2014届高三数学一轮复习专讲专练:4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.(2012· 浙江)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平 移 1 个单位长度, 得 到的图像是( )

A.

B.

C.

D. 解析:把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来
?1 ? 的 2 倍(纵坐标不变),可得函数 y=cos2?2x?+1=cosx+1 的图像;然 ? ?

后向左平移 1 个单位长度得到函数 y=cos(x+1)+1 的图像;再向下 平移 1 个单位长度得到函数 y=cos(x+1)+1-1=cos(x+1)的图像; 结合各选项中的图像可知其图像为选项 A 中的图像,故应选 A. 答案:A π? ? 2.(2013· 信阳调研)先将函数 f(x)=2sin?2x-6?的周期变为原来的
? ?

π 2 倍,再将所得函数的图像向右平移6个单位,则所得函数图像的解 析式为( ) π? ? B.f(x)=2sin?x-3?
? ? ?

A.f(x)=2sinx C.f(x)=2sin4x
? ?

π? ? D.f (x)=2sin?4x-3?
?

π? ? 解析:f(x)=2sin ?2x-6? 的周期变为原来的 2 倍,得到 f(x)= π? π? ? ? π 2sin?x-6?,再向右平移6个单位,得到 f(x)=2sin?x-3?.
? ? ? ?

答案:B π? ? 3.(2013· 潍坊三县检测)已知简谐振动 f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|<2?
? ?

3 的振幅为 2 ,图像上相邻最高点与最低点之间的距离为 5,且过点 3? ? ?0, ?,则该简谐振动的频率与初相分别为( 4? ? 1 π A.6,6 π π C.4,6 1 π B.8,6 1 π D.6,3 )

3 解析:由题意知 A=2,∵图像上相邻最高点与最低点之间的距 离为 5, ∴ 3? ?T?2 ? 1 π ? ? +32=5, 解得 T=8, ∴f=8, 4, ω= 由图像过点?0,4? ?2 ? ? ?

π π 且|φ|<2,得 φ=6,故选 B. 答案:B 4.(2013· 蚌埠质检)以下关于函数 f(x)=sin2x-cos2x 的命题,正 确的是( )
? ?

2 ? ? A.函数 f(x)在区间?0,3π?上单调递增 π B.直线 x=8是函数 y=f(x)图像的一条对称轴
?π ? C.点?4,0?是函数 y=f(x)图像的一个对称中心 ? ?

π D.将函数 y=f(x)的图像向左平移8个单位,可得到 y= 2sin2x 的图像 π? ? 解析:f(x)=sin2x-cos2x= 2sin?2x-4?,将 f(x)的图像向左平移
? ?

π 8个单位为 y= 2sin2x,故选 D. 答案:D

π? ? 5.(2013· 眉山诊断)若把函数 y=2cos?x+3?+1 的图像向右平移
? ? ?π ? m(m>0)个单位长度,使点?3,1? 为其对称中心,则 m 的最小值是 ? ?

(

) π A.2 π B.6
? ?

π C.3

D.π

π? ? 解析:y=2cos?x+3?+1 的图像向右平移 m(m>0)个单位长度得 π ? ? ?π ? π π 到 y=2cos?x+3-m?+1,∵?3,1?为其对称中心,∴3+3-m=kπ+
? ? ? ?

π π ,k∈Z,∴m 的最小值是6. 2 答案:B 6.(2013· 西工大附中训练)如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图 像,则只需将 f(x)的图像( )

[

π A.向右平移6个长度单位 π B.向右平移3个长度单位 π C.向左平移6个长度单位 π D.向左平移3个长度单位 T 7π π π 2π 解析:由图像可知 A=1,又4=12-3=4,∴T=π,从而 ω= T

?7π ? ?7π ? =2,将?12,-1?代入 f(x)=sin(2x+φ)中,得 sin? 6 +φ?=-1,又|φ| ? ? ? ?

π π <2,得 φ=3, π? ? ∴f(x)=sin?2x+3?.
? ?

π 将 f(x)图像右移6个长度单位即可得到 g(x)=sin2x 的图像. 答案:A 二、填空题 π 7.若将函数 y=2sin(3x+φ)的图像向右平移4个单位后得到的图
?π ? 像关于点?3,0?对称,则|φ|的最小值是______. ? ?

π 解析:将函数 y=2sin(3x+φ)的图像向右平移 4 个单位后得到 π? 3π ? ? ? ? ? 2sin?3?x-4?+φ?=2sin?3x- 4 +φ?的图像.
? ? ? ? ? ? ?π ? 因为该函数的图像关于点?3,0?对称, ? ?

π 3π ? ? ?π ? 所以 2sin?3×3- 4 +φ?=2sin?4+φ?=0,
? ? ? ?

π 故有4+φ=kπ(k∈Z). π π 解得 φ=kπ-4(k∈Z).当 k=0 时,|φ|取得最小值4. π 答案:4 8.(2013· 广东六校联考)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω> π 0,0<φ<π)在 x=6取得最大值 2,且函数 f(x)的最小正周期为 2π.现将

1 函数 y=f(x)图像上各点的横坐标缩小为原来的2,纵坐标不变,再把 π 函数图像向右平移 3 个单位,得到函数 y=g(x)的图像,则 g(x)= __________. 2π 解析:由函数 f(x)的最小正周期为 2π 且 ω>0,可得 2π= ω ,∴ π ω=1.又函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在 x=6取得最
?π ? 大值 2,则 A=2,且 sin?6+φ?=1, ? ?

