山东省青岛市2015年高三统一质量检测数学理试题


青岛市高三统一质量检测数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试 科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 A. ? 1 ? i

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

2i 等于 1? i
C. 1 ? i D. 1 ? i

B. ? 1 ? i

2.设全集 I ? R ,集合 A ? {y | y ? log 2 x, x ? 2}, B ?{x | y ? x ?1} ,则 A. A ? B B. A

B?A

C. A

B??

D. A (?I B) ? ?
7 8 9 9 4 4 4 6 7 3 第 3 题图

3.在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所 剩数据的平均数和方差分别为 A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4

4.“ ?n ? N* ,2an?1 ? an ? an? 2 ”是“数列 {an } 为等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2
正视图

x
1
侧视图

1

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 ,则 正视图中的 x 的值是
俯视图

第 5 题图

高三数学(理科)试题 第 1 页(共 10 页)

A. 2

B.

9 2

C.

3 2

D. 3

6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,双曲线的一个 a2 b2

焦点在直线 l 上,则双曲线方程为 A.

x2 y2 ? ?1 20 5

B.

x2 y2 ? ?1 5 20

C.

3x 2 3 y 2 ? ?1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 ? ?1 100 25

7.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ? ?
x

B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

8.函数 y ? 4cos x ? e ( e 为自然对数的底数)的图象可能是

y

y

y

y

O

O

x

O

x
C

x

O

x
D

A

B

9.对于函数 y ? sin(2 x ? ) ,下列说法正确的是

?

6

A.函数图象关于点 ( ,0) 对称

?

3

B.函数图象关于直线 x ?

5? 对称 6

C.将它的图象向左平移

?
6

个单位,得到 y ? sin 2 x 的图象

D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的

1 ? 倍,得到 y ? sin( x ? ) 的图象 2 6

10.已知点 G 是 ?ABC 的外心,GA, GB, GC 是三个单位向量,且 2GA ? AB ? AC ? 0 ,如图所示,
?ABC 的顶点 B, C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动, O 是坐标原点,则 OA 的最

大值为 A. 2 C. 2 B. 3 D. 3

y

C

A

O
第 10 题图

B

x

高三数学(理科)试题 第 2 页(共 10 页)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f ( x) ? tan x ? sin x ? 2015 ,若 f (m) ? 2 , 则 f ( ? m) ? ; ;
i ? 11?
是 开始

i ? 12, s ? 1
否 输出 s 结束 第 12 题图

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

s ? s ?i
1 2 13.设 a ? ?1 (3x2 ? 2 x)dx ,则二项式 (ax2 ? )6 展开 x
式中的第 6 项的系数为 ;
i ? i ?1

?2 x ? y ? 1 ? 14.若目标函数 z ? kx ? 2 y 在约束条件 ? x ? y ? 2 下当且仅当在点 (1,1) 处取得最小值,则实数 k ?y ? x ? 2 ?
的取值范围是 ;

15.若 X 是一个集合,? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:① X 属于 ? ,空集 ? 属 于 ? ;② ? 中任意多个元素的并集属于 ? ;③ ? 中任意多个元素的交集属于 ? . 则称 ? 是集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X ? {a, b, c} ,对于下面给出的四个集合 ? : ① ? ? {?,{a},{c},{a, b, c}} ; ③ ? ? {?,{a},{a, b},{a, c}} ; ② ? ? {?,{b},{c},{b, c},{a, b, c}} ; ④ ? ? {?,{a, c},{b, c},{c},{a, b, c}} . .

