创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第3篇 第5讲 三角函数、解三角形


第三篇
第5讲

三角函数、解三角形

两角和与差及二倍角的三角函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分 钟) 一、选择题 1.(2014· 临川模拟)计算 cos 42° cos 18° -cos 48° sin 18° 的结果等于 1 A.2 2 C. 2 解析 3 B. 3 3 D. 2 原式=sin 48° cos 18° -cos 48° sin 18° ( ).

1 =sin(48° -18° )=sin 30° =2. 答案 A ( ).
[来

?π ? 1 2. (2013· 高安中学模拟)已知 sin?2+α?=3, 则 cos(π+2α)的值为 ? ?
源:学科网]

7 A.-9 2 C.9 解析

7 B.9 2 D.-3

1 ?π ? 由题意,得 sin?2+α?=cos α=3. ? ?

7 所以 cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos2α-1)=1-2cos2α=9. 答案 B ( ).

?π ? 3 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知 cos?4-x?=5,则 sin 2x= ? ? 18 A.25 7 C.-25 7 B.25 16 D.-25

解析

?π ? ?π ? ?π ? 因为 sin 2x=cos?2-2x?=cos 2?4-x?=2cos2?4-x?-1,所以 sin 2x= ? ? ? ? ? ?

18 7 ?3? 2×?5?2-1=25-1=-25. ? ? 答案 C ( ).

3 ? 4 ? ?π ? 4. (2013· 成都模拟)已知 α∈?π,2π?, 且 cos α=-5, 则 tan?4-α?等于 ? ? ? ? A.7 1 C.-7 解析 1 B.7 D.-7

3 ? 4 3 ? 因 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,所以 sin α<0,即 sin α=-5,所以 ? ? 3 1-4 1 3=7. 1+4

3 ?π ? 1-tan α tan α=4.所以 tan?4-α?= = ? ? 1+tan α 答案 B

sin 2α-2cos2α π? 1 π ? 5. (2013· 金华十校模拟)已知 tan?α+4?=-2, 且2<α<π, 则 π? 等于 、 ? ? ? sin?α-4? ? ? ( 2 5 A. 5 2 5 C.- 5 解析 3 5 B.- 10 3 10 D.- 10
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

).

sin 2α-2cos2α 2sin αcos α-2cos2α π? 1 ? ?α+4?=- , = = 2 2cos α ,由 tan π? 2 ? ? ? 2 sin?α-4? ? sin α - cos α ? ? ? 2

得 -

tan α+1 1 π =- 2 ,解得 tan α =- 3 ,因为 2 < α < π ,所以解得 cos α = 1-tan α 1 10 2 5 ? 10? ?=- =- 10 ,所以原式=2 2cos α=2 2×?- 5 . tan α+1 ? 10 ?
2

答案

C

二、填空题

tan 12° - 3 6.(2013· 湖南师大附中模拟)计算: =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12° sin 12° - 3 cos 12° 原式= 2?2cos212° -1?sin 12°

解析

?1 ? 3 ? 2? sin 12° - cos 12° 2 sin 12° - 3cos 12° ?2 ? =2sin 12° = cos 12° cos 24° sin 24° cos 24° = 2sin?12° -60° ? =-4. 1 sin 48° 2 -4 1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+3,则 + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

答案

7.(2013· 南京模拟)设 f(x)=

常数 a=________. 解析 1+2cos2x-1 ? π? f( x)= +sin x+a2sin?x+4? 2cos x ? ?

? π? =cos x+sin x+a2sin?x+4? ? ? ? π? ? π? = 2sin?x+4?+a2sin?x+4? ? ? ? ? ? π? =( 2+a2)sin?x+4?. ? ? 依题意有 2+a2= 2+3,∴a=± 3. 答案 ± 3

π? π? 2 ? ? 8. (2014· 西工大附中模拟)已知 cos4 α-sin4 α=3, 且 α∈?0,2?, 则 cos?2α+3?= ? ? ? ? ________. 解析 2 2 ∵cos4 α-sin4 α=(sin2 α+cos2α)(cos2α-sin2 α)=3,∴cos 2α=3,又 α

π? ? ∈?0,2?,∴2α∈(0,π), ? ? 5 ∴sin 2α= 1-cos22α= 3 , π? 1 3 ? ∴cos?2α+3?=2cos 2α- 2 sin 2α ? ?

1 2 3 5 2- 15 =2×3- 2 × 3 = 6 . 答案 2- 15 6

[来源 :学&科 &网 ]

三、解答题 ? π? ?π ? 9.(2014· 浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)=cos?x-3?-sin?2-x?. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? π? 3 ? ? (2)若 α∈?0,2?,且 f?α+6?=5,求 f(2α)的值. ? ? ? ? 解 1 3 (1)f(x)=2cos x+ 2 sin x-cos x
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

3 1 ? π? = 2 sin x-2c os x=sin?x-6?. ? ? ∴f(x)的最小正周期为 2π. ? π? (2)由(1)知 f(x)=sin?x-6?. ? ?

