专题:一元二次不等式的几点解法


一元二次不等式及其解法
目标认知 学习目标:
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

重点:
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;熟练掌握一元二次不等式的解法.

难点:
理解二次函数、 一元二次方程与一元二次不等式解集的关系, 设计求解一元二次不等式 的程序框图。

知识要点梳理 知识点一:一元二次不等式的定义
只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不等式。 比如: . 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式: . 或

知识点二:一般的一元二次不等式的解法
一元二次不等式 或 的解集可以联系二次函数

的图象,图象在 轴上方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 的解集,图象在 的解集. 设一元二次方程 的两根为 且 , 轴下方部分对应的横坐标 值的集合为不等式

,则相应的不等式的解集的各种情况如下表:

二次函数 ( 图象 )的

有两相异实根

有两相等实根 无实根

注意: (1)一元二次方程 的两根 是相应的不等式的解集的端点

的取值,是抛物线 与 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式 的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; ( 3 )解集分 的解集。 三种情况,得到一元二次不等式 与

知识点三:解一元二次不等式的步骤
(1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程 ① ② 时,求出两根 时,求根 ,且 ; ,计算判别式 :

(注意灵活运用因式分解和配方法);

③ 时,方程无解 (3)根据不等式,写出解集.

知识点四:用程序框图表示求解一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的过程

2

规律方法指导
1.解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正;若为负,则将其变为正数; 2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; 3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; 4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等 式的解集与其系数之间的关系; 5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数

经典例题透析 类型一:解一元二次不等式
1.解下列一元二次不等式 (1) ; (2) ; (3) 思路点拨:转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为 所以方程 函数 的两个实数根为: 的简图为: ,

因而不等式 方法二:

的解集是

.



解得 因而不等式 (2)方法一: 因为 方程 函数



,即 的解集是



. .

, 的解为 的简图为: .

所以,原不等式的解集是 方法二: (当 所以原不等式的解集是 时, )

(3)方法一: 原不等式整理得 因为 函数 ,方程 的简图为: . 无实数解,

所以不等式 所以原不等式的解集是 方法二: ∵ .

的解集是

.

∴原不等式的解集是 . 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分 析能力; 2. 当 时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第 2、3 小题) ;当 是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷, (如第 1 小题). 3. 当二次项的系数小于 0 时,一般都转化为大于 0 后,再解答. 举一反三: 【变式 1】解下列不等式 (1) (3) 【答案】 (1)方法一: 因为 方程 函数 的两个实数根为: 的简图为: , ; ; (2) (4) . 且

因而不等式 方法二: ∵原不等式等价于 ∴ 原不等式的解集是: (2)整理,原式可化为 因为 ,

的解集是: , . ,

.

方程 函数

的解 的简图为:





所以不等式的解集是 (3)方法一: 因为 方程 由函数

.

有两个相等的实根: 的图象为:



原不等式的的解集是 方法二: ∵ 原不等式等价于: ∴原不等式的的解集是 (4)方法一: 因为 由函数 ,方程

. , . 无实数解, 的简图为:

原不等式的解集是 方法二: ∵ ∴ 原不等式解集为

. , .

【变式 2】解不等式: 【答案】原不等式可化为不等式组

,即

,即



解得 ∴原不等式的解集为 .

类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数
2.不等式 的解集。 思路点拨:由二次不等式的解集为 由韦达定理可求出 、 的值,从而解得. 解析:由题意可知方程 由韦达定理有 ∴ ∴ , 化为 ,解得 ,即 , , 可知:4、5 是方程 的两根为 和 的二根,故 的解集为 ,求关于 的不等式

故不等式 的解集为 . 总结升华:二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不 等式的解集的端点恰为相应的方程的根, 我们可以利用韦达定理, 找到不等式的解集与其系 数之间的关系,这一点是解此类题的关键。 举一反三: 【变式 1】不等式 ax2+bx+12>0 的解集为{x|-3<x<2},则 a=_______, b=________。 【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知 a<0,且方程 ax2+bx+12=0 的两根为-3,2。

由根与系数关系得 解得 a=-2, b=-2。

【变式 2】已知 . 【答案】由韦达定理有: ∴代入不等式 即 故不等式 【变式 3 】已知关于 的解集. 的不等式 ,

的解为

,试求



,并解不等式

, 得 ,解得 的解集为:

,∴ , , . 的解集为

,

.

,求关于

的不等式

【答案】由韦达定理有: ,即 ∴

,解得

, 代入不等式 ,解得 . 或 .



的解集为:

类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
3.已知关于 x 的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为 R,要解决这个问题还需要讨 论二次项的系数。 解析: (1)当 m2+4m-5=0 时,m=1 或 m=-5 若 m=1,则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立,符合题意。 若 m=-5,则不等式为 24x+3>0,不满足对一切实数 x 均成立,所以 m=-5 舍去。 (2)当 m2+4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时, 由此一元二次不等式的解集为 R 知,抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3 开口向上, 且与 x 轴无交点,

所以



即 , ∴ 1<m<19。 综上所述,实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华:情况(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨 论。 举一反三: 【变式 1】 若关于 的不等式 范围. 【答案】关于 的不等式 即 当 当 时,原不等式为: 的解集为 R ,即 ,不符合题意,舍去. 且 , 时,原不等式为一元二次不等式,只需 的解集为空集,求 的解集为空集 的取值

即 综上, 的取值范围为:

,解得 .



