山东省青岛市高三第二次模拟试题 文科数学试题高三自评试题


高三自评试题
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷 类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、 修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式为: V

?

1 Sh ,其中 S 3

为锥体的底面积, h 为锥体的高.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 M ? ?m, ?3? , N ? x 2 x ? 7 x ? 3 ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 m 等于

?

?



) B. ?2 C. ?2 或 ?1 D. ?

A. ?1 【答案】C

3 2

【 解 析 】 N ? {x 2 x 2 ? 7 x ? 3 ? 0, x ? Z } ? {x ? 3 ? x ? ? ,? Z } ? {?2, 1} , 因 为 x ?

1 2

M ? N ? ? ,所以 m ? ?1 或 m ? ?2 ,选 C.
2.设复数 z ? 1 ? A. 2i 【答案】D 【 解 析 】 z ? 1?

2 2 (其中 i 为虚数单位),则 z ? 3 z 的虚部为( i
C. ?10 D. 2



B. 0

2 ? 1 ? 2i , 所 以 z 2 ? (1 ? 2i) 2 ? ?3 ? 4i , z ? 1? 2i , 所 以 i

z 2 ? 3z ? ?3 ? 4i ? 3(1 ? 2i) ? 2i ,所以虚部为 2,选 D.
2 2 3.设 x, y ? R ,则“ x ? y ? 9 ” 是“ x ? 3 且 y ? 3 ”的(



A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

-1-

【答案】B 【解析】令 x ? 1, y ? 4 ,满足不等式 x 2 ? y 2 ? 9 ,但此时不满足 x ? 3 且 y ? 3 ,当 x ? 3 且

y ? 3 时,有 x 2 ? y 2 ? 9 成立,所以 x 2 ? y 2 ? 9 是 x ? 3 且 y ? 3 成立的必要不充分条件,
选 B. 4.已知函数 f ( x) ? ? A. 5 【答案】A 【 解 析 】 f (1) ? l o 2 1 ? 0 , 所 以 f ( f (1)) ? f (0) ? 2 , 因 为 l o 3 g g
?l 1 f ( l o3 g ) ? 3 2 1 o3 g 2

?log 2 x , x ? 0 ?3 ? 1, x ? 0
?x

,则 f ( f (1)) ? f log3 1 的值是(

?

2

?



B. 3

C. ?1

D.

7 2 1 ?0 ,所以 2
所 以

? 1 ? 3l

o3 g 2

? 1 ? 3l

o3 g 2

?1 ? 2 ?1 ? 3



f ( f (1)) ? f (

3

1 ) ? 2 ? 3 ? 5o l ,选 A. g 2

5.设 m , n 是两条不同的直线,

? , ? ,?

是三个不同的平面.有下列四个命题:

①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中错误命题的序号是( .. A.①④ 【答案】A 【解析】根据线面垂直的性质和判断可知,②③正确,错误的为①④,选 A. 6.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31 ,则图中判断框内①处应填( ) B.①③ ) D.②③

C.②③④

-2-

A. 3 【答案】B

B. 4

C. 5

D. 6

【解析】 第一次运算为 b ? 3, a ? 2 , 第二次运算为 b ? 7, a ? 3 , 第三次运算为 b ? 15, a ? 4 , 第四次运算为 b ? 31, a ? 5 ,第五次运算不满足条件,输出 b ? 31 ,所以 a ? 4 ,选 B. 7.函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可
2

能成为该数列的公比的数是( A.

) C. 3 D. 5

3 4

B. 2

【答案】D 【解析】函数等价为 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9, y ? 0 ,表示为圆心在 (5,0) 半径为 3 的上半圆,圆上 点到原点的最短距离为 2,最大距离为 8,若存在三点成等比数列,则最大的公比 q 应有

8 ? 2q 2 ,即 q 2 ? 4, q ? 2 ,最小的公比应满足 2 ? 8q 2 ,所以 q 2 ?
取值范围为

1 1 , q ? ,所以公比的 4 2

1 ? q ? 2 ,所以选 D. 2


8.以下正确命题的个数为(

2 2 ①命题“存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是:“不存在 x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”;②函

?x x 数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内; ③ 函数 f ( x) ? e ? e 的图象的切线的斜率的
x

1

1 2

1 1 3 2

最大值是 ?2 ;④线性回归直线 ? ? bx ? a 恒过样本中心 x, y ,且至少过一个样本点. y ? ? A. 3 【答案】D
2 【解析 】① 命题的 否定 为“ 任意 的 x?R , x ? x ?2 ? 0 ” 所 以不 正确; ②因为 ,

? ?

