2017年北京市朝阳区高三年级二模数学(理)试题及答案


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 2017.5

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ,S k ?S 0? ? 0 20 ?
k? S ?k S? ?1 2k

2.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是 A.23 B.31 C.32 D.63

3. “ x ? 0, y ? 0 ”是“

y x ? ≥ 2 ”的 x y

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

π 4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的最小正周期为 4 π ,则 6
A.函数 f ( x ) 的图象关于原点对称

π 对称 3 π C.函数 f ( x ) 图象上的所有点向右平移 个单位长度后,所得的图象关于原点对称 3 D.函数 f ( x ) 在区间 (0, π ) 上单调递增
B.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ?

5.现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不 同分法的种数为 A.12 B.24 C.36 D.48

6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱长为

A. 5

B. 2

2 C. 3

D. 3

2

2

1

1

2 侧视图

正视图

俯视图

7.已知函数 f ( x) ? ?

? ?log a x, x ? 0, (a ? 0 且 a ? 1) .若函数 f ( x) 的图象上有且只有两个点关 ? ? x?3 , ?4 ? x ? 0

于 y 轴对称,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (1, 4) C. (0,1) U (1, ??) D. (0,1) U (1, 4)

8.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺” .某 中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛.现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐.规定:每场 知识竞赛前三名的得分都分别为 a, b, c(a ? b ? c, 且 a, b, c ? N ) ;选手最后得分为各场
?

得分之和.在六场比赛后,已知甲最后得分为 26 分,乙和丙最后得分都为 11 分,且乙在其中一 场比赛中获得第一名,则下列说法正确的是 A.每场比赛第一名得分 a 为 4 C.乙有四场比赛获得第三名 B.甲可能有一场比赛获得第二名 D.丙可能有一场比赛获得第一名

第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.双曲线
x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是,离心率是. 3 6

10.若平面向量 a = (cos? ,sin ? ) , b = (1, ?1) ,且 a ? b ,则 sin 2? 的值是. 11.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 2, a4 ? ?2 ,则{an}的通项公式 an ? ,

S9 ? .
12.在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 被直线 ? cos ? ?

1 所截得的弦长为. 2

? y ? x, ? 13.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4, 若 z ? x ? 2 y 有最大值 8,则实数 k 的值为. ?2 x ? y ? k . ?
14.已知两个集合 A, B ,满足 B ? A .若对任意的 x ? A ,存在 ai , a j ? B (i ? j ) ,使得 ,则称 B 为 A 的一个基集.若 x = ?1ai + ?2a j ( ?1, ?2 ? { 1,0,1} )

A ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} ,则其基集 B 元素个数的最小值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b ? c , 2sin B ? 3 sin A . (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分)

从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的 中点值代替,估计该市中学生中的全 体男生的平均身高; (Ⅲ)从该市的中学生中随机抽取一名男 生,根据直方图中的信息,估计其身高 在 180 cm 以上的概率.若从全市中学 的男生(人数众多)中随机抽取 3 人, 用 X 表示身高在 180 cm 以上的男生人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 EX .

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在 Rt △ ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 4, BC ? 2 , D,E 分别为边 AC , AB 的中点,点 F , G 分别为线段 CD, BE 的中点.将△ ADE 沿 DE 折起到△ A 1DE 的位置,使 ?A 1 DC ? 60? .点 Q 为 线段 A 1B 上的一点,如图 2.

(Ⅰ)求证: A1F ? BE ;

(Ⅱ)线段 A 使得 FQ ? 平面 A 1B 上是否存在点 Q, 1 的长,若不存在,请说 1DE ?若存在,求出 AQ 明理由; (Ⅲ)当 A1Q ?

???? ?

3 ???? A1 B 时,求直线 GQ 与平面 A1DE 所成角的大小. 4

18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 W :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上下顶点分别为 A, B ,且点 B (0, ?1) . F1 , F2 分别为 a 2 b2

? 椭圆 W 的左、右焦点,且 ?F 1BF 2 ? 120 .

(Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程; (Ⅱ)点 M 是椭圆上异于 A , B 的任意一点,过点 M 作 MN ? y 轴于 N , E 为线段 MN 的中点.直线 AE 与直线 y ? ?1 交于点 C , G 为线段 BC 的中点, O 为坐标原点.求

?OEG 的大小.

19. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? x , g ( x) ? x2 ? ax ? b, a, b ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (0,1) 处的切线 l 与曲线 y ? g ( x) 切于点 (1, c) ,求

a, b, c 的值;
(Ⅲ)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a ? b 的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 各项均为非负整数的数列 {an } 同时满足下列条件: ① a1 ? m (m ? N* ) ;② an ? n ? 1 (n ? 2) ;③ n 是 a1 ? a2 ? ? ? an 的因数( n ? 1 ) . (Ⅰ)当 m ? 5 时,写出数列 {an } 的前五项; (Ⅱ)若数列 {an } 的前三项互不相等,且 n ? 3 时, an 为常数,求 m 的值; (Ⅲ)求证:对任意正整数 m ,存在正整数 M ,使得 n ? M 时, an 为常数.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案(理工类)2017.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) B (2) B (3) A (4) C (5) D (6) C (7) D (8) C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案
(9) (10) (11) (12) (13) (14)

y ? ? 2x

3

1

2 ? (?1)n?1

2

3

?4

4

三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 2sin B ? 3 sin A ,所以 2b ? 3a . 所以 a ?

2b . 3
(

2b 2 ) ? b2 ? b2 a ?c ?b 3 3 所以 cos B ? . ? ? 2b 2ac 3 2? ?b 3
2 2 2

…………7 分

(Ⅱ)因为 a ? 2 ,所以 b ? c ? 3 . 又因为 cos B ?

3 6 ,所以 sin B ? . 3 3
…………13 分

所以 S? ABC ?

1 1 6 a ? c ? sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2. 2 2 3

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据题意得: (0.005 ? 2 ? a ? 0.020 ? 2 ? 0.040) ?10 ? 1. 解得 a ? 0.010 .…………3 分 (Ⅱ)设样本中男生身高的平均值为 x ,则

x ? 145 ? 0.05 ? 155 ? 0.1 ? 165 ? 0.2 ? 175 ? 0.4 ? 185 ? 0.2 ? 195 ? 0.05
? (145 ? 195) ? 0.05 ? 155 ? 0.1 ? (165 ? 185) ? 0.2 ? 175 ? 0.4
? 17 ? 15.5 ? 70 ? 70 ? 172.5 .

所以估计该市中学全体男生的平均身高为 172.5 cm .…………7 分 (Ⅲ)从全市中学的男生中任意抽取一人,其身高在 180 cm 以上的概率约为 由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2,3 . 所以 P ( X ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ?
0 0

1 . 4

3 3 27 ; 4 64 3 27 1 1 1 P( X ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? ; 4 4 64 1 3 9 P ( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ; 4 4 64 3 1 3 1 3 P( X ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? . 4 4 64

1 4

随机变量 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

9 1 64 64 1 1 3 因为 X ~ B(3, ) ,所以 EX ? 3 ? ? .…………………………………13 分 4 4 4
(17) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 A 1D ? DC, ?A 1DC ? 60? , 所以△ A1DC 为等边三角形. 又因为点 F 为线段 CD 的中点, 所以 A1F ? DC . 由题可知 ED ? A1D, ED ? DC , 所以 ED ? 平面 A1DC . 因为 A1F ? 平面 A1DC ,所以 ED ? A 1F . 又 ED ? DC ? D ,所以 A1F ? 平面 BCDE . 所以 A1F ? BE . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1F ? 平面 BCDE , FG ? DC ,如图 …………5 分

27 64

27 64

建立空间直角坐标系,则 F (0,0,0)

, D(0, ?1, 0) ,

C (0,1, 0) , E (1, ?1, 0) , A1 (0,0, 3) , B(2,1, 0) .
设平面 A 1DE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

???? ? ??? ? A1D ? (0, ?1, ? 3) , DE ? (1,0,0) ,
???? ? ? ? y ? 3 z ? 0, ? n ? A1 D ? 0, ? 所以 ? ???? 即? ? ? x ? 0. ? n ? DE ? 0. ?
令 z ? 1 ,所以 y ? ? 3 ,所以 n ? (0, ? 3,1). 假设在线段 A 1B 上存在点 Q ,使 FQ ? 平面 A 1DE . 设 AQ ? ? A1B , ? ? ? 0,1 . 1 又A ? (2?, ?, ? 3?) . 1B ? (2,1, ? 3) ,所以 AQ 1 所以 Q(2?, ?, 3 ? 3? ) .则 FQ ? (2?, ?, 3 ? 3? ) . 所以 FQ ? n ? ? 3? ? 3 ? 3? ? 0 . 解得, ? ?

