考的热点. 4.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用.

基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π ? ?3π ? (0,0),? ?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). (2)y=cos x 的图像在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 π ? ?3π ? (0,1),? ?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). 2.三角函数的图像和性质 函数

性质 定义域

y=sin x R

y=cos x R

y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

图像

值域 对称性 π 对称轴:x=kπ+ 2 (k∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z)

[-1,1]

[-1,1]

R

对称轴:x=kπ(k∈Z)

无对称轴

对称中心: kπ ? 对称中心:? ? 2 ,0? (k∈Z)

?kπ+π,0?(k∈Z) 2 ? ?

周期 单调性

2π 单调增区间



π

?2kπ-π ,2kπ+ π? 2 2? ?
(k∈Z);单调减区间 单调增区间[2kπ-π, 2kπ](k∈Z);

?2kπ+π ,2kπ+ 3π? 2 2? ?
(k∈Z) 单调减区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z) 奇偶性

π kπ- , 单调增区间? 2 ? π kπ+ 2? ?(k∈Z) 奇 偶 奇

两条规律 (1)周期性 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 π 为 . |ω| (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根据正弦 函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 双基自测 π x+ ?,x∈R( 1.(北师大版教材习题改编)函数 y=cos? ? 3? A.是奇函数 ). 2π , y=tan(ωx+φ)的最小正周期 |ω|

B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C π ? 2.函数 y=tan? ?4-x?的定义域为(
? ? π x≠kπ- ,k∈Z? A.?x? 4 ? ? ? ? ? π ? C.?x? ?x≠kπ+4 ,k∈Z ? ? ?

).

? ? π x≠2kπ- ,k∈Z ? B.?x? 4 ? ? ? ? π ? D.?x? ?x≠2kπ+4 ,k∈Z ? ?

答案 A 3.(2012· 成都质检)函数 y=4sin x,x∈[-π,π]的单调性是( A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数 π π? π? ?π ? ? B.在? ?-2,2?上是增函数,在?-π,-2?和?2,π?上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数 π ? ? π? ? π π? D.在? ?2,π?∪?-π,-2?上是增函数,在?-2,2?上是减函数 解析 由 y=sin x 的单调性可知 B 正确. 答案 B π? 4.y=sin? ?x-4?的图像的一个对称中心是( A.(-π,0) 3π ? C.? ? 2 ,0? 3π ? B.? ?- 4 ,0? π ? D.? ?2,0? ). ).

π π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x- =kπ(k∈Z),x=kπ+ (k∈Z), 4 4 π 3π 3 x- ?的一个对称中心是?- ,0?. 由 k=-1,x=- π 得 y=sin? ? 4? ? 4 ? 4 答案 B π? 5.(2011· 合肥三模)函数 f(x)=cos? ?2x+6?的最小正周期为________. 2π 解析 T= =π. 2 答案 π

考向一 三角函数的定义域与值域

【例 1】?(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. π |x|≤ ?的最大值与最小值. (2)求函数 y=cos2x+sin x? 4? ? [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大于等于零,再利用单位圆或图像 求 x 的范围. (2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解决.



? ? ?kπ<x<kπ+2,k∈Z, ?sin 2x>0, ? (1)依题意 ?? 2 ?9-x ≥0 ? ? ?-3≤x≤3,

π

? π π? -3≤x<- ,或0<x< ?. ??x? 2 ? 2? ?

(2)设 sin x=t,则 t∈?-

?

2 2? . , 2 2?

1?2 5 2 2? ? ∴y=1-sin2x+sin x=-? ?t-2? +4,t∈?- 2 , 2 ?, 1 π 5 故当 t= ,即 x= 时,ymax= , 2 6 4 当 t=- 1- 2 2 π ,即 x=- 时,ymin= . 2 4 2 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或 三角函数图像来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值 域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值 域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值). 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? ? π? sin?x+π?,求函数 f(x)在区间?- π ,π?上的 (2)已知函数 f(x)=cos? ?2x-3?+2sin?x-4?· ? 4? ? 12 2? 最大值与最小值.



(1)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]

上 y=sin x 和 y=cos x 的图像,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以 4 4 定义域为
? ? ? π 5π ?x 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ?. , k ∈ Z 4 4 ? ? ?

1 3 1 3 (2)由题意得:f(x)= cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)· (sin x+cos x)= cos 2x+ sin 2x 2 2 2 2 π? 1 3 +sin2x-cos2x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin? ?2x-6?. 2 2 π π? π ? π 5π? 又 x∈? ?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, π? ? 3 ? ∴sin? ?2x-6?∈?- 2 ,1?. π 故当 x= 时,f(x)取最大值 1; 3 π 3 当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 考向二 三角函数的奇偶性与周期性 π? 【例 2】?(2011· 大同模拟)函数 y=2cos2? ?x-4?-1 是( ).