B. 1

C. 0

D. 2

-3-

1 1 1 3 1 1 1 1 2 f ( x) ? x ? ( ) x ,又 f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) ? 0 , f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) ? 0 ,所以函数的零 3 3 2 2 2 2 2
1 1 1 ) ? ?2 ,当且 3 2 ex 1 仅当 e x ? x ,即 e x ? 1, x ? 0 时取等号,所以正确;④线性回归直线 ? ? bx ? a 恒过样本中 y ? ? e
点在区间 ( , ) ,所以正确;③函数的导数为 f ' ( x) ? ?e ? x ? e x ? ?(e x ? 心 x, y ,但不一定过样本点,所以不正确,综上正确的为②③有 3 个,选 D.

1 3

1

1

1

1

? ?

9.下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得 分的中位数之和是( )

A. 68 【答案】C

B. 70

C. 69

D. 71

【解析】甲的中位数为 37,乙的中位数为 32,所以甲乙两人的中位数之和为 37+32=69,选 C. 10.已知函数 f ( x) ? cos x ? 真命题的序号是( ) ② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数 C.②③ D.②④

1 ? π 1 ? π x, x ? [? , ] , sin x0 ? , x0 ? [? , ] .那么下面命题中 2 2 2 2 2 2

① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [? A.①③ 【答案】A

?
2

, x0 ] 上是增函数
B.①④

π 2

1 ? ? ? 1 , x 0 ? [ ? , ] ,所以 x0 ? 。函数的导数为 f ' ( x) ? ? sin x , 2 2 2 6 2 1 1 ? ? ? ? 由 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 ,解得 sin x ? ,又因为 x ? [ ? , ] ,所以 ? ? x ? ,此时 2 2 2 2 2 6 1 1 ? ? 函 数 单 调 递 增, 由 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 , 解 得 s i nx ? , 又 因 为 x ? [ ? , ] , 所 以 2 2 2 2
【解析】因为 sin x 0 ?

-4-

?
6

?x?

?
2

,此时函数单调递减,所以①③正确,选 A. )

11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的 (

A.外接球的半径为

3 3

B.表面积为 7 ? 3 ? 1 D.外接球的表面积为 4?

C.体积为 3 【答案】B

【解析】

由 三 视图 可 知, 这是 侧 面 ACD ? ABC , 高

1 1 3 DO ? 3 的三棱锥, AC ? 2,OB ? 1 ,所以三棱锥的体积为 ? ? 2 ? 3 ? ,设外接 3 2 3
2 2 2 球的圆心为 O 半径为 x ,则 OE ? 3 ? x ,在直角三角形 OEC 中, OE ? CE ? OE ,即

2 2 ( 3 ? x) 2 ? 1 ? x 2 ,整理得 3 ? 2 3x ? x ? 1 ? x ,解得半径 x ?

2 3 ,所以外接球的表 3

面积为 4?x ? 4? ? (
2

2 3 2 16? ) ? ,所以 A,C,D 都不正确,选 B. 3 3

-5-

12. 过双曲线

x2 y2 a2 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? 的切线, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 4 a2 b2

切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OF ? OP ? 2OE ,则双曲线的离心率为(

??? ??? ? ?

??? ?



A. 2 【答案】C

B.

10 5

C.

10 2

D. 10

【解析】设双曲线的右焦点为 A,则 OF ? ?OA ,所以 OF ? OP ? OP ? OA ? AP ? 2OE ,即

1 a AP ,所以 E 是 PF 的中点,所以 AP ? 2OE ? 2 ? ? a ,所以 AF ? 3a ,在直角三 2 2 5 2 5 2 2 角形 APF 中, a 2 ? (3a) 2 ? (2c) 2 ,即10a 2 ? 4c 2 , c ? a ,所以 e ? ,即离心率为 2 2 OE ?

e?

