安徽省合肥三中2016届高三上学期12月月考数学试卷.doc


2015-2016 学年安徽省合肥三中高三(上)12 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有唯一正确选项,请把正确选项填 在答题卷上) 1.已知复数 z= A. + i (其中 i 为虚数单位) ,则 z=( B. ﹣ i C.1+ i ) D. + i

【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】利用复数的除法运算法则即可得出. 【解答】解:复数 z= 故选:A. = = = .

2.“不等式 x(x﹣2)>0”是“不等式 A.充分不必要条件 C.充要条件

”成立的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由“不等式 x(x﹣2)>0”? “x>2 或 x<0”? “不等式 ”,“不等式 ”? “x ”成立的

>2 或 x<0”? “不等式 x(x﹣2)>0”,知“不等式 x(x﹣2)>0”是“不等式 充要条件. 【解答】解:∵“不等式 x(x﹣2)>0”? “x>2 或 x<0”? “不等式 “不等式 ”? “x>2 或 x<0”? “不等式 x(x﹣2)>0”, ”成立的充要条件. ”,

∴“不等式 x(x﹣2)>0”是“不等式 故选 C.

3.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7+a3a8=27,则 log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10= ( A.12 ) B.10 C .8 D.2+log35

【考点】数列的求和. 【分析】由题设条件知 a5a6=9,再由等比数列的性质知 log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=log3 ,由此能求出结果.

【解答】解:∵等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7+a3a8=27, ∴a5a6=a4a7=a3a8=9, ∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10 =log3(a1×a2×a3×…×a10) =log3 =log3310 =10. 故选 B.

4.已知 则 P∩Q=( A.{〔1,1〕} 【考点】交集及其运算. ) B.{〔﹣1,1〕}





C.{〔1,0〕}

D.{〔0,1〕}

【分析】先根据向量的线性运算化简集合 P,Q,求集合的交集就是寻找这两个集合的公共 元素,通过列方程组解得. 【解答】解:由已知可求得 P={(1,m)},Q={(1+n,1+n)}, 再由交集的含义,有 ∴P∩Q={〔1,1〕} 故选 A. ? ,

5.该试题已被管理员删除

6.在△ABC 中,若 D 是 BC 边所在直线上一点且满足 A. =﹣2 B. =2 C.

= =﹣

+

,则( D. =



【考点】向量加减混合运算及其几何意义.

【分析】根据题意,画出图形,结合图形解答问题,求出



的关系,即得答案. = + ,如图所示;

【解答】解:△ABC 中,若 D 是 BC 边所在直线上一点且满足

∴ ∴ ∴

= =﹣ =﹣



=( , .

+

)﹣

=﹣

+

= (



)=



故选:C.

7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 如图所示,则函数 f(x)的解析式为( )

) ,其导函数 f′(x)的部分图象

A.f(x)=2sin( x﹣ C.f(x)=sin( x﹣

) )

B.f(x)=2sin( x+ D.f(x)=sin( x+

) )

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由三角函数图象可得 f′(x)=sin( x﹣ 【解答】解:设导函数 f′(x)=acos(bx+c) , 由图象可得 a=1, =4×( + ) ,∴b= , ) ,逐个选项求导数验证可得.

∴f′(x)=cos( x+c) , 代入点( ,0)可得 cos(﹣ +c)=0,可取 c=﹣ ,

∴f′(x)=sin( x﹣

) ,

逐个选项验证可得 A 符合题意, 故选:A

8.六棱锥 P﹣ABCDEF 中,底面是正六边形,顶点在底面的射影是底面正多边形中心,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D﹣GAC 与三棱锥 P﹣GAC 体积之比为( A.1:1 B.1:2 C.2:1 ) D.3:2

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】利用等积法将两棱锥转化为两个同高棱锥的比,通过计算底面积得出体积比. 【解答】解:设棱锥的高为 h, ∵VD﹣GAC=VG﹣ACD= VP﹣ACD= S△ACD?h, VP﹣GAC=VG﹣ACP= VB﹣APC= VP﹣ABC= S△ABC?h,



=

. a2,

设底面正六边形 ABCDEF 的边长为 a,则 S△ABC= S△ACD= AC?CD= × a×a= a2.

