【步步高】2015届高考数学总复习 3.2导数与函数的单调性、极值、最值课件 理 新人教B版


数学

R B(理)

§3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.函数的单调性 设函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,如果在(a,b) 内, f′(x)>0 ,则 f(x)在此区间是增函数;如果在 (a,b)内, f′(x)<0 ,则 f(x)在此区间是减函数.

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.函数的极值 已知函数 y=f(x),设 x0 是定义域(a,b)内任一点,如 果对 x0 附近所有点 x, 都有 f(x)<f(x0) , 则称函数 f(x)

在点 x0 处取极大值,记作 y 极大=f(x0) ,并把 x0 称为 函 数 f(x) 的 一 个 极大值点 ; 如 果 在 x0 附 近 都

有 f(x)>f(x0) ,则称函数 f(x)在点 x0 处取极小值,记 作 y 极小=f(x0) , 并把 x0 称为函数 f(x)的一个 极小值点 .

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的所有实数根; (3)考察在每个根 x0 附近,从左到右,导函数 f′(x)的符号 如何变化. 如果 f′(x)的符号由正变负, 则 f(x0)是 极大值 ; 如果 f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是 极小值 . 如果在 f′(x)=0 的根 x=x0 的左、右侧,f′(x)符号不变, 则 f(x0) 不是极值 .

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

4.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值 与最小值. (2)若函数 f(x)在[a, b]上单调递增, 则 f(a)为函数的最小值, f(b) 为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则
f(a) 为函数的最大值, f(b) 为函数的最小值.

(3)求可导函数 f(x)在[a, b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的 极值 ; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b) 进行比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值.

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) √ (4) × (5) √ (6) √

解析

A C B
[-3,+∞)

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在

思维启迪

解析

思维升华

( - 2,3) 上为减函数,若存 在,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由.

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在

思维启迪

解析

思维升华

函数的单调性和函数中的 参数有关,要注意对参数 的讨论.

( - 2,3) 上为减函数,若存 在,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由.

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在

思维启迪

解析

思维升华

f′(x)=ex-a, (1) 若 a≤0 ,则 f′(x) = ex -a≥0, 即 f(x)在 R 上单调递增, 若 a>0, ex-a≥0, ∴ex≥a,
x≥ln a. 因此当 a≤0 时, f(x)的单调 增区间为 R, 当 a>0 时,f(x)的单调增区

( - 2,3) 上为减函数,若存 在,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由.

间是[ln a,+∞).

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在

思维启迪

解析

思维升华

(2)∵f′(x)=ex-a≤0 在 (-2,3)上恒成立. ∴a≥ex 在 x∈( - 2,3) 上恒 成立. 又∵-2<x<3,∴e-2<ex<e3, 只需 a≥e3. 当 a=e3 时,f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上,

( - 2,3) 上为减函数,若存 在,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由.

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在

思维启迪

解析

思维升华

f′(x)<0,即 f(x)在(- 2,3) 上为减函数,∴a≥e3.

( - 2,3) 上为减函数,若存 在,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由.

故存在实数 a≥e3,使 f(x) 在(-2,3)上为减函数.

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数研究函数的单调性
x

【例 1】 已知函数 f(x)=e -ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在

思维启迪

解析

思维升华

(1) 利用导数的符号来判断函 数的单调性; (2) 已知函数的单调 性求函数
范围可以转化为不等式恒成立 问题; (3)f(x) 为增函数的充要条件是
对 任 意 的 x∈(a , b) 都 有 f′(x)≥0 且在(a, b)内的任一非 空子区间上 f′(x)≠0.应注意此 时式子中的等号不能省略,否 则漏解.

( - 2,3) 上为减函数,若存 在,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由.

题型分类·深度剖析
1 3 跟踪训练 1 (1) 设函数 f(x) = x - (1 + a)x2 + 4ax + 3 24a,其中常数 a>1,则 f(x)的单调减区间为________.
解析 f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),

由 a>1 知,当 x<2 时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数; 当 2<x<2a 时,f′(x)<0, 故 f(x)在区间(2,2a)上是减函数; 当 x>2a 时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.

题型分类·深度剖析
1 3 跟踪训练 1 (1) 设函数 f(x) = x - (1 + a)x2 + 4ax + 3 (2,2a) . 24a,其中常数 a>1,则 f(x)的单调减区间为________
综上,当a>1时, f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数, 在区间(2,2a)上是减函数.