????

????

?

????

????

??? ?

??? ?

1 . 2

则在线段 A 1B 上存在中点 Q ,使 FQ ? 平面 A 1DE . 且 AQ ? 2. ……………………10 分 1 (Ⅲ)因为 A1Q ?

????

???? 3 3 3 3 ???? 3 ???? A1 B ,又 A AQ ? ( , ,? ). 1B ? (2,1, ? 3) ,所以 1 4 2 4 4

所以 Q( , ,

3 3 3 3 ) .又因为 G ( , 0, 0) , 2 2 4 4

所以 GQ ? (0, ,

????

3 3 ). 4 4

? 因为 n ? (0, ? 3,1), 设直线 GQ 与平面 A 1DE 所成角为 ,

3 3 3 ???? 0? ? GQ ? n 4 4 ? 1. ? 则 sin ? ? ???? 2 2 3 GQ n 2? 4
30 ? . 直线 GQ 与平面 A 1DE 所成角为
(18) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)依题意,得 b ? 1 .又 ?F 1BF 2 ? 120? , ………………………………14 分

a ? 2. 在 Rt?BFO 中, ?F 1 1BO ? 60? ,所以
所以椭圆 W 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.…………4 分 4
x0 , y0 ) . 2

(Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ) , x0 ? 0 ,则 N (0, y0 ) , E ( 因为点 M 在椭圆 W 上,所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 .即 x02 ? 4 ? 4 y02 . 4

又 A (0,1) ,所以直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

2( y0 ? 1) x. x0

令 y ? ?1 ,得 C (

x0 , ?1) . 1 ? y0 x0 , ?1) . 2(1 ? y0 )

又 B (0, ?1) , G 为线段 BC 的中点,所以 G ( 所以 OE ? (

??? ?

??? ? x x0 x0 , y0 ) , GE ? ( 0 ? , y0 ? 1) . 2 2 2(1 ? y0 ) x0 x0 x0 ( ? ) ? y0 ( y0 ? 1) 2 2 2(1 ? y0 )

因为 OE ? GE ?

??? ? ??? ?

?

x02 x02 ? ? y0 2 ? y0 4 4(1 ? y0 ) ? 1? 4 ? 4 y02 ? y0 4(1 ? y0 )

? 1 ? y0 ?1 ? y0 ? 0 , ??? ? ??? ? 所以 OE ? GE . ?OEG ? 90? .……………………13 分
(19) (本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ) F ( x) ? e x ? 2x ? b ,则 F ?( x) ? e 令 F ?( x) ? e 令 F ?( x) ? e (Ⅱ)因为
x

x

?2.

? 2 ? 0, 得 x ? ln 2 ,所以 F ( x) 在 (ln 2, ??) 上单调递增. ? 2 ? 0, 得 x ? ln 2 ,所以 F ( x) 在 (??, ln 2) 上单调递减. …………4 分

x

f ?( x) ? ex ? 2x ?1 ,所以 f ?(0) ? 0 ,所以 l 的方程为 y ? 1 .
a ? 1, c ? 1. 2
2

依题意, ?

于是 l 与抛物线 g ( x) ? x

? 2x ? b 切于点 (1,1) ,

由 12 ? 2 ? b ? 1得 b ? 2 . 所以 a ? ?2, b ? 2, c ? 1. …………8 分 (Ⅲ)设 h( x) ?

f ( x) ? g ( x) ? ex ? (a ?1) x ? b ,则 h( x) ? 0 恒成立.
x

易得 h?( x) ? e

? (a ? 1).

(1)当 a ? 1 ? 0 时, 因为 h?( x) ? 0 ,所以此时 h( x) 在 (??, ??) 上单调递增. ①若 a ? 1 ? 0 ,则当 b ? 0 时满足条件,此时 a ? b ? ?1 ; ②若 a ? 1 ? 0 ,取 x0
x

? 0 且 x0 ?

