2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学(文)试卷


2013-2014 学年度第一学期期中考试高三数学(文)试卷
考试时间:120 分钟;

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.在复平面内,复数 A.(0,-1)

1 ? 2i 对应的点的坐标为( 2?i 4 3 B.(0,1) C. ( , ? ) 5 5

) D. ( , ) ( )

4 3 5 5

2. f : x ? log 2 x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射, A ? ?1,2,4? , A ? B 等于 设 若 则 A. ?1? B. ?2? C. ?1, 2? D. ?1, 4?

3.已知 a ? 0.20.3 , b ? log 0.2 3 , c ? log 0.2 4 ,则( ) A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a )

4. ?ABC 中, sin ? A ? B ? cos B ? cos ? A ? B ? sin B ? 1 ” “ ?ABC 是直角三角形” ( 在 “ 是 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b 5. 已知向量 a 、 满足 a ? 1 ,a ? b ? 7 , a, b ?
A. 2 6.设首项为 1 ,公比为 (A) Sn ? 2an ? 1 (C) Sn ? 4 ? 3an B. 3

? ?

?

? ?

? ?

?
3

, b 等于 则 D. 4 )

?





C. 3

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则( 3
(B) Sn ? 3an ? 2 开始 k=1

(D) Sn ? 3 ? 2an

7.如果执行右边的程序框图,那么输出的 S? ( ) A. 2450 B. 2500 C. 2550 D. 2652 8.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f ?( x ) > f(x) ,则 (
2

S ?0
k ≤ 50?



? 是
S ? S ? 2k



输出 S 结束
2 = e f(0)

A.f(2)< e f(0) B.f(2)≤ e f(0)
2

k ? k ?1

C.f(2)

试 第 , 6页 卷 1页 总

D.f(2)> e2 f(0) 9.已知 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是 A.2 3 B.6 C.2 ( ) D.2 2

10.已知



上的增函数,那么实数 a 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.已知函数 f ? x ? ? 2 ? 1 的图象与直线
x

y ? a 有两个公共点,则 a 的取值范围是____.


12. S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若

S2n a2 n 4n ? 1 ? ,则 = Sn an 2n ? 1

x?0 ? ? 13.已知 ? x ? 3 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是________. ?2 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
14.已知 a, b??1,2,3,4,5,6,7,8,9? , u ? loga b ,则 u 的不同取值个数为_________. 15. 以下四个命题: ①在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b sin A ? a cos B , B ? 则
? ? ? ?

?
4



②设 a, b 是两个非零向量且 a? b ? a b ,则存在实数λ ,使得 b ? ? a ;③方程 sin x ? x ? 0 在实
3 3 数范围内的解有且仅有一个;④ a, b ? R 且 a ? 3b ? b ? 3a ,则 a ? b ;其中正确的是

试 第 , 6页 卷 2页 总

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程集中学 2013-2014 学年度第一学期期中考试

高三数学(文)答题卷
请将选择题答案填入下表中: 题号 答案 二.填空题 11._____________ 12.____________ 13.____________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

考号___________________ 姓名______________

14.____________ 15.____________ 三、解答题(12+12+12+12+13+14)

、 16 . 已 知 ?ABC 三 个 内 角 A、 B C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? ( c o s

??

?? ? ? C C ? n ? (cos , ? sin ) ,且 m 与 n 的夹角为 .(1)求角 C 的值; (2)已知 c ? 3 , ?ABC 的面积 2 2 3 4 3 ,求 a ? b 的值. S? 3

C 2

C , s i n ,) 2

班级__________

17.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的图象过点(0,

2? ,且最小值为-1. 3 (1)求函数 f ( x ) 的解析式.
期为 (2)若 x ? [

1 ) ,最小正周 2

?
6

, m] , f ( x) 的值域是 [?1, ?

3 ] ,求 m 的取值范围. 2

试 第 , 6页 卷 3页 总

18.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众 进行调查,其中女性有 55 名。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分 布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ,已知“体育迷”中 有 10 名女性。 非体育迷 体育迷 合计 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资 料判断你是否有 95%以上的把握认为“体育迷”与性别 男 女 有关? (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称 合计 为“超级体育迷” ,已知“超级体育迷”中有 2 名女性, 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率。

试 第 , 6页 卷 4页 总

19.设函数 f ? x ? ? e ? ax ? a .
x

(1)若 a ? 0 , f ? x ? ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值;

a ,且 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ? x1 ? x2 ? 是曲线 y ? g ? x ? 上任意两点,若 ex 对任意 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围.
(2)设 g ? x ? ? f ?x ? ?