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π π C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 [审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和奇偶性. π? π? 2π ? 解析 y=2cos2? ?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. 答案 A 求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把三角函 数式化为一个角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函 数的周期求解公式进行. 【训练 2】 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是________. 解析 由 f(x) = (sin x - cos x)sin x = sin2x - sin xcos x = 1-cos 2x 1 2 - sin 2x =- 2 2 2

π? 1 sin? ?2x+4?+2. ∴最小正周期为 π. 答案 π

考向三 三角函数的单调性 π ? 【例 3】?已知 f(x)=sin x+sin? ?2-x?,x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. [审题视点] 化为形如 f(x)=Asin(x+φ)的形式,再求单调区间. 解 π ? f(x)=sin x+sin? ?2-x?

π x+ ?. =sin x+cos x= 2sin? ? 4? π π π 由- +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得:- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z, 4 4 π 0, ?. 又 x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为? ? 4? 求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数. π? 【训练 3】 函数 f(x)=sin? ?-2x+3?的单调减区间为______. 解析 π? π? π? ? ? f(x)=sin? ?-2x+3?=-sin?2x-3?,它的减区间是 y=sin?2x-3?的增区间.

π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得:kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.故所求函数的减区 2 3 2 12 12 π 5π? 间为? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). π 5π? 答案 ? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) 考向四 三角函数的对称性 π? 【例 4】?(1)函数 y=cos? ?2x+3?图像的对称轴方程可能是( π π A.x=- B.x=- 6 12 π π C.x= D.x= 6 12 ).

π π ? (2)若 0<α< ,g(x)=sin? ?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. 2 [审题视点] (1)对 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,把“ωx+φ”看作一个整体,即可求. π π (2)利用 +α=kπ+ (k∈Z),求解限制范围内的 α. 4 2 解析 π kπ π (1)令 2x+ =kπ(k∈Z),得 x= - (k∈Z), 3 2 6

π 令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x=- .本题也可用代入验证法来解. 6 π π π π 2x+ +α?为偶函数,则须 +α=kπ+ ,k∈Z,α=kπ+ ,k∈Z,∵0 (2)要使 g(x)=cos? 4 ? ? 4 2 4 π π <α< ,∴α= . 2 4 答案 π (1)A (2) 4 正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图像 只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. π |φ|< ?的一条对称轴为 x= π ,则 φ=________. 【训练 4】 (1)函数 y=2sin(3x+φ)? 2? ? 12 (2)函数 y=cos(3x+φ)的图像关于原点成中心对称图形.则 φ=________. 解析 π (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z), 2

π π 即 3× +φ=kπ+ (k∈Z), 12 2 π 得 φ=kπ+ (k∈Z), 4 π π 又|φ|< ,∴k=0,故 φ= . 2 4 (2)由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数, π ∴φ=kπ+ ,k∈Z. 2 答案 π π (1) (2)kπ+ ,k∈Z 4 2

难点突破 9——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用三 角函数的性质解答此类问题, 是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的, 解答时通常将方 程的思想与待定系数法相结合. 下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解

析. 一、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】? (2011· 泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可 以取的一个值为( π A. 6 π B. 3 ). π C.- 6 π D.- 3

二、根据三角函数的单调性求解参数 π? 【示例】 ? (2011· 镇江三校模拟 ) 已知函数 f(x) = sin ? ?ωx+3? (ω> 0)的单调递增区间为

?kπ-5π,kπ+ π ?(k∈Z),单调递减区间为?kπ+ π ,kπ+7π?(k∈Z),则 ω 的值为________. 12 12? 12 12? ? ?

三、根据三角函数的周期性求解参数 π? π 【示例】? (2011· 合肥模拟)若函数 y=sin ωx· sin? ?ωx+2?(ω>0)的最小正周期为7,则 ω =________. 化为形如 y=Asin(ωx+φ)的形式 π? 1 2π π y=sin ωxsin? ?ωx+2?=sin ωxcos ωx=2sin 2ωx,由 T=2ω=7,∴ω=7

解题时要注意x的系数ω是否规定了符号,若无符号规定,利用周期公式时须加绝对值 四、根据三角函数的最值求参数 π 【示例】? (2011· 洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x= 处有最小值-2,则常数 3 a、b 的值是( ).

A.a=-1,b= 3 B.a=1,b=- 3 C.a= 3,b=-1 D.a=- 3,b=1


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