四川省古蔺县中学高中数学 1.3.1.单调性与最大(小)值(第二课时)课件 新人教A版必修1


第一章
1.3 1.3.1

集合与函数概念
函数的基本性质 单调性与最大(小)值

第2课时

1. 理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的
应用;

2. 学会分析问题、认识问题、和创造性的解决问题;
3. 有意识的培养数形结合的思想方法,提高自身的语言表达能力.

探究一: 函数的最大(小)值

1.借助图像直观感知. 问题1:分别作出函数 y ? ? x 2 ? 2 x, y ? ?2x ? 1, x ?[?1, ??) 的图象, 并观察这两个图象的特征.
3
1

-2

?1

0
?1

1
1 2

1. 第一个图形是个开口向下的抛物线,有个顶点,其坐标的 y 值是最大值。第二个图形是个射线,有最大值点,没有最小 值。

问题2:函数图象上任意点 P( x, y )的坐标与函数有什么关系? 问题3:你是怎样理解函数图象的最高点? 问题4:函数的最大值的几何意义是什么?
2.坐标的x和y值可以带入函数的解析式; 3.最高点坐标的y值就是函数的最大值; 4.函数图象的最高点坐标的y值。

2.抽象思维,形成概念.
问:你能用准确的数学语言表述出函数的最大值的定义吗?

一般的,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数M满足; (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 。 那么,我们称M是函数 y ? f ( x) 的最大值。 3.试一试:你能仿照函数最大值的定义给出函数 的最小值的定义吗? 一般的,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数M满足; (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M; (2)存在 x0 ? I,使得 f ( x ) ? M。 那么,我们称M是函数 y ? f ( x) 的最小值。
0

探究二: 求函数的最大(小)值
例1:“菊花”是最壮观的烟花之一,制造是一般是期望在它达到最高点时 爆裂,如果烟花距离地面的高度 h/m与时间 t/s之间的关系为 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18, 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精 确的1 m)? 做出该函数的图象如下,显然函数图象的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时间,纵坐标就是这时距地面的高度。
30
25
20 15 10

5

0

0.5

1 1.5 2 2.5

3 3.5 4

由二次函数的知识,对于函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18,我们有: 当 t??
14.7 ? 1.5 2 ? ( ?4.7)

时,函数有最大值
4 ? (?4.9) ? 18 ? 14.7 2 h? ? 29 4 ? (?4.9)

于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约 为29m。 例2: 已知函数 f ( x) ?
2 ( x ? [2,6]),求函数的最大值和最小值. x ?1

设x1 , x2是区间? 2, 6? 上的任意两个实数,且x1 ? x2 , 则: 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1
? ? 2 ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x 2 ?1)

由2 ? x1 ? x2 ? 6,得x2 ? x1 ? 0,(x2 ? 1 ) ( x1 ? 1) ? 0, 于是f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以,函数f(x)= 2 是区间? 2, 6? 上的减函数。 x ?1

2 因此,函数f(x)= 在区间? 2, 6?的两个端点上分别取得最大值与最小值, x ?1 即在x=2时取得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,最小值是0.4。

探究三: 单调性与最值的应用 例3:已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ( ??, 4]上是减函数,求 实数a的取值范围.

4

x=-(a-1)

由初中一元二次函数性质可知抛物线的对称轴是

x ? ?(a ? 1)
把函数的图形画出如上图,分析图形可知,要满足:

4 ? ?(a ? 1)
于是有

a ? ?3
例4: 求函数
f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1

在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值.

f ( x ) ? ( x ? a ) 2 ? 1 ? a 2 , 对称轴为x ? a. (1)当a ? o时,则f ( x )在 ? 0, 2 ? 上单调递增, f ( x ) min ? f (0) ? ?1, f ( x ) max ? f (2) ? 3 ? 4 a.

(2)当0 ? a<1时,则f ( x )在 ? 0, a ? 上单调递减,在

? a, 2? 上单调递增,且a ? 0 ? 2 ? a,
f ( x ) min ? f ( a ) ? ?1 ? a 2 , f ( x ) max ? f (2) ? 3 ? 4a.
(3)当1 ? a ? 2时,则f ( x )在 ? 0, a ? 上单调递减,在

? a, 2? 上单调递增,且a ? 0 ? 2 ? a,
f ( x ) min ? f ( a ) ? ?1 ? a 2 , f ( x ) max = f (0) ? ?1.
(4)当a ? 2时,则f ( x )在 ? 0, 2 ? 上单调递减, f ( x ) min ? f (2) ? 3 ? 4 a, f ( x ) max =f (0) ? ?1.

思考: 函数最值与值域、单调性的关系.


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