3.1.1函数的平均变化率


3.1.1函数的平均变化率 【学习目标】
1.通过实例,领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程. 2.了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数. 3.体会导数的思想及其内涵,并能运用.

【自主学习】
1.平均变化率的概念是什么? 2.Δ x,Δ y的值一定是正值吗?平均变化率一定为正值吗? 3.函数在某点处附近的平均变化率是什么? 4.观察函数 f(x)的图象,平均变化率

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1

5.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么?

6.“Δ x→0”的意义是什么?函数 f(x)在 x0 处的附近的平均变化率与 Δ x 有关 吗?

【自主检测】
1.函数 y=f(x)的自变量 x 由 x0 改变到 x0+Δx 时,函数值的改变量 Δy 为( A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx C.f(x0)· Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
2

)

2.已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则

?y ? ?x



【典型例题】
例1 已知函数 f(x)=2x2+3x-5. (1)求当 x1=4,且 Δ x=1 时,函数增量 Δ y 和平均变化率 Δy ; Δx Δy ; Δx

(2)求当 x1=4,且 Δ x=0.1 时,函数增量 Δ y 和平均变化率

例 2.求函数 f(x)= ? x ? x 图象上从点 A(1, 2) 到点 B(1 ? ?x ,2 ? ?y) 的平均变化率.
3

【课堂检测】
1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2

A.3

B.6

C.9

D.12



) ; f ( x) 在

2. 已知函数 f ( x) ? x2 , 分别计算 f ( x ) 在[1, 3]区间上的平均变化率 [1,2]区间上的平均变化率
2

. .

3.物体按照 s(t)=3t +t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率

4.已知函数 f(x)=2x+1,g(x)= -2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f(x)及 g (x)的平均变化率.

【总结提升】
定义中的 x1,x2 是指其定义域内不同的两个数,记 Δ x=x2-x1,Δ y=f(x2)- f(x1),则当 Δ x≠0 时,
2

- x2-x1

1



Δy 称作函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平 Δx

均变化率,理解平均变化率应注意以下几点: (1)函数 f(x)在 x1,x2 处有定义; (2)x2 是 x1 附近的任意一点,即 Δ x=x2-x1≠0,但 Δ x 可正可负; (3)注意变量的对应,若 Δ x=x2-x1,则 Δ y=f(x2)-f(x1),而不是 Δ y=f(x1) -f(x2);
(4)平均变化率可正可负,也可为零.


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