=



=2,

即 故选:C.

=2.

9.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组

所表示的区域上一动点,则直

线 OM 斜率的最小值为( A.2 【考点】简单线性规划.

) B.1 C. D.

【分析】本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可 行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.

【解答】解:不等式组

表示的区域如图,

当 M 取得点 A(3,﹣1)时, z 直线 OM 斜率取得最小,最小值为 k= =﹣ .

故选 C.

10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1) ,已 知当 x∈[0,1]时, ,则:①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,

2)上递减,在(2,3)上递增;③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4) 时, A.①② .其中所有正确命题的序号是( B.②④ C.①②④ ) D.①③④

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据条件求出函数的周期,即可判定①的真假,根据函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数,以及在(0,1)上的单调性,可判定②的真假,根据单调性和周期性可求出函数的 最值,可判定③的真假,最后求出函数在 x∈[3,4]时的解析式即可判定④的真假. 【解答】解:∵对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1) , ∴f(x+2)=f(x)则 f(x)的周期为 2,故①正确; ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x∈[0,1]时, ,

∴函数 f(x)在(0,1)上是增函数,函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上 是增函数,故②正确; ∴函数 f(x)的最大值是 f(1)=1,最小值为 f(0)= ,故③不正确; 设 x∈[3,4],则 4﹣x∈[0,1],f(4﹣x)= 故选 C. =f(﹣x)=f(x) ,故④正确;

11.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0, ) C. (0,1)



D. (0,+∞)

【考点】根据实际问题选择函数类型. 【分析】先求导函数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx﹣2ax+1 有两个零点,等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象由两个交点,在同一个坐标系中作出它 们的图象.由图可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:函数 f(x)=x(lnx﹣ax) ,则 f′(x)=lnx﹣ax+x( ﹣a)=lnx﹣2ax+1, 令 f′(x)=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1, 函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx﹣2ax+1 有两个零点, 等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点, 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图) 当 a= 时,直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切, 由图可知,当 0<a< 时,y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点. 则实数 a 的取值范围是(0, ) . 故选 B.

12.已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点按从小到 ) D.55

大的顺序排列成一个数列,则该数列的前 n 项的和为 Sn,则 S10=( A.210﹣1 B.29﹣1 C.45

【考点】数列与函数的综合;函数的零点.

【分析】函数 y=f(x)与 y=x 在(0,1], (1,2], (2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点 依次为(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,…, (n+1,n+1) .即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的根依次为 3,4,…n+1.方程 f(x)﹣x=0 的根按从 小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…,可得数列通项公式. 【解答】解:当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1<0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 当 3<x≤4 时,有 2<x﹣1≤3,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2
x﹣2 x﹣3 x﹣4 x﹣1



+1, +2, +3,
x﹣n﹣1

以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2
x

+n,

所以,函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点为: (0,1)和(1,2) , 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后: ①将函数 f(x)=2x 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位,即得到函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0) . 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. ②取①中函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单 位, 即得 f(x)=2
x﹣1 x

和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1) .

即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. ③取②中函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到 f(x)=2
x﹣2

+1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2) .

即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依次为(3, 3) , (4,4) ,… (n+1,n+1) . 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的根依次为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为: 0,1,2,3,4,…,

其通项公式为:an=n﹣1,前 n 项的和为 Sn= ∴S10=45, 故选 C.



