常用逻辑用语知识点及练习


【常用逻辑用语】 知识点一:命题的概念以及真假判断

知识点二:四种命题及其相互关系 原命题: “若 p ,则 q ” 逆命题: “若 q ,则 p ” 否命题: “若 ? p ,则 ? q ” 逆否命题: “若 ? q ,则 ? p ”
四种命题之间的相互关系,如右图所示。 四种命题的真假之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。

知识点三:充分条件和必要条件

2.用集合法判断充要条件也是一种常用手段,从集合之间的关系上理解: ①若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件; ②若 A ? B ,则 A 是 B 的必要条件; ③若 A ? B ,则 A 是 B 的必要条件; ④若 A ? B 且 B ? A ,则 A 既不是 B 的充分条件,也不是 B 的必要条件。 知识点四: 简单的逻辑联结词

⑴且(and) :命题形式 p ? q ; ⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p .
知识点五: 全称命题与特称命题

⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

【类型一】判断命题的真假 [例 1] 下列命题中,不是真命题的为(
2


2

A、命题“若 b ? 4ac ? 0 ,则二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根”的逆否命题; B、 “四边相等的四边形是正方形”的逆命题; C、 “ x ? 9 ,则 x ? 3 ”的否命题;
2

D、 “对顶角相等”的逆命题 [变式训练 1] 下列命题中,真命题是( A、若 ac ? bc ,则 a ? b C、 “若 b ? 3 ,则 b ? 9 ”的逆命题
2

) B、当 x ? 2 时, x ? 3x ? 2 ? 0 的否命题
2

D、 “相似三角形的对应角相等“的逆否命题

【类型二】写出一个命题的逆命题,否命题,逆否命题 [例 2] 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假: (1)若 x ≥ 2 且 y ≥ 3 ,则 x ? y ≥ 5 ; (2)对顶角相等; (3)矩形的对角线互相平分且相等. [变式训练 2] 命题“若 a ? A ,则 b ? B ”的否命题是( ) A.若 a ? A ,则 b ? B B.若 b ? B ,则 a ? A C.若 a ? A ,则 b ? B D.若 b ? B ,则 a ? A 【类型三】判断充分条件和必要条件 [例 3] “ ?A ? ?B ”是“ ?A 与 ?B 是对顶角”的 [变式训练 3] “ x ? y ? 0 ”是“ 条件; 条件;

1 1 ? ”的 x y

【类型四】利用命题的真假求参数的取值范围 2 ﹁ [例 4] 已知命题 p:x 在函数 y=log (x -x-6 )的定义域内,命题 q:x∈Z。若 p∧q 为假命题, q 为假命题,求实数 x 的取 3 值范围。

2 2 [变式训练 4-1] 已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等正根,命题 q:方程 x +4(m-2)x+4=0 无实根.若 “p 或 q”为真命 题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围.

2 [变式训练 4-2] 是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0 的充分条件?”如果存在,求出 p 的取值范围.

【类型五】含有一个量词的命题的否定 [例 5] 写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)任意实数 x,都是方程 3x-5=0 的根; (3) ?x ? R, x 2 ? 1 ; (2) ?x ? R, x 2 ? 0 ;

(4) ?x ? R ,x 是方程 x2-3x+2=0 的根。

[变式训练 5] 写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)存在一个三角形是直角三角形; (2)至少有一个锐角 ? ,使 sin ? =0;

(3)在实数范围内,有一些一元二次方程无解; (4)不是每一个人都会开车。

【课后练习】
2 2 1、有下列四个命题:①“若 x ? y ? 0 ,则 x , y 互为相反数”的逆命题;②“ a ? b ,则 a ? b ”的逆否命题;③“若

x ? ?3 ,则 x2 ? x ? 6 ? 0 ”的否命题;④“若 ab 是无理数,则 a , b 是无理数”的逆命题。其中真命题的个数是(
A、0 B、1 C、2 D、3 )



2、命题“若 a ? ?3 ,则 a ? ?6 ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( A、1 B、2 C、3 D、4 ) D、若 ?q ,则 ?p

