重庆一中高2014级13-14学年(下)第一次月考——数学文


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2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 试 题 卷(文科)2014.3
一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1.集合 A ? ? x y ?

? ?

1? 1? ? ? ,集合 B ? ? y ? ? ,则有( x? x? ?
B A? B ? ? C B? A

) D 以上均错误

A A? B

2 .一个半径为 1 球内切于一个正方体,切点为 A, B, C, D, E, F ,那么多面体 ABCDEF 的体积为 ( A )

1 12

B

1 6
2

C

2 3

D

4 3
) D

3.对于任意 x ? [1,5] ,则 x 满足不等式 x ? 3x ? 4 ? 0 的概率为( A

3 4

B

1 5

C

3 5

4 5

4.(原创)直线 x cos ? ? y sin ? ? 2 ? 0 与圆 ( x ? sin ? ) 2 ? ( y ? 2cos ? ) 2 ? ( ) A 相交,相切或相离

1 , (? ? R) 的位置关系为 4

B 相切

C 相切或相离

D 相交或相切 )条件

5.已知 p : “ tan ? tan ? ? 1”, q :“ cos(? ? ? ) ? 0 ”,那么 p 是 q 的(

r r r r 6.向量 a ? (2, ?3), b ? (?1, ? ) ,若 a, b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围为(
A? ?

A 充要

B 既不充分,也不必要

C 必要不充分

D 充分不必要 ) D? ? ?

2 3

B ??

2 3 , 且? ? ? 3 2

C? ? ?

2 3 , 且? ? 3 2 1 3

2 3


7. (原创) 首项为 1 的正项等比数列 ?an ? 的前 100 项满足 S奇 = S偶 , 那么数列 ? A 先单增,再单减 8.若方程 1 ? B 单调递减 C 单调递增 D 先单减,再单增 )

? log 3 an ? ?( ? an ?

x2 ? x ? m 没有实数根,则实数 m 的取值范围为( 2
B

A (??, ? 2] ? ( 3, ??) C

? ? 2, 3 ? ? ?

(??, ? 2) ? ( 3, ??)
2 2

D ( 2, 3) )

9.式子 a 1 ? b ? b 1 ? a 的最大值为(

A

1 2

B 1

C

2 2

D

3 2

10.(原创)定义在实数集 R 函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 0 ,且 f ? x ? 1? 为奇函数,现有以下 三种叙述:(1) 8 是函数 f ? x ? 的一个周期;(2) f ? x ? 的图像关于点 (3, 0) 对称;(3) f ? x ? 是 偶函数.其中正确的是( ) A (2)(3) B (1)(2)

C (1)(3)

D (1)(2)(3)

二、填空题(每题 5 分,共计 25 分)

uuur x2 y 2 1 11.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且点 F1 分 AF2 的比为 ,则 a b 2
该椭圆的离心率为 12.三角形 ABC中, AB ? 6, BC ? 4, AC ? 8 ,则 AB ? BC ? 13.某小区共有 1500 人,其中少年儿童,老年人,中青年人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法 从中抽取 60 人,那么老年人被抽取了 人
2 2 14.(原创)直线 l 过定点 (2, 2) 且与圆 x ? y ? 9 交于点 A, B ,当 AB 最小时,直线 l 恰好和抛物

uu u r uuu r

线 x ? ay ? 9 ( a ? 0 )相切,则 a 的值为
2

15.(原创)集合 A ? y y ? x , x ? [1, 2] ,集合 B ? x ln x ? ax ? 2 ? 0 ,且 A ? B ,则实数 a 的
3

?

?

?

?

取值范围是

三、解答题(共计 75 分) 16.(13 分)现从两个文艺组中各抽一名组员完成一项任务,第一小组由甲,乙,丙三人组成,第二 小组由丁,戊两人组成. (1)列举出所有抽取的结果; (2)求甲不会被抽到的概率.

17.(13 分)函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x ? 2, ( x ? R)
4 4

(1)求函数 f (2 x) 的最小正周期和对称轴; (2)求函数 f ( x ?

?

? ?? ) 在区间 ?0, ? 的值域. 8 ? 3?

18.(13 分)数列 {a n } 满足 a1 ? 1, 且 a n ? a n ?1 ? n(n ? 1, n ? N ) ,
*

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)数列 {bn } 满足 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项的和 S n . an

19. 原创 (12 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 棱 AA1 上有一个动点 E 满足 AE ? ? A1 E . (1)求 ? 的值,使得三棱锥 E ? ABC 的体积是三棱柱 的

C1 A1 B1

ABC ? A1B1C1 体积

1 ; 9

(2)在满足(1)的情况下,若 AA1 ? AB ? BC ? AC ? 2 , CE ? AC1 ? M ,确 定 BE 上一点 N ,使得 MN / / 面BCC1 B1 ,求出此时 BN 的值.

E A

M

C

B

' 20.(12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 2bx ? a ? 0 ? ,且 f (1) ? 0
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; ( 2 )试问函数 f ? x ? 图像上是否存在两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,其中 x2 ? x1 ,使得函数 f ? x ? 在

x?

x1 ? x2 的切线与直线 AB 平行?若存在,求出 A, B 的坐标,不存在说明理由. 2
x2 y2 ? ? 1 左右焦点,过点 F1 且不与 x 轴垂直的直线交椭圆 4 3

21.原创(12 分)点 F1 , F2 是椭圆 C 的 于 P, Q 两点.