20. Sn 表示等差数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 S4 ? S9 , a1 ? ?12 (1)求数列的通项 an 及 Sn ; (2)求和 Tn ? a1 ? a2 ? ?? ? an

试 第 , 6页 卷 5页 总

21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln x(a ? R) . (1)若 f ( x ) 的极小值为 1,求 a 的值. (2)若对任意 x ? (0,1] ,都有 f ( x) ? 1 成立,求 a 的取值范围.

试 第 , 6页 卷 6页 总

高三数学(文)参考答案 题号 答案 1 A 2 C 12.4 3 A 13.2 4 A 5 A 14.54 6 D 7 C 8 D 9 B 10 C

11. a ? (0,1) 16.(1) C ?

15.①②③④

?
3

; (2) a ? b ? 5 .

试题解析:(1)∵ m ? n ?| m || n | cos ∴ cos

?? ?

?? ?

?
3

, | m |?| n |? 1 .

??

?

C C C C C cos ? sin ( ? sin ) ? cos , 2 2 2 2 2

即 cos C ? cos

?

3



又∵ C ? (0, ? ) ,∴ C ?

?
3

.(6 分)

(2)由 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 a 2 ? b2 ? ab ? 9 , ① 由 S?ABC ?

16 1 4 3 ,得 ab ? ,② ab sin C ? 3 2 3

由①②得 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 9 ? 3ab ? 25 ,∵ a, b ? R ? , ∴ a ? b ? 5 .(12 分) 考点:1.向量的数量积;2.余弦定理;3.三角形的面积公式;4.两角和与差的余弦定理. 17. (1) f ( x) ? cos(3 x ?

?
3

); (2) m ? [

试题解析: (1)由函数的最小值为-1,可得 A=1,因为最小正周期为

2? ,所以 ? =3.可得 3 1 1 ? ) ,所以 cos ? ? ,而 0 ? ? ? ,所以 f ( x) ? cos(3x ? ? ),又因为函数的图象过点(0, 2 2 2

2? 5? , ] 9 18

??

?

3

,故 f ( x) ? cos(3 x ?

?

3

).

] 可知 (2) x ? [ , m , 由 6

?

5? ? ? ? 5? 3 ? 3 x ? ? 3m ? ,因为 f ( ) ? cos , cos ? =-1, 且 ?? 6 3 3 6 6 2

cos

? 7? 2? 5? 2? 5? 7? 3 ?m? , ]. , 由余弦曲线的性质的,? ? 3m ? ? , 得 , m ?[ 即 ?? 3 6 9 18 9 18 6 2

考点: (1)余弦函数的性质和图象; (2)余弦函数性质的应用. 18. (Ⅰ) 2 ? 2 列联表如下:
答 第 , 4页 案 1页 总

非体育迷 男 女 合计 30 45 75

体育迷 15 10 25

合计 45 55 100

没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关; (Ⅱ) P ? A ? ?

7 . 10

试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而完成 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100
2

100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15? 100 将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得 k ? ? ? 3.030 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
因为 3.030 ? 3.841 ,所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关。 (Ⅱ)由频率分布直方图知“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 其中 ? ? ?? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a2 , a3 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ?b1, b2 ??,

ai 表示男性, i ? 1, 2,3 , b j 表示女性 j ? 1, 2 。 ? 由这 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的
出现是等可能的。 用 A 表 示 “ 任 取 2 人 中 , 至 少 有 1 人 是 女 性 ” 这 一 事 件 , 则 事件 A 由 7 个基本事件组成,

A ? ?? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ?b1, b2 ??
因而 P ? A ? ?

7 。 10

考点:本小题考查频率分布直方图,独立检验,古典概型的概率求法,考查学生的数据处理能力, 以及学生的分析问题、解决问题的能力. 19. (1) a 的最大值为 1 ; (2)实数 m 的取值范围是 ? ??,3? .
x 试题解析: 1) a ? 0 时, ( 当 不等式 f ? x ? ? e ? ax ? a ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 则有 f ? x ?min ? 0 ,

f ? ? x ? ? ex ? a ,令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ln a ,列表如下:

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,ln a ?
?