题型分类·深度剖析
1 2 (2)若 f(x)=- x +bln(x+2)在(-1, +∞)上是减函数, 2

(-∞,-1] . 则 b 的取值范围是____________
b 解析 转化为 f′(x)=-x+ ≤0 在[-1,+∞)上 x+2 恒成立,
即 b≤x(x+2)在[-1,+∞)上恒成立,令 g(x)=x(x+ 2)=(x+1)2-1,

所以 g(x)min=-1,则 b 的取值范围是(-∞,-1].

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 处与直线 y=-x+1 垂直的 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 处与直线 y=-x+1 垂直的 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

(1)通过 f′(2)的值确定 a;
(2)解 f′(x)=0,然后要讨 论两个零点的大小确定函 数的极值.

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= (1)由已知,得 x>0,f′(x) 1 2 a x -(a+1)x+a(1+ln x). =x-(a+1)+x, 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) y=f(x)在(2,f(2))处切线的 处与直线 y=-x+1 垂直的 斜率为 1, 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.
所以 f′(2)=1,即 2-(a+ a 1)+2=1, 所以 a=0,此时 f(2)=2-2 =0,

故所求的切线方程为 y=x-2.

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= a (2)f′(x)=x-(a+1)+x 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 2 x2-?a+1?x+a = x (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 处与直线 y=-x+1 垂直的 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.
?x-1??x-a? = . x

①当 0<a<1 时,若 x∈(0, a),f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增;
若 x∈(a,1), f′(x)<0,函 数 f(x)单调递减;

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= 若 x∈(1,+∞),f′(x)>0, 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 2 函数 f(x)单调递增. (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 此时 x=a 是 f(x)的极大值 处与直线 y=-x+1 垂直的 点, x=1 是 f(x)的极小值点, 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.
函数 f(x)的极大值是 f(a)= 1 2 -2a +aln a, 1 极小值是 f(1)=-2.

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= ② 当 a = 1 时 , f′(x) = 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). ?x-1?2 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 处与直线 y=-x+1 垂直的 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.
x >0,

所以函数 f(x)在定义域(0, +∞)内单调递增, 此时 f(x)没有极值点,故无 极值. ③当 a>1 时,若 x∈(0,1),

f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增;

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= 若 x∈(1,a),f′(x)<0,函 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 数 f(x)单调递减; 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.
函数 f(x)单调递增. 处与直线 y=-x+1 垂直的 此时 x=1 是 f(x)的极大值

若 x∈(a,+∞),f′(x)>0,

点, x=a 是 f(x)的极小值点, 函数 f(x)的极大值是 f(1) 1 =-2, 1 2 极小值是 f(a)=-2a +aln a.

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= 综上,当 0<a<1 时,f(x)的 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 极大值是-1a2+aln a, 2 2 (1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2)) 处与直线 y=-x+1 垂直的 切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.
1 极小值是-2;
当 a=1 时,f(x)没有极值;
当 a>1 时,f(x)的极大值是 1 1 2 -2,极小值是-2a +aln a.

题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求函数的极值
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设 a>0,函数 f(x)= (1)导函数的零点并不一定就 1 2 x -(a+1)x+a(1+ln x). 是函数的极值点.所以在求 2
出导函数的零点后一定要注 意分析这个零点是不是函数 处与直线 y=-x+1 垂直的 的极值点. 切线方程; (2)若函数 y=f(x)在区间(a, b)内有极值,那么 y=f(x)在 (2)求函数 f(x)的极值. (a , b) 内绝不是单调函数, 即在某区间上单调函数没有 极值.

(1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2))

题型分类·深度剖析
ex 跟踪训练 2 设 f(x)= 2,其中 a 为正实数. 1+ax 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.
2 1 + ax -2ax x 解 对 f(x)求导得 f′(x)=e · 2 2 . ?1+ax ?



4 (1)当 a=3时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,

题型分类·深度剖析
ex 跟踪训练 2 设 f(x)= 2,其中 a 为正实数. 1+ax 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.
3 1 解得 x1=2,x2=2.结合①,可知 ? ?1 1 1? 3? ? ? ? ? - ∞ , , x ? ? 2 2? 2? ? ? ?2 ? f′(x) f (x ) + ↗ 0 极大值 - ↘

3 2 0 极小值

?3 ? ? ? ,+ ∞ ? ? ?2 ?

+ ↗

题型分类·深度剖析
ex 跟踪训练 2 设 f(x)= 2,其中 a 为正实数. 1+ax 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 3 1 所以 x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,
结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立, 即 Δ= 4a2- 4a= 4a(a- 1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.
所以 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

(1) 题目条件的转化: f(1) =g(1)且 f′(1)=g′(1);

(2)可以列表观察 h(x)在 (-∞,2]上的变化情况, 然后确定 k 的取值范围.