5 10 ? ,选 C. 2 2
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 tan ? ? 2, 则sin ? cos? ? 【答案】 【解析】 .

sin ? cos ? tan ? 2 2 ? ? ? . 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 4 ? 1 5

2 5

14.已知直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB ? 0 ,其中 O 为坐标原 点,则正实数 a 的值为 【答案】 2 .

??? ??? ? ?

? 【 解 析 】 因 为 O A? O B 0 , 所 以 OA ? OB , 即 三 角 形 A O B 为 直 角 三 角 形 , 所 以 AB ? 2R ? 2 2 , 所 以 圆 心 到 直 线 y ? x ? a 的 距 离 为 2 ,又
a 2 ? 2 ,所以

??? ??? ? ?

a ? 2, a ? 2 。
15. 设等轴双曲线 y ? x ? 1的两条渐近线与直线 x ? 2 围成的三角形区域 (包含边界) M , 为
2 2

P( x, y) 为 M 内的一个动点,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为
【答案】 6
-6-

.

【解析】等轴双曲线的渐近线为 x ? y ? 0 和 x ? y ? 0 ,它们和 x ? 2 共同围成的三角形区域

为, 时,直线

,目标函数等价为 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线经过点 C

y ? 2 x ? z 的 截 距 最 小 , 此 时 z 最 大 , 点 C 的 坐 标 为 (2,?2) , 此 时

z ? 2 ? 2 ? (?2) ? 6 。
16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ?1,5 ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图 象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题:

?

?

①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 0, 2 上是减函数; ③如果当 x ? ?1,t 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 【答案】①②⑤ 【解析】由导数图象可知,当 ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,函数单调递增,当 .

? ? ?

?

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 , f ' ( x) ? 0 ,函数单调递减,当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值
f (0) ? 2 ,f (4) ? 2 , x ? 2 时, 当 函数取得极小值 f ( 2) ,所以①正确; ②正确; 因为在当 x ? 0
-7-

和 x ? 4 ,函数取得极大值 f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,要使当 x ? [?1, t ] 函数 f (x) 的最大值是 4, 当 2 ? t ? 5 ,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f ( x) ? a 知,因为极小值 f ( 2) 未知, 所以无法判断函数 y ? f ( x) ? a 有几个零点,所以④不正确,根据函数的单调性和极值,做

出函数的图象如图,

(线段只代表单调性) ,根据题意函数

的极小值不确定, f (2) ? 1 或 1 ? f (2) ? 2 两种情况, 分 由图象知, 函数 y ? f (x) 和 y ? a 的 交点个数有 0,1,2,3,4 等不同情形,所以⑤正确,综上正确的命题序号为①②⑤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [0,

3? ] 上的单调递增区间; 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, A 为锐角,若

f ( A) ? sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 , b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.

18. (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示 (单位:辆),若按 A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,则 A 类轿车 有 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 舒适型 标准型 轿车 A 100 300 轿车 B 150 450 z 600 8.6,

轿车 C

把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从 中任取一个分数 a .记这 8 辆轿车的得 分 的 平 均 数 为 x , 定 义 事 件

E ? { a ? x ? 0.5 ,且函数 f ? x ? ? ax2 ? ax ? 2.31 没有零点},求事件 E 发生的概率.

-8-

19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABC ? A B1C1 中,四边形 ABB1 A 是正方形, AC ? AB ? 1 , AC ? A1B , 1 1 1

B1C1 // BC , B1C1 ?

1 BC . 2

A1 C1

B1

(Ⅰ)求证:面 A1 AC ? 面 ABC ; (Ⅱ)求证: AB1 // 面 AC1C . 1

A

B

C
20. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? ?2n ? 1, n ? N

?

?

? , B ? ?x x ? ?6n ? 3, n ? N ? ,设 S
?

n

是等差数列 ?an ?

