高考数学第一轮等比数列单元练习题2


高考数学第一轮等比数列单元练习题 2 高三数学单元练习题:等比数列(Ⅱ) 一、选择题 1.等差数列{an}前四项和为 40,末四项和为 72,所有项和为 140,则该数列共有( ) A.9 项 B.12 项 C.10 项 D.13 项 【答案】C 【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=72. ∴a1+an=
*

n( a1 ? a n ) 40 ? 72 =28. 又 =140,故 n=10. 4 2

2.给出下列等式: (ⅰ)an+1-an=p(p 为常数);(ⅱ)2an+1=an+an+2(n∈N );(ⅲ)an=kn+b(k,b 为常数)则无穷数列{an}为等差 数列的充要条件是( ) A.(ⅰ) B.(ⅰ) (ⅲ) C.(ⅰ) (ⅱ) D.(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 2 【答案】D 【解析】易知三个都是,另外还有一个常见的是{an}的前 n 项和 Sn=an +bn, (a,b 为常数). 3.等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项的和 S9 等于( ) A.66 B.99 C.144 D.297 【答案】B 【解析】a1+a4+a7=39 ? a4=13,a3+a6+a9=27 ? a6=9,S9=

9(a1 ? a9 ) 9(a 4 ? a6 ) ? =99. 2 2

4.等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,当首项 a1 和 d 变化时,a2+a8+a11 是一个定值,则下列各数中也为定值的是 A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 【答案】C 【解析】因 a2+a8+a11=3a7,故 a7 为定值.又 S13=

13(a1 ? a13 ) =13a7,∴选 C. 2
) D.-1 ∴

5.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{ A.0 【答案】B

1 }是等差数列,则 a11 等于( an ? 1 1 2 B. C. 2 3 1 1 1 【解析】∵ +(7-3)d, ∴d= . ? 24 a 7 ? 1 a3 ? 1

2 1 1 1 +(11-3)d= ,a11= . ? 3 2 a11 ? 1 a3 ? 1
)

6.已知数列{an}的通项为 an=26-2n,若要使此数列的前 n 项之和 Sn 最大,则 n 的值是( A.12 B.13 C.12 或 13 D.14 【答案】C 【解析】由 ?

?a n ? 0, 得 12≤n≤13, ?a n ?1 ? 0,

故 n=12 或 13. )

7.在等差数列{an}中, A.S1

a 21 <-1,若它的前 n 项和 Sn 有最大值,则下列各数中是 Sn 的最小正数值的是( a 20
B.S38 C.S39 D.S40

【答案】C 【解析】因 Sn 有最大值,故 d<0,又

a21 ? a20 <0. a20
S39=39a20>0,S39-S38=a39<0.

因 a21<a20,故 a20>0,a20+a21<0. ∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)<0. 又 S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)<0, 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖_____________块. 【答案】4n+2 【解析】每增加一块黑砖,则增加 4 块白砖,故白砖数构成首项为 6,公差为 4 的等差数列,故 an=6+4(n-1)=4n+2.

1 2 10 4x 9.设 f(x)= x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和方法,求 f( )+f( )+…+f( )的值为_________________. 11 11 11 4 ?2 x1 x2 x1 ? x2 4 4 2? 4 ? 2 ? (4 x1 ? 4 x2 ) 【答案】5 【解析】当 x1+x2=1 时,f(x1)+f(x2)= x =1. ? ? 4 1 ? 2 4 x2 ? 2 4 x1 ? x2 ? (4 x1 ? 4 x2 ) ? 2 ? 4 1 2 1 2 9 1 10 10 10 设 S=f( )+f( )+…+f( ),倒序相加有 2S=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+…+[f( )+f( )]=10. 11 11 11 11 11 11 11 11 11
即 S=5.