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

(1)f′(x) = 2ax , g′(x) = 3x2 + b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=

g(x)在它们的交点(1,c)处具 有公共切线, 所以 f(1) = g(1) 且 f′(1) = g′(1), 即 a+1=1+b 且 2a =3+b,
解得 a=3,b=3.

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

(2)记 h(x)=f(x)+g(x),当 a =3,b=-9 时, h(x)=x3+3x2-9x+1, 所以 h′(x)=3x2+6x-9. 令 h′(x)=0,得 x1=-3, x2=1.

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

h′(x),h(x)在(-∞,2]上的变化情 况如下表所示:
(-∞, x h′(x) h(x) -3 (-3,1) -3) + ↗ 0 28 - ↘ 1 0 -4 (1,2) 2 + ↗ + 3

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

由表可知当 k≤-3 时,函数 h(x) 在 区 间 [k,2] 上 的 最 大 值 为 28;
当-3<k<2 时, 函数 h(x)在区 间[k,2]上的最大值小于 28. 因此 k 的取值范围是(-∞, -3].

题型分类·深度剖析
题型三 利用导数求函数的最值
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知函数 f(x)=ax2 +1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y =g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若 函数 f(x)+g(x)在区间[k,2] 上的最大值为 28,求 k 的 取值范围.

(1)求解函数的最值时,要先 求函数 y=f(x)在[a,b]内所 有使 f′(x)=0 的点,再计算 函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处 的函数值,最后比较即得. (2)可以利用列表法研究函数

在一个区间上的变化情况.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区 间[1,e]上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数).
解析 (1)f′(x)=ln x+1,x>0, 1 由 f′(x)=0 得 x=e, 1 1 所以 f(x)在区间(0,e )上单调递减,在区间(e ,+∞)上单调
递增.
1 所以,x=e 是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区 间[1,e]上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数).
(2)g(x)=xln x-a(x-1), 则 g′(x)=ln x+1-a, 由 g′(x)=0,得 x=ea-1,
所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,

在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.
当 ea-1≤1,即 a≤1 时,在区间[1,e] 上,g(x)为递增函数, 所以 g(x)的最小值为 g(1)=0. 当 1<ea-1<e,即 1<a<2 时,g(x)的最小值为 g(ea-1)=a-ea-1.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区 间[1,e]上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数).
当 ea-1≥e,即 a≥2 时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,

所以 g(x)的最小值为 g(e)=a+e-ae.
综上,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0; 当 1<a<2 时,g(x)的最小值为 a-ea-1; 当 a≥2 时,g(x)的最小值为 a+e-ae.

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
审 思题 维路 启线 迪图

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解方程 f′(x)=0 列表求单调区间;
(2)根据(1)中表格,讨论 k-1 和区间[0,1] 的关系 求最值.

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解 (1)由题意知 f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. 2分 f(x)与 f′(x)的情况如下: (-∞,k-1) k-1 (k-1, +∞) x f′(x) - + 0 k-1 ↘ - e ↗ f(x)

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调
6分 递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,f(x)在[0,1] 上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1] 上的最小值为 f(0)=-k; 8分 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek-1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,f(x)在[0,1] 上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1] 上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 10分 综上,当 k≤1 时,f(x)在[0,1] 上的最小值为 f(0)=-k; k-1 当 1<k<2 时,f(x)在[0,1] 上的最小值为 f(k-1)=-e ; 当 k≥2 时,f(x)在[0,1] 上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 12分

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可 用以下几步答题: 第一步:求函数 f(x)的导数 f′(x);

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

第二步:求 f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:求 f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较,

确定 f(x)的最大值与最小值; 第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范.

题型分类·深度剖析
答题模板系列4 利用导数求函数的最值问题
典例:(12 分)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)本题考查求函数的单调区间, 求函数在给定区 间[0,1]上的最值,属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现

不全面,不准确的情况.

(3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.

思想方法·感悟提高
1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值 可列表观察函数的变化情况, 直观而且条 理,减少失分.

方 法 与 技 巧

2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格 齐全;含参数时,要讨论参数的大小.

3.在实际问题中,如果函数在区间内只有 一个极值点,那么只要根据实际意义判 定是最大值还是最小值即可,不必再与 端点的函数值比较.

思想方法·感悟提高
1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间 和极值点必须在函数的定义域内进行.

失 误 与 防 范

2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就 是最值点,要通过认真比较才能下结论.