其中是集合 X 上的一个拓扑的集合 ? 的所有序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ?

a?b a?c ,b ? 3 . ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

3 ,求 ?ABC 的面积. 3

(本小题满分 12 分) 17. 某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程学院、 海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 高三数学(理科)试题 第 3 页(共 10 页)

学院 人数

机械工程学院

海洋学院
6

医学院

经济学院
6

4

4

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概 率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ? ,求随机变量 ? 的概 率分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,侧棱 AA1 ? 底面
ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AD / / BC , ?BAD ? 90? ,

E1 B1

A1 C1

D1

AD ? AA1 ? 3 , BC ? 1 , E1 为 A1 B1 中点.
(Ⅰ)证明: B1 D / / 平面 AD1E1 ; (Ⅱ)若 AC ? BD ,求平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角) 的余弦值.

A B
C

D

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,且 a10 ? 19 , S10 ? 100 ;数列 {bn } 对任意

n ? N? ,总有 b1 ? b2 ? b3

bn?1 ? bn ? an ? 2 成立.

(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? ( ?1) n

4n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (2n ? 1) 2

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1 与 直 线 l : y ? k x ? m 相交于 E 、 F 两不同点,且直线 l 与圆 2

O : x2 ? y 2 ?

2 相切于点 W ( O 为坐标原点). 3
高三数学(理科)试题 第 4 页(共 10 页)

(Ⅰ)证明: OE ? OF ; (Ⅱ)设 ? ?

EW FW

,求实数 ? 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? kx ? 1 , g ( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) , h( x) ? f ( x) ? g ?( x) . 2

(Ⅰ)若函数 g ( x) 的图象在原点处的切线 l 与函数 f ( x) 的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 h( x) 在 [0, 2] 上单调递减,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)若对于 ?t ?[0, e ? 1] ,总存在 x1 , x2 ? (?1,4) ,且 x1 ? x2 满 f ( xi ) ? g (t ) (i ? 1,2) ,其中 e 为 自然对数的底数,求实数 k 的取值范围.

理科答案 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. DABCD ACABC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 4028 12. 132 13. ?24 14. (?4, 2) 15.②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) a?b a?c a ? b a? c 解: (Ⅰ) …………………………2 分 ? ? ? sin( A ? B ) sin A ? sin B c a? b

? a 2 ? b 2 ? ac ? c 2 ? cos B ?
B ? (0, ? ) ,? B ?

?
3

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ………………………………5 分 2ac 2ac 2
………………………………………………………6 分

a b 3 ? , ,得 a ? 2 ……………………………7 分 sin A sin B 3 6 由 a ? b 得 A ? B ,从而 cos A ? , …………………………………………9 分 3
(Ⅱ)由 b ? 3 , sin A ?

高三数学(理科)试题 第 5 页(共 10 页)

故 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 ?ABC 的面积为 S ?

3 ?3 2 6

…………………10 分

1 3 ?3 2 . ab sin C ? 2 2

……………………………12 分

17. (本小题满分 12 分)
3 解: (Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 C20 ,选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 方法数为 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6

……………………4 分 …………………6 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6 8 ? 3 C20 19 (Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2,3

所以 P ?

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

3 2 1 C16 C16 C4 8 ?15 ? 4 5 ? 7 ?16 28 8 ? ? , P ( ? ? 1) ? ? ? , 3 3 C20 3 ? 20 ?19 57 C20 3 ? 20 ?19 19 1 2 3 C16 C4 C4 16 ? 6 8 4 1 …………10 分 ? ? , P ( ? ? 3) ? ? ? 3 3 C20 3 ? 20 ?19 95 C20 3 ? 20 ?19 285

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E (? ) ?

0

1

2

3

28 57

8 19

8 95

1 285

28 8 8 1 57 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ……………………………………12 分 57 19 95 285 95

18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G , 因为 ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱, 所以四边形 ADD1 A1 为平行四边形, 所以 G 为 A1D 的中点, 又 E1 为 A1B1 中点,所以 E1G 为 ?A 1B 1D 的中位线, 从而 B1D / / E1G ……………………………………4 分 …………………………5 分 B 又因为 B1D ? 平面 AD1E1 , E1G ? 平面 AD1E1 , 所以 B1D / / 平面 AD1E1 .