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.Rt△ABC 的三个顶点在半径为 13 的球面上,两直角边的长分别为 6 和 8,则球心到平 面 ABC 的距离是 12 . 【考点】点、线、面间的距离计算. 【分析】 利用已知条件可计算出 Rt△ABC 的斜边长, 根据斜边是 Rt△ABC 所在截面的直径, 进而可求得球心到平面 ABC 的距离. 【解答】解:Rt△ABC 的斜边长为 10,Rt△ABC 的三个顶点在半径为 13 的球面上, ∴斜边是 Rt△ABC 所在截面圆的直径, 球心到平面 ABC 的距离是 d= 故答案为:12. .

14.计算:

2 (x +

)dx=



【考点】定积分. 【分析】首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分,然后分别求原函数代入求值. 【解答】解: dx= 故答案为: .
2 (x +

) = | + = ;

15.矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射 影 A′落在 BC 上,则二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值为 【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】过 A 作 AO⊥BD,交 BD 于 O,连结 A′O,由 AA′⊥平面 BCD,知∠AOA′是二面 角 A﹣BD﹣C 的平面角,由此能求出二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值. .

【解答】解:∵过 A 作 AO⊥BD,交 BD 于 O,连结 A′O, ∵沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上, ∴AA′⊥平面 BCD,∴∠AOA′是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角, ∵矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4, ∴AO= = ,BO= = ,tan , = ,

A′O=OE=BO?tan∠CBD=

在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°, ∴ , .

∴二面角 A﹣BD﹣C 的余弦值为 故答案为: .

16.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° cos17° ﹣sin13° ; ②sin215° +cos215° cos15° ﹣sin15° ; ③sin218° +cos212° cos12° ﹣sin18° ;
2 ④sin2(﹣18° )+cos 48° ﹣sin(﹣18° )cos48° ; 2 ⑤sin2(﹣25° )+cos 55° ﹣sin(﹣25° )cos55° .

试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;并根据你的计算结果,将该同学的发现推广
2 2 为三角恒等式 sin α+cos (30° ﹣α)﹣sinαcos(30° ﹣α)=



【考点】归纳推理. 【分析】选择②式,由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解,发现推广三角恒等式为 sin2α+cos2(30° ﹣α)﹣sin αcos(30° ﹣α)= . 【解答】解:选择②式,计算如下:

sin215° +cos215° cos 15° =1﹣ sin 30° =1﹣ = ﹣sin 15°
2 2 推广为三角恒等式三角恒等式为 sin α+cos (30° ﹣α)﹣sin αcos(30° ﹣α)= .

2 2 故答案为:sin α+cos (30° ﹣α)﹣sin αcos(30° ﹣α)= .

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 17. a、 b、 c 分别是三个内角 A、 B、 C 的对边, 已知△ABC 中, 关于 x 的不等式 x cosC+4xsinC+6

<0 的解集是空集 (Ⅰ)求角 C 的最大值; (Ⅱ)若 ,△ABC 的面积 ,求当角 C 取最大值时 a+b 的值.

【考点】余弦定理的应用;三角函数的化简求值. 【分析】 (Ⅰ)根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于 0 且 cosC>0,求得 cosC 的范 围,进而根据余弦函数的单调性求得 C 的最大值. (Ⅱ)根据(Ⅰ)中求得 C,利用三角形面积公式求得 ab 的值,进而代入余弦定理求得 a+b 的值.
2 【解答】解: (Ⅰ)∵不等式 x cosC+4xsinC+6<0 的解集是空集.



,即









,∴角 C 的最大值为 60° . ,∴ab=6,

(Ⅱ)当 C=60° 时,

2 2 2 2 由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣2ab﹣2abcosC,

∴ ∴ .