3、命题“若 ?p ,则 q ”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( A、若 p ,则 ?p B、若 q ,则 ?p C、若 ?q ,则 p

4、下列四个命题:①“若 x ? y ? 0 ,则互为相反数”的否命题;②“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题;
2 2 ③“若 a ? b ,则 a ? b ”的逆否命题;④已知 a, b, c, d 是实数, “若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ”的逆命题,其

中真命题的序号是

; )条件

5、设原命题“若 p 则 q ”假,而逆命题真,则 p 是 q 的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

D、既不充分也不必要 )条件

6、设原命题“若 p 则 q ”真,而逆命题假,则 p 是 q 的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

D、既不充分也不必要 )条件

7、设原命题“若 p 则 q ”与逆命题都真,则 p 是 q 的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

D、既不充分也不必要 )条件

8、设原命题“若 p 则 q ”与逆命题都假,则 p 是 q 的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

D、既不充分也不必要

9、 “ ?ABC 与 ?A ' B ' C ' 面积相等”是“ ?ABC 与 ?A ' B ' C ' 全等”的( A、充分不必要 10、 “ a ? b ”是“ A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 )条件 C、充要 为二次函数”的( C、充要

)条件

D、既不充分也不必要

b ? 1 ”的( a
B、必要不充分
2

D、既不充分也不必要 )条件 D、既不充分也不必要 )条件。

11、 “ m ? 1 ”是“函数 y ? xm A、充分不必要

?4 m?5

B、必要不充分

12、如果 x 、 y 是实数,则“ x ? y ? 0 ”是“ | x ? y |?| x | ? | y | ”的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

D、既不充分也不必要 )条件

13、 “ABCD 是矩形”是“ABCD 是一平行四边形”的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

D、既不充分也不必要 )

14、若命题 p:0 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列命题中为真的是( A、 p ? q B、 p ? q C、 ?p D、 ?p ? ?q )

15、如果命题“非 p 或非 q”是假命题,则在下列各结论中正确的是( (1)命题“ p ? q ”是真命题; (3)命题“ p ? q ”是真命题; A、 (1) (3) B、 (2) (4) (2)命题“ p ? q ”是假命题; (4)命题“ p ? q ”是假命题; D、 (1) (4)

C、 (2) (3)

16、设 A、B 是全集 U 的子集,命题 p 为“3 ? A ? B ” ,则命题“非 p”为( A、 3 ? (CU A) ? (CU B) B、 3 ? (CU A) ? (CU B) C、 3 ? A ? B

) : D、 3 ? A ? B )

17、设 p、q 是两个命题,则“复合命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”的充要条件是( A、p、q 中至少有一个为真 C、p、q 中只有一个为真 18、判断以下命题的真假: (1) ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

B、p、q 中至少有一个为假 D、p 为真,q 为假

(1) ?x ? Q,

1 2 1 x ? x ? 1 是有理数; 3 2

(3) ?? , ? ? R, 使 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ; (4) ?x, y ? Z , 使3x ? 2 y ? 10 ;

。 (5) ?a, b ? R, 方程ax ? b ? 0恰有一个解

19、用全称量词和存在量词表示下列语句: (1) 有理数都能写成分数形式; (2) n 边形的内角和等于(n-2)×1800; (3) 两个有理数之间,都有另一个有理数; (4) 有一个实数乘以任意一个实数都等于 0。 20、写出下列命题的否定: (1) ?x ? R, x 2 ? ?1 ; (2) ?x ? R, 使x 2 ? 1 ? 0 。

2 2 2 21、已知集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ,集合 B 为函数 y ? x ? 2x ? a 的值域,集合 C ? x x ? ax ? 4 ? 0 ,命题 p:

?

?

?

?

A ? B ? ? ,命题 q: A ? C 。
(1) 若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围 (2) 若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围

2 2 22、已知 p : ?x ? R, 2x ? m( x ? 1), q : ?x ? R, x ? 2x ? m ?1 ? 0 ,且 p ? q 为真,求实数 m 的取值范围。


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