★高考圆锥曲线(减少计算量的◆硬解定理◆)


硬解定理的使用
1、 本质:硬解定理即圆锥曲线联立方程之后,得到的通解。 注意事项:利用 A、B、a、b 联立后按照固定格式消元的方程,尽量不要化简。因为硬 解定理得到的联立方程是固定的,如果化简(如同等号两边除以2)。 2、 好处:有时候时间不够,可以直接算出|x1-x2|之类的数据。 计算速度慢,计算容易出错的同学可以尝试这个方法。 【使用方法(百度文库版)】
2 2 3、若曲线 x 2 ? y 2 ? 1 与直线 Aχ +By+C=0相交于 E、F 两点,则: a b

(1)其中

;
2

?'为一与?同号的值. 代入. 代入,同时 不应为零,即 ε 不

2 (2)应用该定理于椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 时,应将 a b

(3)应用于双曲线 为零.

x2 y2 ? ? 1 时,应将 a 2 b2

(4)求解 y1+y2与 y1*y2只须将 A 与 B 的值互换且 m 与 n 的值互换.可知 ε 与?'的值不会因 此而改变. 【个人方法(以及推导)】
2 2 3、对于一个常见方程联立,如椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 与直线方程 Ax ? Bx ? C ? 0 ,常有以下过程: a b

令 y??

A C x ? ? kx ? m B B

? x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 ?1 ? ?( a k ? b ) x ? 2a kmx ? (a m ? a b ) ? 0 ?? b ?a 2 ? ?视作a ' x ? b ' x ? c ' ? 0 ? y ? kx ? m ? ? ? =(b ') 2 ? 4a ' c ' ? 4a 4k 2m 2 ? 4( a 2m 2 ? a 2b 2 )( a 2k 2 ? b 2 ) ? 4[a 4k 2m 2 ? a 4k 2m 2 ? a 2b2m ? a 4b 2k 2 ? a 2b 4 ] A2 2 C2 2 ? 4a b [ k a ? b ? m ] ? 4a b [ 2 a ? b ? 2 ] B B 1 ? 4a 2b2 [ A2a 2 ? B 2b2 ? C 2 ] ? 2 (一般而言系数B一般为1,所以视为? =4a 2b2 [ A2a 2 ? B 2b2 ? C 2 ]) B (一般即把式子化成消元式,? =4a 2b2 [k 2a 2 ? b 2 ? m 2 ])
2 2 2 2 2 2 2 2

?b '? (b ') 2 ? 4a ' c ' ?b '? (b ') 2 ? 4a ' c ' 4a 2b2 [ A2a 2 ? B 2b2 ? C 2 ] 1 ? ? | x1 ? x2 |?| ? |? ? ? ? 2a ' 2a ' a ' a 2k 2 ? b2 A2 a 2 ? B 2b2 B |y1 ? y2 |? k ? | x1 ? x2 | ∴截弦长|AB | = k 2 ? 1? | x1 ? x2 | = k2 ?1? ? = a 2k 2 ? b2 A2 1 ? 1 ? 4a 2b 2 [k 2 a 2 ? b 2 ? m 2 ] ? 2 2 B B 2 A a 2 2 ? b2 B A2 ? B 2 ? ? '' a ''

=

A2 ? B 2 ? 4a 2b2 [ A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 ] ? A2a 2 ? B 2b2

有时候由于同除公因数等原因,算出的a ' ? a '',? ' ? ? '' 若要算弦长,分母分子要么全部将A、a、 B、b老实代入公式,要么老实用算得的结果进行计算。

【使用小结】1、如果是“求截弦长”问题,直接利用公式即可。(但是联立方程,列出两个 和两根乘积的过程是算分的,所以可以计算靠公式,得基本分则靠老实联立) 2、其他统一化成 y ? kx ? m 或者 x ? mx ? n 的形式。如果题目给的是 4 y ? 3x ? m ,则要 转化成 y ?

3 m 1 x ? 的形式。这样虽然不够“系数全为整数”直观,但是避免了“ ”带 4 4 B
2 2 2 2 2 2 2 2

来的干扰。如果觉得容易出错的话,直接全部题型都按照 2 进行计算即可。 3、对于双曲线,把所有 A a ? B b 改为 A a ? B b 即可。 例如:

? x2 y2 ? 1 ? 25 9 ? ? ?? 2 ? 25 9 k 12 ? ? ? y ? kx ? m

?1 m2 1 ? 4 ? 25 ? 9 ? [25k 2 ? 9 ? m 2 ] 2 B

? ? ? 4a 2b 2 [ A2a 2 ? B 2b 2 ? C 2 ] ?

4a 2b 2 [ A2a 2 ? B 2b 2 ? C 2 ] 1 4 ? 25 ? 9 ? [25k 2 ? 9 ? m 2 ] | x1 ? x2 |? ? ? A2a 2 ? B 2b 2 B 25k 2 ? 9 A2 ? B 2 ? 4a 2b 2 [ A2a 2 ? B 2b 2 ? C 2 ] ∴截弦长|AB | = A2a 2 ? B 2b 2 25 ? 9 ? 4 ? 25 ? 9 ? [25k 2 ? 9 ? m 2 ] ? 25k 2 ? 9

注意:如果题目给的是 4 y ? 3x ? m ,则要转化成 y ? 不然 | x1 ? x2 | 结果可能会忘记乘以

3 m x ? 的形式。 4 4

1 。 4


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