18.已知函数 f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1. (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的集合;

(2)若锐角三角形 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ,求△ABC 的面积. 【考点】三角函数的最值;正弦定理. 【分析】 (1)根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式即可得出 ,从而便可求出 f(x)的最大值及取最大值时 x 的集合; (2)根据 及 A 为锐角即可求出 A=



,进而根据正弦定理即可求出 sinB,从而

得出 B 的值,这样根据 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 即可求出 sinC,最后根据三 角形面积公式即可求出△ABC 的面积.
2 【解答】解: (1)f(x)=2sinxcosx+2cos x﹣1=

; ; ;

∴ ∴f(x)的最大值为 (2) ∴ 又 A 为锐角; ∴ , ;

,k∈Z,即 x=

,k∈Z 时,f(x)取最大值

,取最大值时 x 的集合为 ;



∴在△ABC 中,A=



,由正弦定理得:



∴ ∴ ;



∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴ = = .



19.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1,侧面 BCC1B1⊥底面 ABC.

(1)若 M,N 分别是 AB、A1C 的中点,求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)若三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的面各棱长均为 2,侧棱 BB1 与底面 ABC 所成的角为 60° , 问在线段 A1C1 上是否存在一点 P,使得平面 B1CP⊥平面 ACC1A1?若存在,求 C1P 与 PA1 的比值,若不存在,说明理由.

【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连接 AC1,利用三角形的中位线证明:MN∥BC1,然后利用直线与平面平行 的判定定理证明即可. (2)假设在线段 A1C1 上存在点 P,设 = ,通过 ,求出平面 B1CP

的法向量 ,利用 可得出结论.

,求出平面 ACC1A1 的法向量 ,通过

=0,求出 λ= .即

【解答】解: (1)连接 AC1,BC1,∵M、N 分别为 AB、A1C 的中点, ∴MN BC1,MN?平面 BCC1B1;BC1? 平面 BCC1B1;

∴MN∥平面 BCC1B1; (2)以 O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, 则 A( ,0,0) ,B(0,﹣1,0) ,C(0,1,0) ,A1( ) , = , = (﹣ ) , ,1﹣λ, ) , = 1,﹣ (0, ) , ,1, ) ,B1(0,0,

) ,C1(0,2,

假设在线段 A1C1 上存在点 P,设 则 =( =λ (﹣ , ﹣1,0) , =

,1,0) ,

=(0,﹣1,﹣

设平面 B1CP 的法向量 =(x,y,z) ,



,即



令 z=1,则 y=

,x=

,∴ =(



,1) .

设平面 ACC1A1 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,即 ,令 z=1,则 y=﹣ ,x=1,∴ =(1,﹣ ,1) .

要使平面 B1CP⊥平面 ACC1A1, 则 =0,即( , ,1)?(1,﹣ ,1)=0,∴ ﹣3+1=0,∴λ= ,

∴C1P= ,PA1= ,



=2.

20.已知函数 f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax(a∈R) . (Ⅰ)当 a=2 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,函数 y=f(x)在闭区间[0,a+1]上的最大值为 f(a+1) ,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)a=2 时,求出 f'(x) ,解 f'(x)>0 可得增区间,解 f'(x)<0 可得减区间; (2)令 f'(x)=0 可得 x=1 或 x=a,按照 a=1,0<a<1,a>1 三种情况讨论,利用导数研 究函数的单调性,使其最大值为 f(a+1)即可;
2 【解答】解:f′(x)=6x ﹣6(a+1)x+6a=6(x﹣1) (x﹣a) ,

(1)当 a=2 时,f′(x)=6(x﹣1) (x﹣a)=6(x﹣1) (x﹣2) , 当 x<1 或 x>2 时,f′(x)>0,当 1<x<2,f′(x)<0,

∴f(x)的单调增区间分别为(﹣∞,1) , (2,+∞) ,f(x)的单调减区间为(1,2) ;
2 (2) (Ⅰ)当 a=1 时,f′(x)=6(x﹣1) ≥0,f(x)在[0,a+1]上单调递增,最大值为 f

(a+1) ; (Ⅱ)当 0<a<1 时,列表如下: x 0 (0, a) f'(x) f(x) + 增 0 极大值 f(a) a (a, 1) ﹣ 减 0 1 (1, 1+a) + 增 a+1