1? b , a ?1

此时 h( x0 ) ? e 0 ? (a ? 1) x0 ? b ? 1 ? (a ? 1) 不满足条件; (2)当 a ? 1 ? 0 时,

1? b ? b ? 0 ,所以 h( x) ? 0 不恒成立. a ?1

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? ln(a ? 1). 由 h?( x) ? 0 ,得 x ? ln(a ? 1) ; 由 h?( x) ? 0 ,得 x ? ln(a ? 1). 所以 h( x) 在 (??, ln(a ? 1)) 上单调递减,在 (ln(a ? 1), ??) 上单调递增. 要使得“ h( x) ? e
x

? (a ? 1) x ? b ? 0 恒成立”,必须有 ? (a ?1) ? (a ?1)ln(a ?1) ? b ? 0 ”成立.

“当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min

所以 b ? (a ? 1) ? (a ? 1) ln(a ? 1) .则 a ? b ? 2(a ? 1) ? (a ? 1) ln(a ? 1) ? 1. 令 G( x) ? 2 x ? x ln x ? 1, x ? 0, 则 G?( x) ? 1 ? ln x.

令 G?( x) ? 0 ,得 x ? e.由 G?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e ; 由 G?( x) ? 0 ,得 x ? e.所以 G ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减, 所以,当 x ? e 时, G( x)max

? e ?1.

从而,当 a ? e ? 1, b ? 0 时, a ? b 的最大值为 e ? 1 . 综上, a ? b 的最大值为 e ? 1 . (20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)5,1,0,2,2.…………3 分 (Ⅱ)因为 0 ? an …………14 分

? n ? 1 ,所以 0 ? a2 ? 1,0 ? a3 ? 2 ,

又数列 {an } 的前 3 项互不相等, (1)当 a2 ? 0 时, 若 a3

? 1 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? ? ? 1,
m ? 0 ? (n ? 2) m ? 2 ? ? 1 都为整数,所以 m ? 2 ; n n

且对 n ? 3 , 若 a3

? 2 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? ? ? 2 ,
m ? 0 ? 2(n ? 2) m ? 4 ? ? 2 都为整数,所以 m ? 4 ; n n

且对 n ? 3 ,

(2)当 a2 ? 1 时, 若 a3

? 0 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? ? ? 0 ,且对 n ? 3 ,

m ? 1 ? 0 ? ( n ? 2) m ? 1 ? 都为整数,所以 n n

m ? ?1 ,不符合题意;
若 a3

? 2 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? ? ? 2 ,
m ? 1 ? 2(n ? 2) m ? 3 ? ? 2 都为整数,所以 m ? 3 ; n n

且对 n ? 3 ,

综上, m 的值为 2,3, 4 .…………8 分 (Ⅲ)对于 n ? 1 ,令 Sn 则

? a1 ? a2 ? ? ? an ,

S n?1 S n?1 S n ? an?1 S n ? n S n ? ? ? ? ? 1. n ?1 n n n n S Sn S S 都为正整数,所以 n ?1 ? n ? ... ? 1 ? m ,其中“ ? ”至多出现 m ? 1 1 n ?1 n n

又对每一个 n ,

个.故存在正整数 M ? m ,当 n ? M 时,必有

S n ?1 S n ? 成立. n ?1 n



S n ?1 S n (n ? 1) S n S ? ? Sn ? n . 时,则 an?1 ? S n?1 ? S n ? n ?1 n n n S n?2 a ? an?1 ? S n an?2 ? (n ? 1)an?1 a ? an?1 ? n?2 ? ? an?1 ? n?2 . n?2 n?2 n?2 n?2 S | an?2 ? an?1 | n ? 1 ? ? 1 ,又 n ? 2 及 an?1 均为整数, n?2 n?2 n?2

从而

由题设知

所以

S S S S n?2 S S ? an?1 ? n ? n ?1 ,故 n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 常数. n?2 n n ?1 n n ?1 n ? 2

从而 an?1 ? S n?1 ? S n ?

(n ? 1) S n S ? S n ? n ? 常数. n n

故存在正整数 M ,使得 n ? M 时, an 为常数.………………………………13 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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