广东省深圳市南头中学2013届高三12月月考数学文科


广东省深圳市南头中学 2013 届高三 12 月月考数学(文)试题
2012.12.21 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分钟。

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)
x 1、已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? x | 2 ? 1 ,则 M ? N =(

?

?

) D、 ?x | 0 ? x ? 1 ?

A、 ? 2、复数

B、 ?x | x ? 0?

C、 ?x | x ? 1 ?

5 的共轭复数为 ( ) 1 ? 2i 5 10 5 10 i A、- ? i B、- ? 3 3 3 3

C、1-2i

D、1+2i

3、已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? A、-2 4、 已知 sin( A、 ? B、-

?
2

1 2

1 , a4 ? ?1,则 {an } 的公比 q 为( ) 8 1 C、2 D、 2

? ?) ?

7 9

1 ,则 cos(? ? 2? ) 的值为( ) 3 7 2 B、 C、 9 9
) B、必要非充分条件

D、 ?

2 3

5、已知 p: ?

1 x

1 x , q: ? 2 ,则 p 是 q 的( 2

A、充分非必要条件 C、充要条件 6、已知

D、既非充分也非必要条件

2 8 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) ,则 x ? x y
B. 14

y 的最小值为(
C. 16

) D. 18

A. 12

7、如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , A1 A ? AC ? 2, 1

BC ? 1, AB ? 5 ,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为( )
A、

2

B、 4

C、

4 5 5

D、 2 5

8、曲线 y ?

2 cos x 在 x ?
4?? ?0 4

?
4

处的切线方程是( )(9.s.5.u B、 x ? y ?

A、 x ? y ?

4 ?? ?0 4

1

C、 x ? y ?

9、 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 定义 a 与 b 的 “向量积” a ? b 是一个向量, : 它的模 a ? b ? a ? b ? sin ? , 若 a ? ? 3, ?1 , b ? 1, 3 ,则 a ? b ? ( ) A、 3 B、2 C、 2 3 D、4

?

?

4?? ?0 4

D、 x ? y ?

?

?

? ?

4?? ?0 4

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

10、若在区间(-1,1)内任取实数 a,在区间(0,1)内任取实数 b,则直线 ax ? by ? 0 与圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相交的概率为
3 A、 8 5 B、 16 5 C、 8 3 D、 16





第二部分
(一)必做题(11~13 题) 11、函数 y ?

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

2 ? x ? log3 (1 ? x) 的定义域为

12、执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 。

13、 以 F 、 F2 为焦点的椭圆 1

x2 y 2 ? =1( a ? b ? 0 )上 a 2 b2

顶点 P,当 ?F PF2 =120°时,则此椭圆离心率 e 的大小 1 为 。 (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题 都做的,只记第一题的分) 14、 (坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中, 曲线 ? ? ?4sin ? 和 ? cos ? ? 1 相交于点 A, B , AB 则 = . A 15、 (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的 B 切线交 AB 的延长线于点 D,CD=2 7,AB =3. 则 BD 的长为 . D C O

2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16、 (12 分)设 函数f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间
? ?? (2)当 x ? ?0, ?时,求f ( x)的最大值 ? 3?

17、(12 分)某校为了解学生的学科学习兴趣,对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调 查,随机抽取了 100 名学生,相关的数据如下表所示: 数学 初中 高中 总计 语文 总计

40

18
27 45

58
42

15
55

100

(1) 、用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取 5 名,高中学生应该抽取几名? (2) 、在(1)中抽取的 5 名学生中任取 2 名,求恰有 1 名初中学生的概率.

18. ( 14 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 , 侧 面 中

PAD ? 底面ABCD ,且 PA ? PD ?
(1)求证: EF ∥平面 PAD ;

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P E

(2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD . (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP ? ABCD .
3

D F

C

19、 (14 分)已知数列 ?an ? 是非常数数列的等差数列,?an ? 为其前 n 项和, S 5 ? 25 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列; (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 范围.

2 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,若 T2 n - Tn ? t 对一切正整数 n 恒成立,求实数 t 的 an ? 1

20、 (14 分)已知函数 f ( x) x 2 ? ax - ln x - 1 ? (1)当 a ? 3 时,求函数 f (x) 的单调区间; (2)函数 f (x) 在 (2,4)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

21、 (14分)已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1的左、右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点, 4

离心率为 5 的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T .
(1)求曲线 C 的方程;

(2)设点 P 、 T 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1;

uu uur r (3)设 ?TAB 与 ?POB (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S2 ,且 PAgPB≤15 ,
求 S12 ? S22 的取值范围。
4

2012-2013 学年度深圳市南头中学高三年级 12 月月考文科数学试卷答案 2012.12.21
1 D 11、 2 D 3 A 12、 10 13、 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 9 B 10 B

? ?1, 2?