B1

E1

z A1
C1
G

D1

A H

D

y

x

C

(Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABCD , AB ? 面 ABCD , AD ? 面 ABCD ,
0 所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AD, 又 ?BAD ? 90 ,所以 AB, AD, AA 1 两两垂直. ……………6 分

如图, 以 A 为坐标原点,AB, AD, AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设

AB ? t ,则 A? 0,0,0? , B ? t ,0,0 ? , C ? t ,1,0? , D ? 0,3,0? , C1 ?t,1,3? , D1 ? 0,3,3? .
高三数学(理科)试题 第 6 页(共 10 页)

从而 AC ? (t ,1,0) , BD ? (?t , 3,0) .
2 因为 AC ? BD ,所以 AC ? BD ? ?t ? 3 ? 0 ? 0 ,解得 t ? 3 .

……………………8 分

所以 AD1 ? (0,3,3) , AC ? ( 3,1,0) . 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ACD1 的一个法向量,则 ? 令 x1 ? 1 ,则 n1 ? (1, ? 3, 3) .

? ? AC ? n1 ? 0, ? ? AD1 ? n1 ? 0.

即?

? 3 x1 ? y1 ? 0 ? ? ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0

…………………………………………………………9 分

又 CC1 ? (0,0,3) , CD ? (? 3, 2,0) . 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 CDD1C1 的一个法向量,则 ? 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1,

? ?CC1 ? n2 ? 0, ?CD ? n2 ? 0. ?

即?

? ?

z2 ? 0

? ? ? 3 x2 ? 2 y2 ? 0

3 , 0) . 2

………………………………………………………10 分

3 ? (? 3) ? 3 ? 0 | 1 2 ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? 7 3 n1 ? n2 1? 3 ? 3 ? 1? ? 0 4 1 ? 平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值 . ……………………………12 分 7 n1 ? n2 |1?1 ?
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,

10 ? 9 ? d ? 100 2 解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 ………………………………………………………3 分
则 a10 ? a1 ? 9d ? 19, S10 ? 10a1 ? 所以 b1 ? b2 ? b3

bn?1 ? bn ? 2n ? 1 …… ① 当 n ?1 时, b1 ? 3 当n ? 2时, b1 ? b2 ? b3 bn?1 ? 2n ?1 ……②
①②两式相除得 bn ?

2n ? 1 (n ? 2) 2n ? 1

因为当 n ? 1 时, b1 ? 3 适合上式,所以 bn ? (Ⅱ)由已知 cn ? (?1) 得 cn ? (?1)
n n

4n ? bn , (2n ? 1) 2

2n ? 1 (n ? N ? ) ………………………………6 分 2n ? 1

4n 1 1 ? (?1)n ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 则 Tn ? c1 ? c2 ? c 3 ? ? cn 1 1 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? (?1) n ( ? ) ………………………7 分 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1
高三数学(理科)试题 第 7 页(共 10 页)

当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? ?1 ? ?? ………………………………………………………………9 分 2n ? 1 2n ? 1 当 n 为奇数时, 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? (? ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? ?1 ? ?? ……………………………………………………………11 分 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? , n为偶数 ? ? 2n ? 1 综上: Tn ? ? … ………………………………………………………12 分 ?? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ?
20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为直线 l 与圆 O 相切 所以圆 x ? y ?
2 2

m 2 2 2 2 2 的圆心到直线 l 的距离 d ? ,从而 m ? (1 ? k ) …2 分 ? 2 3 3 3 1? k

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 2 可得: (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ? 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 )
4km 2m 2 ? 2 x x ? , …………………………………………………4 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以 OE ? OF ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
则 x1 ? x2 ? ?

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? (1 ? k 2 )

2m 2 ? 2 ?4k 2 m 2 ? ? m2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

3m 2 ? 2k 2 ? 2 2(1 ? k 2 ) ? 2k 2 ? 2 ? ? ?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以 OE ? OF ………………………………………………………………………………6 分
(Ⅱ) 直线 l 与圆 O 相切于 W ,

x12 x2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 2 ? 1, 2 2

高三数学(理科)试题 第 8 页(共 10 页)

?? ?