3. 解题时要注意区分求单调性和已知单调性的 问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分极 值点和导数为 0 的点.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图 象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为 ( C )

解析 根据 f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上 升,最后下降,排除 A,D; 从适合 f′(x)=0 的点可以排除 B.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.下面为函数 y=xsin x+cos x 的递增区间的是( C ) π 3π A.( , ) B.(π,2π) 2 2 3π 5π C.( , ) D.(2π,3π) 2 2
解析 y′=(xsin x+cos x)′=sin x+xcos x-sin x= xcos x, 3π 5π 当 x∈( 2 , 2 )时,恒有 xcos x>0.故选 C.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值 点,则 A.a<-1 1 C.a>- e
解析

( A ) B.a>-1 1 D.a<- e

∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.

∵函数 y=ex+ax 有大于零的极值点,
则方程 y′=ex+a=0 有大于零的解,
∵x>0 时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 2 4.设函数 f(x)= x -9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递 2 减,则实数 a 的取值范围是 A.1<a≤2 C.a≤2 B.a≥4 ( A )

D.0<a≤3 1 2 9 解析 ∵f(x)=2x -9ln x,∴f′(x)=x-x (x>0), 9 当 x-x ≤0 时, 有 0<x≤3, 即在(0,3]上原函数是
减函数, ∴a-1>0 且 a+1≤3,解得 1<a≤2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值 是 A.-2 B.0 C.2 ( C ) D.4

解析 ∵f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. ∴f(x)在[ -1,0)上是增函数,f (x)在(0,1] 上是减 函数.

∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9 (-3,0),(0,3) . 6.函数 f(x)=x+x的单调减区间为______________
2 x -9 9 解析 f′(x)=1-x2= x2 ,

令 f′(x)<0,解得-3<x<0 或 0<x<3,
故单调减区间为(-3,0)和(0,3).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有 a>2或a<-1 . 极小值,则 a 的取值范围是____________
解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1], ∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).

令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a+2=0. ∵函数 f(x)有极大值和极小值, ∴方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根.
即 Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2 或 a<-1.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2 x 8.设函数 f(x)=x3- -2x+5,若对任意的 x∈[-1,2], 2 7 (-∞, ) . 都有 f(x)>a,则实数 a 的取值范围是__________ 2

解析 f′(x)=3x2-x-2, 令 f′(x)=0,得 3x2-x-2=0, 2 解得 x=1 或 x=-3, 7 2 157 11 又 f(1)=2,f(-3)= 27 ,f(-1)= 2 ,f(2)=7, 7 7 故 f(x)min=2,∴a<2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 9.已知函数 f(x)=x+ln x.求函数 f(x)的极值和单调 区间.
1 1 x-1 解 因为 f′(x)=-x2+x = x2 , 令 f′(x)=0, 得 x=1, 又 f(x)的定义域为(0, +∞),

f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: (1, +∞) x (0,1) 1 f′(x) - + 0 ↘ 极小值 ↗ f(x)

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 9.已知函数 f(x)=x+ln x.求函数 f(x)的极值和单调 区间.

所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1.

f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区 间为(0,1).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 已知函数 f(x)=x2+bsin x-2(b∈R), F(x)=f(x)+2, 且对于任意实数 x,恒有 F(x)-F(-x)=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x 在区间(0,1) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.
解 (1)F(x) = f(x) + 2 = x + bsin x - 2 + 2 = x + bsin x, 依题意,对任意实数 x,恒有 F(x)-F(-x)=0. 即 x2+bsin x-(-x)2-bsin(-x)=0, 即 2bsin x=0,所以 b=0,所以 f(x)=x2-2.
2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 已知函数 f(x)=x2+bsin x-2(b∈R), F(x)=f(x)+2, 且对于任意实数 x,恒有 F(x)-F(-x)=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x 在区间(0,1) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.
(2)∵g(x)=x2-2+2(x+1)+aln x, ∴g(x)=x2+2x+aln x, a g′(x)=2x+2+x. ∵函数 g(x)在(0,1)上单调递减, ∴在区间(0,1)内,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 已知函数 f(x)=x2+bsin x-2(b∈R), F(x)=f(x)+2, 且对于任意实数 x,恒有 F(x)-F(-x)=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x 在区间(0,1) 上单调递减,求实数 a 的取值范围.
2 2 x +2x+a a g′(x)=2x+2+x= ≤0 恒成立, x ∴a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.