【变式 2】若关于 的不等式 值范围.

的解为一切实数,求

的取

【答案】当 当

时,原不等式为:

,即

,不符合题意,舍去. 且 ,

时,原不等式为一元二次不等式,只需

即 综上, 的取值范围为:

,解得 .



【变式 3】若关于 的不等式 值范围. 【答案】当 当 当 时,原不等式为: 时,只需 , ,即

的解集为非空集,求 ,符合题意.

的取

时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意

即 综上, 的取值范围为:

,解得 .



类型四:含字母系数的一元二次不等式的解法
4.解下列关于 x 的不等式 (1)x2-2ax≤-a2+1; (2)x2-ax+1>0; (3)x2-(a+1)x+a<0; 解析: (1) ∴原不等式的解集为 。 2 (2) Δ =a -4 当 Δ > 0 , 即 a > 2 或 a < -2 时 , 原 不 等 式 的 解 集 为

当Δ =0,即 a=2 或-2 时,原不等式的解集为 。 当Δ <0,即-2<a<2 时,原不等式的解集为 R。 (3) (x-1)(x-a)<0 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|1<x<a} 当 a<1 时,原不等式的解集为{x|a<x<1} 当 a=1 时,原不等式的解集为 。 总结升华:对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号:对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根:求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时,要引入讨论,分类求解; ③定解:根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论。 举一反三: 【变式 1】解关于 x 的不等式:

【答案】原不等式化为 ①a=1 或 a=-1 时,解集为 ②当 0<a<1 或 a<-1 时, ③当 a>1 或 -1<a<0 时, 【变式 2】解关于 的不等式: 【答案】 当 a<0 或 a>1 时,解集为 当 a=0 时,解集为 当 0<a<1 时,解集为 当 a=1 时,解集为 ; ; ; ; ; ,解集为: ,解集为: ( ) ; 。

5.解关于 x 的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。 解析:若 a=0,原不等式 -x+1<0 x>1; 若 a<0,原不等式 >1; 若 a>0,原不等式 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 ; ; , 或x

(1)当 a=1 时,原不等式 (2)当 a>1 时,原不等式 (3)当 0<a<1 时,原不等式 综上所述: 当 a<0,解集为 当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时,解集为 当 a=1 时,解集为 ;





当 a>1 时,解集为 。 总结升华: 熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础, 对最高项含有字母系数 的不等式,要注意按字母的取值情况进行分类讨论,分类时要“不重不漏” 。

举一反三: 【变式 1】解关于 x 的不等式:(ax-1)(x-2)≥0; 【答案】当 a=0 时,x∈(-∞,2]. 当 a≠0 时,方程(ax-1)(x-2)=0 两根为 ①当 a>0 时, 若 若 若 , 即 , 即 , 即 时, 时,x∈R; 时, , ∴ 。 . ;

②当 a<0 时,则有:

【变式 2】解关于 x 的不等式:ax2+2x-1<0; 【答案】当 a=0 时, . 当 a≠0 时,Δ =4+4a=4(a+1), ①a>0 时,则Δ >0, ②a<0 时, 若 a<0,△<0, 即 a<-1 时,x∈R; 若 a<0,△=0, 即 a=-1 时,x∈R 且 x≠1; 若 a < 0 , △ > 0 , 即 。 【变式 3】解关于 x 的不等式:ax2-x+1>0 【答案】若 a=0,原不等式化为-x+1>0,解集为{x|x<1}; 若 a≠0,原不等式为关于 x 的一元二次不等式. 方程 的判别式△=1-4a 时,方程 没有实数根, .

-1 < a < 0

时 ,

(Ⅰ)当△=1-4a<0,即 故函数 下:

的图象开口向上,与 x 轴没有交点,其简图如

所以,此时不等式 (Ⅱ)当△=1-4a=0,即 时,方程

的解集为实数集 R; 有两个相等实数根 x=2,

故函数 简图如下:

的图象开口向上,与 x 轴有唯一交点(2,0),其

所以,此时不等式 (Ⅲ)当△=1-4a>0,即 , ①当 时,函数 时,方程

的解集为

; 有两个不等实数根

, 的图象开口向上, ,其简图如下:

与 x 轴有两个不同的交点,且

所 以 , 此 时 不 等 式

的 解 集 为

; ②当 a<0 时,函数 与 x 轴有两个不同的交点,且 的图象开口向下, ,其简图如下:

所 以 , 此 时 不 等 式

的 解 集 为

; 综上所述:

a<0 时,原不等式解集为 a=0 时,原不等式解集为 ;



时,原不等式解集为 时,原不等式解集为 时,原不等式解集为实数集 R ;



学习成果测评 基础达标:
1.不等式 x2-ax-12a2<0(其中 a<0)的解集为( ) A. (-3a,4a) B. (4a,-3a) C. (-3,-4) 2.使 A. C. 有意义的 x 的取值范围是( ) B. D. D. (2a,6a)