(1)若 PF2 ? QF2 ,求此时直线 PQ 的斜率 k ; (2)左准线 l 上是否存在点 A ,使得 V PQA 为正三角形?若存在,求出点 A ,不存在说明理由.

出题人:廖桦 审题人:张伟

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 答 案(文科)2014.3
一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) BDACD CACBD 二、填空题(每题 5 分,共计 25 分) 11.

1 ; 2

12.6; 15. ( ??,

13. 20

14. ?18

2 ? ln 8 ) 8

三、解答题(共计 75 分) 16.(13 分) 解:(1)结果有:甲丁,甲戊,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊; (2)记 A=“甲不会被抽到”,根据(1)有

P( A) ?

4 2 ? 6 3

17.(13 分) 解:(1)

f ( x) ? cos 4 x ? sin 4 x ? 2sin x cos x ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4
所以 f (2 x) ?

?

2 sin(4 x ?

?

根据公式,其最小正周期 T ?

2? ? ? ,要求其对称轴,则有 4 2 ? ? k? ? ? ,k ? Z 4 x ? ? k? ? , k ? Z ,即对称轴为 x ? 4 16 4 2

4

)?2

( 2 ) f (x ?

?
8

) ? 2 sin(2 x ?

?

? ?? ) ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 , 根 据 单 调 性 , 其 在 ?0, ? 的 值 域 为 2 ? 3?

? ? 2 ,2 ? 2 ? ?2 ? 2 ? ?
18.(13 分) 解:(1)由 a n ? a n ?1 ? n(n ? 1, n ? N ) 有 a n ? a n ?1 ? n ,由叠加可得
*

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? L ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 2 ? L ? n ?
式的值为 1 ,满足条件 a1 ? 1, 所以, a n ? (2) bn ?

n(n ? 1) (n ? 2) ,当 n ? 1时,上 2

n(n ? 1) 2

2 1 1 ? 2( ? ) ,所以 n(n ? 1) n n ?1

S n ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 2n ? ? ??? ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1

19.(12 分)

1 1 1 Sh锥 = Sh柱 , h锥 = h柱 ,即点 E 到底面 ABC 的距离是 3 9 3 1 1 点 A1 到底面 ABC 距离的 ,所以 ? ? ; 3 2
解:(1)根据条件,有 (2)根据条件,易得

C1 A1 B1

AE EM 1 EM EN 1 ? ? ,则当 ? ? 时 MN / / BC ,即有 CC1 CM 2 MC BN 3 10 3 BE 时,有,所以 BN ? 2 4

E A

M

C

MN / / 面BCC1 B1 ,即 BN ?
20.(12 分) 解:(1) f
'

B

? x? ?

1 ? 2ax ? 2b ,又 f ' (1) ? 0 ,所以有 2b ? 2a ? 1 ,所以 x

f ' ? x? ?

1 1? ? ? 2ax ? 2a ? 1 ? ? ? x ? 1? ? 2a ? ? , 又 a ? 0, x ? 0 , 所 以 f ' ? x ? ? 0 有 0 ? x ? 1 , 所 以 x x? ?

f ? x ? 的单调递增区间为 (0,1)
(2)根据条件 y1 ? ln x1 ? ax1 ? ? 2a ? 1? x1 , y1 ? ln x2 ? ax2 ? ? 2a ? 1? x2 ,所以
2 2

k AB ?

y1 ? y2 ln x1 ? ln x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? ? 2a ? 1? , x1 ? x2 x1 ? x2

而f ?

'

2 ? x1 ? x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? ? 2a ? 1? ? k AB ,则整理可得 ?? ? 2 ? x1 ? x2

?x ? 2 ? 1 ? 1? x ln x1 ? ln x2 2 ? x2 ? ,令 x1 ? t (0 ? t ? 1) ,即 ? ,即有 ln 1 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ? ? 1? ? x2 ?

? t ? 1? ? 0 ,则函数 g t 在 0,1 4 4 ln t ? ? 2 ? 0 ,令 g ? t ? ? ln t ? ?2(0 ? t 1) ? ,则 g' ? t ? ? ?? ? ? 2 t ?1 t ?1 t ? t ? 1?
2

上单增,而 g ?1? ? 0 ,所以在 ? 0,1? 内, g ? t ? ? 0 ,即 ln t ? 在. 21.(12 分)

4 ? 2 ? 0 在 ? 0,1? 内无解,所以,不存 t ?1

x2 y2 ? ? 1 可得 解:(1)设直线 PQ 为 y ? k ? x ? 1? ,联立椭圆方程 4 3

? 3 ? 4k ? x
2

2

P ? x1 , k x1 ? k ? , Q ? x2 , k x2 ? k ? ,则有 ? 8k 2 x? 4 k2 ? 1 2?,设点 0
, 又

8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

uuu r uuu r PF2 ? QF2 , 可 得 PF2 ? QF2 ? 0 , 即 有

?k

2

? 1? ? 1 x ? ?2x ? ?

2

k1 ? ?

1

2 x2 x ? 1, k? 0 ? 7k 2 ? 9, k ? ? 整理可得

3 7 7

( 2 ) 记 PQ 的 中点 为 M , 要 使得 PQA 为 正三 角 形, 当且 仅当 点 A 在 PQ 的 垂 直平 分线 上且

MA ?

3 PQ , 现 作 MM1 ? l 于 M 1 , 则 2 PQ 2e ? PQ ,则有

3 PQ ? MM 1 , 根 据 第 二 定 义 可 得 2

MM 1 ?

3 ? 1 ,显然不成立,即不能存在. 2


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