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(a)或 f(a+1) ,
3 2 3 2 ∴只需 f(a+1)﹣f(a)=(﹣a +3a +3a﹣1)﹣(﹣a +3a )=3a﹣1≥0,

解得 a≥ ,此时 ≤a<1; (Ⅲ)当 a>1 时,列表如下: x 0 (0, 1) f'(x) f(x) + 增 0 极大值 f(1) 1 (1, a) ﹣ 减 0 a (a, 1+a) + 增 a+1

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(1)或 f(a+1)
3 2 3 2 2 ∴只需 f(a+1)﹣f(1)=(﹣a +3a +3a﹣1)﹣(3a﹣1)=﹣a +3a =﹣a (a﹣3)≥0,

解得 a≤3,此时 1<a≤3. 由(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)得 ≤a≤3, ∴满足条件的 a 的取值范围是[ ,3].

* 21.数列{an}:满足 a1=6,an+1=an2+4an+2, (n∈N )

(1)设 Cn=log2(an+2) ,求证{Cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn= ﹣ ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn<1.

【考点】数列递推式;数列的求和.

【分析】 (1)把给出的数列递推式变形得到 an+1+2=(an+2)2,两边取以 2 为底数的对数 证得答案; (2)求出(1)中等比数列{Cn}的通项公式,代回 Cn=log2(an+2)可得数列{an}的通项公式; (3)把 bn= 可证得答案.
2 【解答】 (1)证明:由 an+1=an +4an+2,得



化为

,求和后代入首项和 an+1 即

,①

∵a1=6>0,∴an+2>0, 把①式两边取以 2 为底数的对数,得 log2(an+1+2)=2log2(an+2) , ∵Cn=log2(an+2) ,∴Cn+1=log2(an+1+2) , 则 ,∴{Cn}是公比为 2 的等比数列;

(2)解:由(1)得:
n﹣1 则 log2(an+2)=3?2 ,

=





,则



(3)证明:由 bn=



,得:







∴Tn=(

)+(

)+…+(



=

=





Tn



22.设函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=xf′(x) ,x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ)令 g1(x)=g(x) ,gn+1(x)=g(gn(x) ) ,n∈N+,求 gn(x)的表达式;

(Ⅱ)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n﹣f(n)的大小,并加以证明. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

【分析】 (Ⅰ) 由已知







可得

用数学归纳法加以证明; 恒成立构造函数 φ(x)=ln(1+x)﹣ (x≥0) ,利

(Ⅱ)由已知得到 ln(1+x)≥ 用导数求出函数的最小值即可; (Ⅲ)在(Ⅱ)中取 a=1,可得

,令



,n 依

次取 1,2,3…,然后各式相加即得到不等式. 【解答】解:由题设得, (Ⅰ)由已知 ,



… 可得 下面用数学归纳法证明.①当 n=1 时, ②假设 n=k 时结论成立,即 , ,结论成立.

那么 n=k+1 时,

=

即结论成立.

由①②可知,结论对 n∈N+成立.

(Ⅱ)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥

恒成立.

设 φ(x)=ln(1+x)﹣

(x≥0) ,则 φ′(x)=



当 a≤1 时,φ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时取等号成立) , ∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增, 又 φ(0)=0, ∴φ(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立. ∴当 a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立, (仅当 x=0 时等号成立)

当 a>1 时,对 x∈(0,a﹣1]有 φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a﹣1]上单调递减, ∴φ(a﹣1)<φ(0)=0 即当 a>1 时存在 x>0 使 φ(x)<0, 故知 ln(1+x)≥ 不恒成立,

综上可知,实数 a 的取值范围是(﹣∞,1].

(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)= n﹣f(n)=n﹣ln(n+1) , 比较结果为 g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1) 证明如下:上述不等式等价于 在(Ⅱ)中取 a=1,可得 令 故有 ln3﹣ln2 ,… , 上述各式相加可得 结论得证. 则 , , ,



2016 年 12 月 6 日


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