3 2

14、 2

3

15、 4

16、解: (1)? f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ……….2 分 6?

?函数 f ( x)的最小正周期 T ?

2? ? ? ……………………………….1 分 2

由2k? ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ? ,k ? Z

?
2

?
3

? x ? k? ?

?
6

? ?? ? 所以函数的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) ……………………6 分 3 6? ?

? ?? 5? ? ? ?? (2) 当x ? ?0, ?时,x ? ? ? , ? 2 6 ?6 6 ? ? 3?
?当2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

, f ( x)的最大值是 3 …………………………12 分 5 ? 3 人. 45
?4 分

17、解:(1) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取 27 ?

(2) 记抽取的 5 名学生中,初中 2 名学生为 A , B ,高中 3 名学生为 a , b , c , 则从 5 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 10 种, 它们是: A , B) , A , a) , A , b) , A , c) , ( ( ( (

( B , a) , ( B , b) , ( B , c) , (a , b) , (a , c) , (b , c) .

??7 分

其中恰有 1 名初中学生的情况有 6 种,它们是: ( A , a) , ( A , b) , ( A , c) , ( B , a) , ( B , b) ,

( B , c) .
故所求概率为

?9 分

6 3 ? . ?12 分 10 5

18、 (1)证明:连结 AC,则 F 是 AC 的中点,在△ CPA 中,EF∥PA,??2 分 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,

5

∴EF∥平面 PAD

????4 分

(2)证明:因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,所以,CD⊥平面 PAD,????7 分 又 CD ? 平面 PDC,∴平面 PAD⊥平面 PDC. ????8 分 (3) ? PA ? PD ?

2 AD ? 2 ,? PA2 ? PD2 ? AD2 , 2
1 ( 2) 2 ? 1, ????10 分 2

? PA ? PD, S?PAD ?

又由(2)可知 CD⊥平面 PAD,CD=2,????11 分

1 2 ?VP ? ADC ? VC ? PAD ? ?1? 2 ? , ????13 分 3 3 2 4 ?VP ? ABCD ? 2VP ? ADC ? 2 ? ? . ????14 分 3 3 a ? a5 2 ? a3 ?5 ? ? 5 ? 5a3 ? 25, ∴ a3 ? 5 ??2 分 19、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , S5 ? 1 2 2
a1,a3,a13 成等比数列.则 25=(5-2d) (5+10 d) ,解得 d =2,d =0(舍). ?4 分 * an = a3+ (n-3)d=5+(n-3)·2=2 n-1.数列{ an }的通项公式 an=2 n-1,n∈N . ???6 分 (Ⅱ) bn ?

2 2 1 1 1 1 ? ? , Tn ? 1 ? ? ? ? ? , ??????7 分 an ? 1 2n ? 1 ? 1 n 2 3 n
1 1 1 ? ??? , 则??????????10 分 n ?1 n ? 2 2n

令An ? T2 n ? Tn ?

1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 An ?1 ? An ? ? ? ??? ? ??? ? ??? 2n ? 2 ? ? n ? 1 n ? 2 2n ? ?n?2 n?3
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 0, ????????12 分 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 2n ? 1 1 1 ? An ? A1 ? . 实数 t 的取值范围为: t ? ???????????14 分 2 2 1 20、.解: (1) f ?( x ) ? ?2 x ? a ? ????1 分 x ??

a ? 3时, f ?( x ) ? ?2 x ? 3 ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ?? ; x x
1 , 2
???????????4 分

2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0, 解得x ? 1或x ?

函数 f (x) 的定义域为(0,+∞) ,在区间(0, 函数;在区间(

1 )(1,+∞)上 f ′ x)<0. 函数 f (x) 为减 , ( 2

1 ,1)上 f ′ x)>0. 函数 f (x) 为增函数. ?????6 分 ( 2

6

(2)函数 f (x) 在(2,4)上是减函数,则 f ?( x ) ? ?2 x ? a ? ????7 分

1 ? 0 ,在 x∈(2,4)上恒成立. x

1 1 ? 0 ? 2 x ? ? a在x ? (2, 4)上恒成立. ??????10 分 x x 1 易知函数g ( x ) ? 2 x ? 在(2,4)上为增函数. x 1 9 ? g ( x) ? 2 ? 2 ? ? . ??????????????12 分 2 2 9 实数 a 的取值范围 a ? ( ??, ]. ??????????????14 分 2 ?2 x ? a ?
21、 (1)解:依题意可得 A(?1, 0) , B(1, 0) .???????1 分 设双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ? b ? 0? , b2