答 第 , 4页 案 2页 总

ln a
0
极小值

? ln a, ???
?


故函数 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,亦即最小值,即

f ? x ?min ? f ? ln a ? ? a ? a ln a ? a ? ?a ln a ? 0 ,
则有 ln a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,即 a 的最大值是 1 ; (2)由题意知

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? m ,不妨设 x1 ? x2 , x1 ? x2

则有 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? mx1 ? mx2 ,即 g ? x1 ? ? mx1 ? g ? x2 ? ? mx2 , 令 ? ? x ? ? g ? x ? ? mx ,则 ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ,这说明函数 ? ? x ? 在 R 上单调递增,
x 且? ? x? ? f ? x? ? e ? x 则有 m ? e ?

a a ? ax ? a ? mx ,所以 ? ? ? x ? ? e x ? x ? a ? m ? 0 在 R 上恒成立, x e e

a ? a 在在 R 上恒成立, ex

当 a ? ?1 时, e x ?

a ? a? ? a ? 2 e x ? ? ? x ? ? a ? 2 ?a ? a ? 2 ? 1 ? 3 ,则有 m ? 3 , x e ? e ?

即实数 m 的取值范围是 ? ??,3? . 考点:1.不等式恒成立;2.基本不等式 20.(1) an ? 2n ?14, Sn ? n2 ?13n ;(2) Tn ? ?

?13n ? n 2 , n ? 7 ? 2 ?n ? 13n ? 84, n ? 8 ?
3分

试题解析: (1) Q S4 ? S9 , a1 ? ?12,? 4 ? (?12) ? 6d ? 9 ? (?12) ? 36d ? d ? 2

?an ? ?12 ? 2(n ?1) ? 2n ?14, Sn ? ?12n ? n(n ?1) ? n2 ?13n
(2)令 an ? 2n ?14 ? 0 ,得 n ? 7 当 n ? 7 时, Tn ? ?(a1 ? a2 ? 当 n ? 8 时 an ? 0

7分

?an ) ? ?Sn ? 13n ? n2

10 分

Tn ? ?(a1 ? a2 ? ?a7 ) ? (a8 ? ?an ) ? Sn ? 2S7 ? n2 ?13n ? 84
考点:1 数列的通项;2 数列的求和 21. (1) a ?

14 分

1 2 1 e (2) a ? [ e 2 , ??) 3 3
2

2 试题解析: (1)因为 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) ,所以 f ?( x) ? 2ax ?

1 2ax3 ? 1 ? ,x ?0 x x

答 第 , 4页 案 3页 总

2ax3 ? 1 ? 0 ,所以 f ( x) 在定义域(0,+∞上单调递减,不存在极小值; x 3 3 1 1 2ax3 ? 1 ? 0 ,可得 x ? 当 a>0 时,令 f ?( x) ? ,当 x ? (0, ) 时,有 f ?( x) ? 0 , f ( x) x 3a 3a
当 a≤0 时, f ?( x) ?
3

单调递减;当 x ? (
3

1 , ??) 时,由 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 3a
3

1 1 1 1 ) ? ? ln(3a) ? 1 ,解 所以 x ? 是函数 f ( x ) 的极小值点,故函数 f ( x ) 的极小值为 f ( 3a 3 3 3a 1 2 得a ? e . 3 (2)由(1)可知,当 a≤0 时, f ( x ) 在定义域(0,+∞上单调递减,且 f ( x ) 在 x=0 附近趋于正
无穷大,而 f (1) ? a ? 0 ,由零点存在定理可知函数 f ( x ) 在(0,1]内存在一个零点, f ( x) ? 1不 恒成立; 当 a>0 时,若 f ( x) ? 1恒成立,则 f (1) ? 1 ,即 a≥1, 结合(1)a≥1 时,函数 f ( x ) 在(0,1]内先减后增,要使 f ( x) ? 1恒成立,则 f ( x ) 的极小值大

a?0 ? ? a?0 1 3 ? 3 ? 于或等于 1 成立,所以 ? 即? 1 3 ,可得 a ? e ,综上可得 1 1 1 3 ) ? ? ln(3a) ? 1 ?a ? 3 e ?f( ? 3a 3 3 ? 1 a ? [ e 2 , ??) . 3
考点:1.求函数的导数和利用导数求函数的单调性; (2)利用导数由不等式恒成立问题求出参数.

答 第 , 4页 案 4页 总


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