π? π π? 3 ? ? 所以 f?α+6?=sin?α+6-6?=sin α=5, ? ? ? ? π? ? ∵α∈?0,2?,∴cos α= 1-sin2 α= ? ? 3 4 24 ∴sin 2α=2sin αcos α=2×5×5=25, 7 ?4? cos 2α=2cos2α-1=2×?5?2-1=25, ? ? π? 3 1 ? ∴f(2α)=sin?2α-6?= 2 sin 2α-2cos 2α ? ? 3 24 1 7 24 3-7 = 2 ×25-2×25= 50 . 10. (2013· 东莞模拟)已知函数 f(x)=- 3sin2 x+si n xc os x. ?25π? (1)求 f? 6 ?的值. ? ? 3 ?α? 1 (2)设 α∈(0,π),f?2?=4- 2 ,求 sin α 的值. ? ? 解 f(x) =- 3sin2 x + sin xcos x =- 3 × 1-cos 2x 1 3 + sin 2 x =- 2 2 2 + ?3? 4 1-?5?2=5. ? ?

π? ? sin?2x+3?, ? ? 3 ?25π? ?25π π? (1)f? 6 ?=- 2 +sin? 3 +3?=0. ? ? ? ? π? 1 3 3 ?α? ? (2)f?2?=- 2 +sin?α+3?=4- 2 , ? ? ? ? π? 1 1 ? ∴0<sin?α+3?=4<2, ? ? π ?π 4π? π ?5π ? 又∵α∈(0,π),∴α+3∈?3, 3 ?.∴α+3∈? 6 ,π?, ? ? ? ? π? π π? 15 ? ? ∴cos?α+3?=- 4 ,∴sin α=sin?α+3-3? ? ? ? ? 1 1 15 3 1+3 5 =4×2+ 4 × 2 = 8 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、 选择题 π? 1 π? 2 ? ? 1. 已知 tan(α+β)=5, tan?β-4?=4, 那么 tan?α+4?等于 ? ? ? ? 13 A.18 3 C.22 解析 π π 因为 α+4+β-4=α+β, 13 B.22 1 D.6 ( ).

π? π ? 所以 α+4=(α+β)-?β-4?, ? ? π? ? ? ? π?? 所以 tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? π? ? tan?α+β?-tan?β-4? ? ? 3 = = . π ? ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ? 答案 C
[来源:Zxxk.Com]

π? ? 2.(2013· 潍坊模拟)已知 α,β∈?0,2?,满足 tan(α+β)=4tan β,则 tan α 的最大 ? ?

值是 1 A.4 3 C.4 2 解析 由 tan(α+β)=4tan β,得 3 B.4 3 D.2

(

).

tan α+tan β 3tan β =4tan β,解得 tan α= , 1-tan αtan β 1+4tan2β 3 3 =4, 1 4tan β tan β·

π? 3 ? 因为 β∈?0,2?, 所以 tan β>0.所以 tan α= 1 ≤ ? ? tan β+4tan β 2

1 1 1 当且仅当tan β=4tan β,即 tan2 β=4,tan β=2时取等号, 所以 tan α 的最大 3 值是4 . 答案 B

二、填空题 π? ? ?π ? 3.(2014· 长安一中模拟)若 sin?α+6?=3sin?2-α?,则 tan 2α=________. ? ? ? ? 解析 π? 3 1 3 5 ? 由已知,得 sin?α+6?= 2 sin α+2 cos α=3cos α,即 2 sin α=2cos α, ? ?

5 3 所以 tan α= 3 , 5 3 2× 3 2tan α 5 3 所以 tan 2α= =- 11 . 2 = 1-tan α ?5 3?2 ? 1-? ? 3 ? 答案 5 3 - 11

三、解答题 π? ? 4.(2012· 广东卷)已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 ? ? 10π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ? ?



π? 2π 1 ? (1)由题意知 f(x)=2cos?ωx+6?的最小正周期 T=10π= ω ,则 ω=5. ? ?

?1 π? (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6?, ? ? π? ? 5π? 5π? 16 6 ? ? 又 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f?5β- 6 ?=17, ? ? ? ? ? ? π? 3 8 ? 即 cos?α+2?=-5,cos β=17, ? ? 3 4 ∴ sin α=5,cos α= 1-sin2α=5, 15 sin β= 1-cos2β=17, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 8 3 15 13 =5×17-5×17=-85.


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