∵-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减,∴a≤-4 为 所求.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.已知 f(x)是可导的函数,且 f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒 成立,则 A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e
2 014

( f(0)

)

B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0)

f?x? 解析 令 g(x)= ex , f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? f?x? 则 g′(x)=( ex )′= = <0 , 2x x e e

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.已知 f(x)是可导的函数,且 f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒 成立,则 A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e
2 014

( D ) f(0)

B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0)

D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) f?x? 所以函数 g(x)= x 是单调减函数, e 所以 g(1)<g(0),g(2 014)<g(0), f?1? f?0? f?2 014? f?0? 即 e1 < 1 , e2 014 < 1 , 故 f(1)<ef(0), f(2 014)<e2 014f(0).

练出高分
1
2 +x2 等于

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.如图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则 x2 1 ( )

8 10 16 28 A. B. C. D. 9 9 9 9 解析 由图象可得 f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,
又∵x1、x2 是 f′(x)=3x2-2x-2=0 的两根, 2 2 ∴x1+x2=3,x1x2=-3,

练出高分
1
2 +x2 等于

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.如图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则 x2 1 ( C )

8 A. 9

16 28 C. D. 9 9 22 2 16 2 2 2 故 x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=( ) +2× = . 3 3 9

10 B. 9

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1 2 3.已知函数 f(x)=- x +4x-3ln x 在[t,t+1]上不单 2 (0,1)∪(2,3) . 调,则 t 的取值范围是___________ 3 -x2+4x-3 解析 由题意知 f′(x)=-x+4-x= x ?x-1??x-3? =- , x 由 f′(x)=0 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内, 函数 f(x)在区间[ t,t+1] 上就不单调,

由 t<1<t+1 或 t<3<t+1,得 0<t<1 或 2<t<3.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4. (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

x

(1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4

=e (ax+a+b)-2x-4,
∵y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4,

∴f′(0)=a+b-4=4,f(0)=b=4, ∴a=4,b=4.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4. (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.
(2)由(1)知 f′(x)=4ex(x+2)-2(x+2) =2(x+2)(2ex-1),

1 令 f′(x)=0 得 x1=-2,x2=ln 2,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4. (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.
列表: (-∞, -2 x -2) f′(x) + 0 ↗ 极大值 f(x)
? ?-2,ln ?

1? ? 2?

1 ln 2 0 极小值

? ?ln ?

? 1 ,+∞? 2 ?

- ↘

+ ↗

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

4. (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.
? ? ∴y=f(x)的单调增区间为(-∞, -2), ?ln ? ? 1 ,+∞? ?; 2 ?

? 单调减区间为? ?-2,ln ?

1? ? . 2? ?

f(x)极大值=f(-2)=4-4e-2.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值.
解 (1)由 f(0)=1,f(1)=0,得 c=1,a+b=-1, 则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,

f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, 依题意对于任意 x∈[0,1] ,有 f′(x)≤0.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. 当 a>0 时,
因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上, 而 f′(0)=-a<0, 所以需 f′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1; 当 a=1 时, 对于任意 x∈[0,1] , 有 f′(x)=(x2-1)ex≤0,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. 且只在 x=1 时 f′(x)=0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈[0,1] ,f′(x)=-xex≤0, 且只在 x=0 时,f′(x)=0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件.

故 a 的取值范围为 0≤a≤1.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. (2)因 g(x)=(-2ax+1+a)ex, g′(x)=(-2ax+1-a)ex,
①当 a=0 时,g′(x)=ex>0, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,

在 x=1 处取得最大值 g(1)=e.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. ②当 a=1 时,对于任意 x∈[0,1]有 g′(x)=
-2xex≤0, g(x)在 x=0 处取得最大值 g(0)=2, 在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. 1-a ③当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= 2a >0.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. 1-a 1 若 ≥1,即 0<a≤ 时, 2a 3 g(x)在[0,1] 上单调递增,
g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a,

在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. 1-a 1 若 <1,即 <a<1 时, 2a 3 1 a 1-a 1-a g(x)在 x= 处取得最大值 g( )=2ae 2a , 2a 2a 在 x=0 或 x=1 处取得最小值, 而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,


练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. 由 g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0, e-1 得 a= . e+1 e-1 1 则当3<a≤ 时, e+1 g(0)-g(1)≤0, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a;

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且 满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围. (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值 和最小值. e-1 当 <a<1 时,g(0)-g(1)>0, e+1 g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e.


相关文档

更多相关文档

《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:3-3 导数的应用(二)——极值与最值
【步步高】2015届高考数学总复习 3.3导数的综合应用课件 理 新人教B版
导数与函数的单调性、极值复习课件
【步步高】2015届高考数学总复习 4.4三角函数的图象和性质课件 理 新人教B版
导数与函数的单调性、极值、最值
电脑版