3.不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1

,则 a,c 的值为( ) C.a=1,c=1 D.a=-1,c=-6

4.解不等式 A.10 B.-10

得到解集 C.14

,那么 D.-14

的值等于( )

5.不等式 x2-ax-b<0 的解集是{x|2<x<3},则 bx2-ax-1>0 的解集是( ) A. D. 6.抛物线 y= - x2+5x - 5 上的点位于直线 y=1 的上方,则自变量 x 的取值范围是 ________。 7.如果关于 x 的方程 x2-(m-1)x+2-m=0 的两根为正实数,则 m 的取值范围是 ________。 8.解下列不等式 (1) 14-4x2 ≥ x ; ; (5) ; (6) ; (7) (2) x2+x+1>0 ; (3) 2x2+3x+4<0 ; B. C.

(4)

9.已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}。 (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0。 10. 不等式 mx2+1>mx 的解集为实数集 R,求实数 m 的取值范围.

能力提升:
11.不等式 A . 的解集是全体实数,则 a 的取值范围是( ) B . C .

D. 12.对于满足 0≤p≤4 的实数 p,使 _____________. 13.已知 解集是________. 14.若函数 15. 若使不等式 的解集为 恒成立的 x 的取值范围是

,则不等式



的定义域为 R,则 a 的取值范围为________________. 和 同时成立的 x 的值使关于 x 的不等式

也成立,则 a 的取值范围是________________. 16.若不等式 ax2+bx+c> 0 的解集为 {x|2 < x<3},则不等式 ax2-bx+c<0 的解集是 ___________;不等 式 cx2+bx+a>0 的解集是_____________. 17.已知 , (1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 18.解下列关于 x 的不等式 ;

综合探究:
19.解关于 x 的不等式: . (A∩B),

20. 设集合 A={x|x2-2x-8<0}, B={x|x2+2x-3>0}, C={x|x2-3ax+2a2<0},若 C 求实数 a 的取值范围.

参考答案: 基础达标:
1.B; 2.B; 3.B; 4.D; 5.C 6. 8.答案: (1)原不等式的解集为 (2)原不等式的解集为 R; (3)原不等式的解集为 ; ; ; 7.

(4)原不等式的解集是



(5)原不等式的解集是



(6)原不等式的解集是 (7)原不等式的解集是 .



9.答案: (1)a=1,b=2; (2)当 c>2 时,解集为{x|2<x<c};当 c=2 时,解集为空集;当 c<2 时,解集为{x|c <x<2}; 10.解析: 当 m=0 时,不等式即为 1>0,满足条件.

当 m≠0 时,若不等式的解集为 R,则应有 综上,m 的取值范围是{m|0≤m<4}.

, 解得 0<m<4.

能力提升:
11.C

12.



13.



14.[-1,0]

15. 17.解析:



16.{x|x<-3,或 x>-2};{x|

}

(1)由题意得:△= ,即 0<a<4; (2)由 x∈[-3,1],f(x)>0 得,有如下两种情况:

或 综上所述: .

18. 解析: 当 a=0 时,原不等式即为-(x+1)>0,解得 x<-1; 当 a≠0 时,原不等式为关于 x 的一元二次不等式, 方程(ax-1)(x+1)=0 有两个实数根 (Ⅰ)当 函数 ,即 , 和 时, 的图象开口向下,与 x 轴有两个交点,其简图如下: .

故不等式 (Ⅱ)当 函数 ,即

的解集为 时,



的图象开口向下,与 x 轴有一个交点,其简图如下:

故不等式 (Ⅲ)当 ①若 简图如下: ,即 ,函数 ,

的解集为空集; 或 , 的图象开口向下,与 x 轴有两个交点,其

故不等式 ②若 a>0,数 图如下:

的解集为



的图象开口向上,与 x 轴有两个交点,其简

故不等 综上所述,

的解集为



当 a<-1 时,不等式的解集为 当 a=-1 时,不等式的解集为空集; 当-1<a<0 时,不等式的解集为 当 a=0 时,不等式的解集为 当 a>0 时,不等式的解集为



; ; .

综合探究:
19.解析:

原不等式可化为:

当 a-1>0 时,原不等式的解为: 当-1<a-1<0 时,原不等式的解为: 当 a-1=-1 时,原不等式无解; 当 a-1<-1 时,原不等式的解为:

或 x>2; ;

.

20.解析: 解不等式 x2-2x-8<0,得-2<x<4,所以 A={x|-2<x<4} 解不等式 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,所以 B={x|x<-3,或 x>1} 所以 A∩B={x|1<x<4} 解方程 x2-3ax+2a2=0,得到 x1=a, x2=2a, 由 C (A∩B),分如下两种情况讨论: (1)C=ф ,所以有 x2-3ax+2a2≥0 恒成立, 对于方程 x2-3ax+2a2=0,△=a2≤0, ∴a=0.

(2)C≠

,所以有 。



从而得到

综上所述,实数 a 的取值范围是


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