π π π ∴6+φ=2+2kπ,k∈Z,∴φ=3+2kπ,k∈Z, π? ? π ∴φ=3.故 f(x)=2sin?x+3?. ? ? 1 将函数 y=f(x)图像上各点的横坐标缩小为原来的2, 纵坐标不变, π? π? ? ? 得到函数的解析式为 y=2sin?2x+3?, 又把函数 y=2sin?2x+3?的图像
? ? ? ?

π? π? ? ? π? ? π 向右平移3个单位,得到 g(x)=2sin?2?x-3?+3?,∴g(x)=2sin?2x-3?. ? ? ? ? ? ? π? ? 答案:2sin?2x-3?
? ? ? ?

π? ? 9.(2013· 合肥八中质检)将函数 f(x)=2sin?2x+4?的图像向右平移 1 φ(φ>0)个单位,再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的2倍,所得 π 图像关于直线 x=4对称,则 φ 的最小正值为________. π? ? 解析: 函数 f(x)=2sin?2x+4?的图像向右平移 φ(φ>0)个单位后变
? ?

π ? ? 1 为 f(x)=2sin?2x+4-2φ?, 再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的2
? ?

π ? ? π π 倍后, 得到 f(x)=2sin?4x+4-2φ?, 其图像关于直线 x=4对称, 4×4 则
? ?

π π 3π kπ +4-2φ=kπ+2(k∈Z),∴φ= 8 - 2 (k∈Z),当 k=0 时,φ 的最小 3 正值为8π. 3 答案:8π 三、解答题 π? ? 10. (2013· 邹城二中期中)已知函数 f(x)=2cosx· ?x-6?- 3sin2x cos
? ?

+sinxcosx. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)把 f(x)的图像向右平移 m 个单位后,在?0,2?上是增函数,当
? ?

|m|最小时,求 m 的值. π? ? 解析:(1)f(x)=2cosxcos?x-6?- 3sin2x+sinxcosx
? ?

π π? ? =2cosx?cosxcos6+sinxsin6?- 3sin2x+sinxcosx
? ?

= 3cos2x+sinxcosx- 3sin2x+sinxcosx = 3(cos2x-sin2x)+2sinxcosx π? ? = 3cos2x+sin2x=2sin?2x+3?.
? ?

2π ∴T= 2 =π. (2)令 f(x)的图像向右平移 m 个单位后的函数为 g(x),则 g(x)= π? ? π π π 2sin?2x-2m+3?,令-2+2kπ≤2x-2m+3≤2+2kπ(k∈Z),
? ?

5π π 解得-12+m+kπ≤x≤12+m+kπ,k∈Z.

π ? 5π ? ∴单调递增区间为?-12+m+kπ,12+m+kπ?,k∈Z,
? ?

5π 5π 周期为 π,则-12+m+kπ=0,∴m=12-kπ,k∈Z, 5π 当|m|最小时,m=12. A ? ? 11.(2012· 山东)已知向量 m=(sinx,1),n=? 3Acosx, 2 cos2x?(A ? ? >0),函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图像向左平移12个单位,再将所得图像上各 1 点的横坐标缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图 5π? ? 像.求 g(x)在?0,24?上的值域.
? ?

A 解析:(1)f(x)=m· n= 3Asinxcosx+ 2 cos2x =A?
? 3 ? 1 sin2x+2cos2x? ? 2 ? ? ?

π? ? =Asin?2x+6?. 因为 A>0,由题意知 A=6. π? ? (2)由(1)知 f(x)=6sin?2x+6?.
? ?

π 将函数 y=f(x)的图像向左平移12个单位后得到 π ? π? ? ? π? ? y=6sin?2?x+12?+6?=6sin?2x+3?的图像;
? ? ? ? ? ?

1 再将得到的图像上各点横坐标缩短为原来的2,纵坐标不变,得

π? ? 到 y=6sin?4x+3?的图像.
? ?

π? ? 因此 g(x)=6sin?4x+3?.
? ? ?

5π? ? 因为 x∈?0,24?,
?

5π? ? π ?π 7π? 所以 4x+3∈?3, 6 ?.故 g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6].
? ? ? ?

12.(2013· 西安调研)已知平面向量 a=(cosθ,sinθ),b=(cosx, sinx),c=(sinθ,-cosθ),其中 0<θ<π,且函数 f(x)=(a· b)cosx+
?π ? (b· c)sinx 的图像过点?6,1?. ? ?

(1)求 θ 的值; (2)将函数 y=f(x)图像上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标 π? ? 不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在?0,2?上的最大值
? ?

和最小值. 解析:(1)a· b=cosθcosx+sinθsinx=cos(θ-x), b· c=cosxsinθ-sinxcosθ=sin(θ-x), ∴f(x)=(a· b)cosx+(b· c)sinx =cos(θ-x)cosx+sin(θ-x)sinx =cos(θ-x-x) =cos(2x-θ),
?π? ?π ? π ∴f?6?=cos?3-θ?=1,而 0<θ<π,∴θ=3. ? ? ? ?

π? ? (2)由(1)得,f(x)=cos?2x-3?,
? ?

1 π? ? ∴g(x)=cos?2×2x-3?,
? ?

π? ? 即 g(x)=cos?x-3?.
? ?

π? ? π π π 当 x∈?0,2?时,-3≤x-3≤6,
? ?

π? ? 1 ∴2≤cos?x-3?≤1,
? ?

1 ∴当 x=0 时,g(x)取得最小值2, π 当 x=3时,g(x)取得最大值 1.


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