的前 n 项和,若 ?an ?的任一项 an ? A ? B ,且首项 a1 是 A ? B 中的最大数,

?750 ? S10 ? ?300 .
(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? (

2 an ?13n?9 , ) 2

求 a1b2 ? b2 a3 ? a3b4 ? b4a5 ? ? ? a2 n?1b2 n ? b2 na2 n?1 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? a,b? R ? . 3

(Ⅰ)若曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2 ? ,曲线 C 在点 P 处的切线与直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 垂 直,求 a,b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试求函数 g ? x ? ? m ? 1 ? f ? x ? ? x ? ( m 为实常数, m ? ?1 ) 3
2

?

?? ?

7 ? ?

的极大值与极小值之差; (Ⅲ)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个不同的极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2 . 22. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

x2 y2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线 2 3 a b
-9-

交椭圆 D 于 A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连结椭圆 D 的四个顶点得到的菱形面积 为4. (Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ)过椭圆 D 的左顶点 P 作直线 l1 交椭圆 D 于另一点 Q . (ⅰ)若点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线上的一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值; (ⅱ)过 P 作垂直于 l1 的直线 l2 交椭圆 D 于另一点 G ,当直线 l1 的斜率变化时,直线 GQ 是 否过 x 轴上的一定点, 若过定点, 请给出证明, 并求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.

高三自评试题

数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. C D B A A B D D C A B C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.

2 5

14.

2

15.

6

16. ①②⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

?

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6 ?

???????????????????????????3 分

令 2 k?

?

2 ?

? 2x ?

?
6

? 2 k? ? 2? 3

解得: k?

?
6

3? ,k ?Z 2

? x ? k? ?

,k ?Z

- 10 -

? 2? ? 3? ? ? x ? ?0, ? ,? ? x ? 6 3 ? 2 ?
所以函数

,或

7? 3? ?x? 6 2

f ( x) 在 [0,

3? ? 2? ? 7? 3? ? ] 上的单调递增区间为 [ , ] , ? , ? ???????6 分 2 6 3 ? 6 2 ?

(Ⅱ)由

f ( A) ? sin( 2 A ? ? 1 2

?
6

) ? 1 得:

1 ? ? ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 1 2 6 6

化简得: cos 2 A ? 又因为 0 ?

A?

?
2

,解得:

A?

?
3

??????????????????????9 分

由题意知: S ?ABC 又b ? c

?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2

? 7 ,所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5 . ??????????????????????????12 分 18. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)设该厂本月 生产轿车为

n

辆,由题意得:

50 10 ? n 100 ? 300

,所以

n ? 2000

.

z =2000-100-300-150-450-600=400
(Ⅱ) 8 辆轿车的得分的平均数为 x

????????????4 分

1 ? (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 8
????????????????6 分

把 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数 a 对应的基本事件的总数为 8 个, 由

a ? x ? 0.5 ,且函数 f ? x ? ? ax2 ? ax ? 2.31 没有零点

? a ? 9 ? 0.5 ?? ? 8.5 ? a ? 9.24 ??????????????????10 分 2 ?? ? a ? 9.24a ? 0
? E 发生当且仅当 a 的值为:8.6,
? p?E? ? 4 1 ? 8 2
9.2, 8.7, 9.0 共 4 个,

??????????????????????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)? 四边形

ABB1 A1 为正方形, ? A1 A ? AB ? AC ? 1 , A1 A ? AB
?????????????2 分

? A1B ? 2

- 11 -

? AC ? A1B ? AC ? 2 1 1 ? A1 A ? AC

? ?A1 AC ? 90?
????????????4 分

? AB ? AC ? A ,? A1 A ? 面 ABC
又?

A1 A ? 面 A1 AC ,?面 A1 AC ? 面 ABC
AE , C1E , B1E

????????????6 分

(Ⅱ)取 BC 的中点 E ,连结

? B1C1 // BC , B1C1 ?

1 BC ,? B1C1 // EC, B1C1 ? EC 2

?四边形 CEB1C1 为平行四边形 ? B1E // C1C ? C1C ? 面 AC1C , B1E ? 面 AC1C 1 1 ? B1E // 面 AC1C ????????8 分 1 ? B1C1 // BC , B1C1 ?
1 BC , 2

A1 C1

B1

A E

B

C

? B1C1 // BE, B1C1 ? BE
?四边形 BB1C1E 为平行四边形? B1B // C1E ,且 B1B ? C1E
又?