EW ? FW

OE ? r OF ? r
2

2

2 2

?

2 3 ? 2 2 2 x2 ? y2 ? 3 x12 ? y12 ?

x12 1 ? 2 3 ………………………………8 分 2 x2 1 ? 2 3

由(Ⅰ)知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 2 ? x1 x2 ? ? y1 y2 ,即 x12 x2 ? y12 y2
2 x12 x2 4 ? 2 x12 2 从而 x x ? (1 ? )(1 ? ) ,即 x2 ? 2 2 2 ? 3x12 2 2 1 2

?? ?

x12 1 ? 2 2 3 ? 2 ? 3x1 2 4 x2 1 ? 2 3

……………………………………………………………12 分

因为 ? 2 ? x1 ? 2 ,所以 ? ? [ , 2]

1 2

………………………………………………13 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 原函数定义域为 (?1, ??) , g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ,则

g (0) ? 0 , g ?(0) ? 1 ,?l : y ? x ………………………………………………………2分 1 2 ? ? y ? x ? kx ? 1 ? x 2 ? 2(k ? 1) x ? 2 ? 0 由? 2 ? y?x ? l 与函数 f ( x) 的图象相切,

?? ? 4(k ?1)2 ? 8 ? 0 ? k ? 1 ? 2 ………………………………………………………4分 1 2 1 (Ⅱ)由题 h( x) ? x ? kx ? 1 ? ln( x ? 1) ? 1, h?( x ) ? x ? k ? 2 x ?1 1 令 ? ( x) ? x ? k ? , x ?1 1 x( x ? 2) ? ? 0 对 x ? [0, 2] 恒成立, 因为 ? ?( x) ? 1 ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 1 所以 ? ( x ) ? x ? k ? ,即 h?( x) 在 [0, 2] 上为增函数 ………………………………6分 x ?1 7 ? h?( x) max ? h?(2) ? k ? 3 h( x) 在 [0, 2] 上单调递减 7 ? h?( x) ? 0 对 x ? [0, 2] 恒成立,即 h?( x) max ? k ? ? 0 3 7 ?k ? ? …………………………………………………………………………………8分 3 (Ⅲ)当 x ?[0, e ?1] 时, g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0
高三数学(理科)试题 第 9 页(共 10 页)

? g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 在区间 [0, e ?1] 上为增函数, ? x ?[0, e ?1] 时, 1 0 ? g ( x) ? e …………………………………………………………………………10分 2 1 f ( x) ? x 2 ? kx ? 1的对称轴为: x ? ? k ,? 为满足题意,必须 ?1 ? ?k ? 4 ……11分 2 1 2 此时 f ( x) min ? f ( ? k ) ? 1 ? k , f ( x ) 的值恒小于 f (?1) 和 f (4) 中最大的一个 2 对于 ?t ?[0, e ?1] ,总存在 x1 , x2 ? (?1, 4) ,且 x1 ? x2 满足 f ( xi ) ? g (t ) (i ? 1, 2) ,
?[0, 1 e ] ? ( f ( x) min , min{ f ( ?1), f (4)}) 2 ? ?4 ? k ? 1 ? ?1 ? ? k ? 4 ? ? f ( x) ? 0 ? 1? 1 k 2 ? 0 min ? 2 ? ? ? ? ? 1 e ? f (4) ? ? 1 …………………………………………………13分 ?2 ? 2 e ? 4k ? 9 ?1 ? ? e ? f (?1) ? 1 e ? 3 ? k ?2 ? ?2 2 1 9 ? e ? ? k ? ? 2 ……………………………………………………………………14分 8 4

高三数学(理科)试题 第 10 页(共 10 页)


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