10.数列 1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式 an=__________________. 【答案】

n(n 2 ? 1) 2

an= S n ( n ?1) ? S n ( n ?1)
2 2

n( n ? 1) n( n ? 1) 个自然数,设 Sn=1+2+3+…+n= ,则 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) ?[ ? 1] [ ? 1] n(n 2 ? 1) 2 2 2 2 ? ? ? . 2 2 2
【解析】前 n 项一共有 1+2+3+…+n=

三、解答题 11.{an}是等差数列,公差 d>0,Sn 是{an}的前 n 项和,已知 a2a3=40,S4=26. (1)求数列{an}的通项公式 an;(2)令 bn= 【解析】 (1)S4=

1 ,求数列{bn}的所有项之和 T. a n a n ?1

4 (a1+a4)=2(a2+a3)=26. 又∵a2a3=40,d>0,∴a2=5,a3=8,d=3.∴an=a2+(n-2)d=3n-1. 2 1 1 1 1 1 (2)bn= = ? ( ? ) a n a n ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ]? ( ? )? Tn= [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? . 3 2 5 5 8 3(n ? 1) 3n ? 2 3 2 3n ? 2 2(3n ? 2)
12.已知 f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7, (1)设 f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列; (2)设 f(x)的图象的顶点到 x 轴的距离构成{bn},求{bn}的前 n 项和. 2 (1)证明:f(x)=[x-(n+1) ]+3n-8, ∴an=3n-8.∵an-1-an=3, ∴{an}为等差数列. (2)【解析】bn=|3n-8|, 当 1≤n≤2 时,bn=8-3n,b1=5. 当 n≥3 时,bn=3n-8.
2 2

n(5 ? 8 ? 3n) 13n ? 3n 2 ? Sn= ; 2 2 (n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n 2 ? 13n ? 28 Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)=7+ = . 2 2

? 13n 2 ? 3n 2 (1 ? n ? 2), ? ? 2 ∴Sn= ? 2 ? 3n ? 13n ? 28 (n ? 3). ? 2 ?
13.假设你在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末加 1 000 元; (Ⅱ)每半年结束时加 300 元.请你选择. (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元?(2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? 【解析】设方案一第 n 年年末加薪 an,因为每年末加薪 1 000 元,则 an=1 000n;设方案二第 n 个半年加薪 bn,因为每 半年加薪 300 元,则 bn=300n. (1)在该公司干 10 年(20 个半年) ,方案(Ⅰ)共加薪 S10=a1+a2+…+a10=55 000(元). 方案(Ⅱ)共加薪 T20=b1+b2+…+b20=20×300+

20 ? ( 20 ? 1) ×300=63 000 元. 2
T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+

(2)设在该公司干 n 年,两种方案共加薪分别为: Sn=a1+a2+…+an=1 000×n+
2

n( n ? 1) 2 ×1 000=500n +500n, 2
2

2n ? (2n ? 1) 2 ×300=600n +300n; 2

令 T2n≥Sn 即 600n +300n>500n +500n,解得,n≥2,当 n=2 时等号成立. ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年,当然选择第一方案. 14.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,且对于所有的正整数 n,有 an=2 2S n -2. (1)写出数列{an}的三项;(2)求数列{an}的通项公式,并写出推证过程;(3)令 bn= 【解析】(1)由题意,当 n=1 时,有 a1=2 2S1 -2,S1=a1, ∴a1=2 2a1 -2,解得 a1=2. 当 n=2 时,有 a2=2 2S 2 -2,S2=a1+a2, 将 a1=2 代入,整理得(a2-2) =16,
2

4 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a n ? a n ?1

由 a2>0,解得 a2=6. 当 n=3 时,有 a3=2 2S 3 -2,S3=a1+a2+a3, 将 a1=2,a2=6 代入,整理得(a3-2) =64, 由 a3>0,解得 a3=10. 所以该数列的前三项分别为 2,6,10. (2)由 an=2 2S n -2(n∈N ),整理得 Sn=
* 2

1 2 (an+2) , 8

1 2 (an+1+2) , 8 1 2 2 ∴an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2) -(an+2) ]. 8
则 Sn+1= 整理,得(an+1+an)(an+1-an-4)=0, 由题意知 an+1+an≠0,∴an+1-an=4. ∴即数列{an}为等差数列,其中首项 a1=2,公差 d=4, ∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1). * 即通项公式为 an=4n-2(n∈N ).

4 1 1 ? ? , (4n ? 2)(4n ? 2) 4n ? 2 4n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )? ? ? Tn=b1+b2+…+bn= ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( . 2 6 6 10 4n ? 2 4n ? 2 2 4n ? 2 2n ? 1
(3)bn=


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