ABB1 A1 是正方形,? A1 A // C1E ,且 A1 A ? C1E

? AEC1 A1 为平行四边形,? AE // AC1 ,? A1C1 ? 面 AC1C , AE ? 面 AC1C 1 1 1 ? AE // 面 AC1C 1
???????????????????????????10 分

? AE ? B1E ? E ,?面 B1 AE // 面 AC1C 1 ? AB1 ? 面 B1 AE ,? AB1 // 面 AC1C 1
20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设知: 集合 ??????????????????12 分

A 中所有元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 2 为公差的递减等差数列;集合 B

中所

有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列. 由此可得,对任意的 n ? N ,有
?

A? B ? B
???????????????????3 分

A ? B 中的最大数为 ?3 ,即 a1 ? ?3
设等差数列

?an ?的公差为 d ,则 an ? ?3 ? (n ?1)d , S10 ? 10(a1 ? a10 ) ? 45d ? 30
2
- 12 -

因为 ?750 ? S10

? ?300 , ? ?750 ? 45d ? 30 ? ?300 ,即 ? 16 ? d ? ?6

由于 B 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列, 所以 d

? ?6m(m ? Z , m ? 0) ,由 ?16 ? ?6m ? ?6 ? m ? 2 ,所以 d ? ?12

所以数列

?an ?的通项公式为 an ? 9 ?12n ( n ? N ? ) ?????????????8 分
?( 2 an ?13n?9 2 ) ? ( )n ??????????????????????9 分 2 2

(Ⅱ) bn

于是有 a1b2

? b2a3 ? a3b4 ? b4a5 ? ? ? a2n?1b2 n ? b2 na2 n?1

? b2 (a1 ? a3 ) ? b4 (a3 ? a5 ) ? b6 (a5 ? a7 ) ? ?? b2n (a2n?1 ? a2n?1 )
1 1 [1 ? ( )n ] 2 ? 24(1 ? 1 ) ??????????12 分 ? 24(b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2 n ) ? 24 ? 2 1 2n 1? 2
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ?

f ? ? x ? ? x2 ? 2ax ? b ,
1 ,? 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 , 2

? 直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 的斜率为 ?

? f ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 2 ??①
? 曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2? ,
1 ? f ?1? ? ? a ? b ? 2 ??② 3

2 ? ?a ? ?3, ? 由①②得: ? ?b ? 7. ? 3 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

??????????????????????????3 分

f ? x? ?

1 3 2 2 7 m2 ? 1 3 x ? x ? x ,? g ? x ? ? x ? 2x2 3 3 3 3

?

?,

4? ? ? g ? ? x ? ? ? m2 ? 1? x ? x ? ? , 3? ?
当 m2

由 g?

? x? ? 0 ? x ? 0 ,或 x ?

4 3

.

? 1 ? 0 ,即 m ? 1, 或 m ? ?1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x

? ??,0?

0

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? 3 ? ?

- 13 -

g? ? x ? g ? x?
由表可知:

+

0

-

0

+

极大值

极小值

?4? ? 32 ? 32 g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? 0 ? ? g ? ? ? 0 ? ?? ? m2 ? 1?? ? ? m2 ? 1? ?3? ? 81 ? 81
当 m2

?????5 分

? 1 ? 0, 即 ?1 ? m ? 1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x
g? ? x ? g ? x?
由表可知:

? ??,0?

0

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

-

0

+

0

-

极小值

极大值

32 32 ?4? g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? ? ? g ? 0 ? ? ? ? m 2 ? 1? ? 0 ? ? ? m 2 ? 1? ??????7 分 81 81 ?3?
综上可知:当 m ? 1, 或 m 当 ?1 ?

? ?1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ?

32 2 ? m ? 1? ; 81

m ? 1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? ?