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

1 ? b2 ? 5 ,即 b ? 2 . 1

2 所以双曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1 .??????????3 分 4

(2)证法 1:设点 P( x1 , y1 ) 、T ( x2 , y2 )( xi ? 0 , yi ? 0 ,i ? 1, 2 ) ,直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) , 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,???????????4 分

? y ? k ? x ? 1? , ? 联立方程组 ? ????????????????5 分 y2 x2 ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 整理,得 4 ? k x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 ,

?

?

解得 x ? ?1 或 x ?

4 ? k2 4 ? k2 .所以 x2 ? .???????6 分 4 ? k2 4 ? k2

同理可得, x1 ?

4 ? k2 ??????????7 分 4 ? k2

所以 x1 ? x2 ? 1.???????????8 分

证法 2:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) ,

7

则 k AP ?

y1 y2 , k AT ? .???????????????4 分 x1 ? 1 x2 ? 1
y12 y2 2 y1 y ? .??????5 分 ? 2 ,即 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?
2

因为 k AP ? kAT ,所以

因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?

y12 y2 ? 1 , x2 2 ? 2 ? 1 . 4 4

2 2 2 2 即 y1 ? 4 x1 ? 1 , y2 ? 4 1 ? x2 .?????????6 分

?

?

?

?

所以

4 ? x12 ? 1?

? x1 ? 1?

2

?

4 ?1 ? x2 2 ?

? x2 ? 1?

2

,即

x1 ? 1 1 ? x2 .???????7 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1

所以 x1 ? x2 ? 1.?????????????????8 分 证法 3:设点 P( x1 , y1 ) ,直线 AP 的方程为 y ?

y1 ( x ? 1) ,?????4 分 x1 ? 1

y1 ? ? y ? x ? 1 ? x ? 1? , ? 1 联立方程组 ? ?????????5 分 y2 ? x2 ? ? 1. ? ? 4
2 2 2 2 2 2 整理,得 ? 4( x1 ? 1) ? y1 ? x ? 2 y1 x ? y1 ? 4( x1 ? 1) ? 0 , ? ?

解得 x ? ?1 或 x ?

4( x1 ? 1)2 ? y12 .?????????6 分 4( x1 ? 1)2 ? y12 4( x1 ? 1)2 ? y12 1 1 ,得 x ? ,即 x2 ? . 2 2 x1 x1 4( x1 ? 1) ? y1

将 y12 ? 4x12 ? 4 代入 x ?

所以 x1 ? x2 ? 1.???????????8 分 (3)解:设点 P( x1 , y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? . 因为 PA ? PB ? 15 ,所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ,即 x12 ? y12 ? 16 .???9 分
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

因为点 P 在双曲线上,则 x1 ?
2

y12 ? 1 ,所以 x12 ? 4x12 ? 4 ? 16 ,即 x12 ? 4 . 4

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 .????10 分
8

1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | , S 2 ? | OB || y1 |? | y1 | , 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 S1 ? S 2 ? y2 ? y1 ? ? 4 ? 4 x2 ? ? ? x1 ? 1? ? 5 ? x1 ? 4 x2 .???11 分 4
因为 S1 ? 由(2)知, x1 ? x2 ? 1,即 x2 ? 设 t ? x12 ,则 1 ? t ? 4 ,

1 . x1

S12 ? S 2 2 ? 5 ? t ?
设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 . t

4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? 4 ,则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? , t t t2

当 1 ? t ? 2 时, f ? ?t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ?t ? ? 0 , 所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, 4? 上单调递减. 因为 f ? 2? ? 1 , f ?1? ? f ? 4? ? 0 , 所以当 t ? 4 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2
2

?

2

?

min

? f ? 4 ? ? 0 ????12 分

当 t ? 2 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2
2

?

2

?

max

? f ? 2 ? ? 1 .??????????13 分

所以 S12 ? S22 的取值范围为 ?0,1? .?????????????14 分
2 2 2 2 说明:由 S1 ? S 2 ? 5 ? x1 ? 4 x2 ? 5 ? 4 x1 x2 ? 1 ,得 S1 ? S2

?

?

?

2

2

?

max

? 1 ,给 1 分.

9


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