32 2 ? m ? 1? ??????????????8 分 81
,所以

(Ⅲ)因为

f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个极值点

f ?( x) ? 0 ,

即 x2

? 2ax ? b ? 0 在 (1, 2) 内有两个不等的实根.
(1) (2) (3) (4)
??????????????????????10 分

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0, ? f ?(2) ? 4 ? 4a ? b ? 0, ? ∴? ?1 ? ? a ? 2, ?? ? 4(a 2 ? b) ? 0. ?
由 (1)+(3)得: a ? b 由(4)得: a ? b ? a 2

? 0 ,?????????????????????11 分

? a ,由(3)得: ?2 ? a ? ?1 ,

1 1 ? a 2 ? a ? (a ? ) 2 ? ? 2 ,∴ a ? b ? 2 . 2 4
故0 ?

a?b ? 2

????????????????????????????12 分

- 14 -

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 F , F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) ,其中 c 1 由题意得

?0

AB 的方程为: y ? 3( x ? c)

因 F 到直线 1

AB

的距离为 3 ,所以有

? 3c ? 3c 3 ?1

? 3 ,解得 c ? 3 ???????1 分

所以有 a

2

? b2 ? c 2 ? 3 ????????①

由题意知:

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ??② 2
? 2, b ? 1

联立①②解得: a

所求椭圆 D 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

????????????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: P(?2,0) , 设 Q( x1 , y1 ) 根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l1 的方程为 把它代入椭圆 D 的方程,消去 由韦达定理得 ? 2 ? x1

y ? k ( x ? 2)

y ,整理得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0

??

16k 2 2 ? 8k 2 4k ,则 x1 ? , y1 ? k ( x1 ? 2) ? , 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

? 2 ? 8k 2 4k ? 8k 2 2k ?Q ? , , ) ??????6 分 ? ,线段 PQ 的中点坐标为 (? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?
(ⅰ)当 k

? 0 时,

则有 Q ( 2,0) ,线段 PQ 垂直平分线为

y轴

于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? (2,?t ) 由 NP ? NQ ? ?4 ? t 当k
2

? 4 ,解得: t ? ?2 2

?????????????????8 分

? 0 时,

则线段 PQ 垂直平分线的方程为

y?

8k 2 2k 1 ) ? ? (x ? 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

因为点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线的一点, 令x

? 0 ,得: t ? ? 6k

1 ? 4k 2

,于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? ( x1, y1 ? t )

由 NP ? NQ

? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ?

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) 14 ? 4 ,解得: k ? ? 2 2 7 (1 ? 4k )
- 15 -

代入 t ? ?

2 14 6k ,解得: t?? 2 1 ? 4k 5

综上, 满足条件的实数 t 的值为 t

? ?2 2 或 t ? ?

2 14 5

?????????10 分

(ⅱ)设 G

? x2 , y2 ? ,由题意知 l1 的斜率 k ? 0 ,直线 l2 的斜率为 ?
化简得: (k
2

1 1 ,则 l2 : y ? ? ( x ? 2) k k

1 ? ? y ? ? k ( x ? 2), 由? x2 ? ? y 2 ? 1, ? 4

? 4) x2 ? 16x ? 16 ? 4k 2 ? 0 .

∵此方程有一根为 ? 2 , 得 x2

?

2k 2 ? 8 4k .??????????12 分 ? y2 ? ? 2 2 k ?4 k ?4

? 2 ? 8k 2 4k ? , ?Q ? , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?
y?

则 kGQ

4k 4k ? 2 5k ? k2 ? 4 1 ? 4k 2 ? ? 2k ? 8 2 ? 8k 4(k 2 ? 1) ? k 2 ? 4 1 ? 4k 2 ?
2

所以 GQ 的直线方程为

4k 5k 2 ? 8k 2 ?? (x ? ) 1 ? 4k 2 4(k 2 ? 1) 1 ? 4k 2

16k (k 2 ? 1) 2 ? 8k 2 6 令 y ? 0 ,则 x ? ? ?? 。 2 2 5k (1 ? 4k ) 1 ? 4k 5 6 所以直线 GQ 过 x 轴上的一定点 ( ? , 0) ???????????????????14 分 5

- 16 -


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