求解圆锥曲线离心率的取值范围


求解圆锥曲线离心率的取值范围 k.s.5.u.c.o.m
3a x2 y 2 例 1:若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离 2 a b
心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? )

备选 1 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若 MN ? ? F1F2 , a 2 b2


则该椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ]

1 2

B. (0,

2 ] 2

1) C. [ ,

1 2

D. [

2 , 1) 2

例 2:设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线 a 2 b2


过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0,

2 ] 2

B. (0, ]

3 3

C. [

2 , 1) 2

D. [

3 , 1) 3

例 3:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取 a 2 b2

值范围为( ) A.(1,3) B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

备选 2 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左, 右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上, 且 | PF 1 |? 4 | PF 2 |, a 2 b2
)

则此双曲线的离心率 e 的最大值为:( A

4 3

B

5 3

C

2

D

7 3
2

x2 y 2 备选 3 已知 F1 , F2 分别为 2 ? 2 ? 1 a b

PF1 的最小 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一点,若 PF2
B (1,3] C [2,3] D [3, ??)

值为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A (1, 2]

例 5:已知椭圆 的取值范围。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶为 A,点 P 在椭圆上,O 为坐标原点,且 OP 垂直于 PA,求椭圆的离心率 e a 2 b2

例 6:椭圆 G :

????? ????? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,椭圆上存在点 M 使 F1M ? F2 M ? 0 . 2 a b

求椭

圆离心率 e 的取值范围;

例 7:已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与双曲线的右支有且只有 a 2 b2

一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

(A) (1, 2]

(B) (1, 2)

(C) [2, ??)

(D) (2, ??)

例 8:设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是( ) a 2 (a ? 1)2
C. (2,5) D. (2, 5 )

A. ( 2 ,2)

B. ( 2 , 5 )

例 9:在椭圆 率.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 M, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 MF 1 ? MF2 ? 2b2 ,求椭圆的离心 a 2 b2

例 10:设双曲线 C: 值范围:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B.求双曲线 C 的离心率 e 的取 2 a

求解圆锥曲线离心率的取值范围

求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点,也是一个难点,求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率 的取值范围. 一、直接根据题意建立 a , c 不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例 1:若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离 2 2 a b

心率的取值范围是 A.(1,2) 解析 由题意可知 ( a ? B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? )

3 2

3 3 1 a2 3 a2 )e ? ( a ? ) 即 e ? 1 ? ? 解得 e ? 2 故选 B. 2 2 e c 2 c

x2 y 2 备选 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若 MN ? ? F 1F 2 ,则 a b
该椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ] )

1 2

B. (0,

2 ] 2

1) C. [ ,

1 2

D. [

2 , 1) 2

解析 由题意得

2a 2 2 ? 2 ? 2c ∴ e ? 故选 D. c 2

二、借助平面几何关系建立 a , c 不等关系求解 例 2:设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线 a 2 b2


过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0,

2 ] 2

B. (0, ]

3 3

C. [

2 , 1) 2

D. [

3 , 1) 3

分析 通过题设条件可得 PF2 ? 2c ,求离心率的取值范围需建立不等关系,如何建立? 解析:∵线段 PF1 的中垂线过点 F2 , ∴ PF2 ? 2c ,又点 P 在右准线上,∴ PF2 ?

a2 ?c c

即 2c ?

a2 c 3 3 ?c∴ ? ? e ? 1 ,故选 D. ∴ c a 3 3

点评 建立不等关系是解决问题的难点,而借助平面几何知识相对来说比较简便. 三、利用圆锥曲线相关性质建立 a , c 不等关系求解. 例 3:双曲线 值范围为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取 a 2 b2

A.(1,3)

B. ?1,3?

C.(3,+ ? )

D. ?3, ?? ?

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义 . 如何找不等关系呢? 解析:∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|?|PF2|=|PF2|= 2 a ,|PF2| ? c ? a 即 2a ? c ? a ∴ 3a ? c 所以双曲线离心率的取值范围为 1 ? e ? 3 ,故选 B. 点评: 本题建立不等关系是难点, 如果记住一些双曲线重要结论 (双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于 c ? a ) 则可建立不等关系使问题迎刃而解. 备选 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左, 右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上, 且 | PF 1 |? 4 | PF 2 |, a 2 b2
)

则此双曲线的离心率 e 的最大值为:( A

7 3 2 5 ∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|?|PF2|=3|PF2|= 2 a ,|PF2| ? c ? a 即 a ? c ? a ∴ a ? c 3 3 5 所以双曲线离心率的取值范围为 1 ? e ? ,故选 B. 3
B C

4 3

5 3

2

D

x2 y 2 备选 已知 F1 , F2 分别为 2 ? 2 ? 1 a b
D [3, ??)

PF1 的最小值 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一点,若 PF2

2

为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A (1, 2] B (1,3]
2

C [2,3]

PF1 (2a ? PF2 ) 2 4a 2 ? ? ? PF2 ? 4a ? 2 4a 2 ? 4a ? 8a ,欲使最小值为 8a ,需右支上存在一点 P,使 解析 PF2 PF2 PF2

PF2 ? 2a ,而 PF2 ? c ? a 即 2a ? c ? a 所以 1 ? e ? 3 .
x2 y 2 例 5:已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 右顶为 A,点 P 在椭圆上,O 为坐标原点,且 OP 垂直于 PA,求椭圆的离心率 e a b
的取值范围。

? x0 2 y0 2 ? 2 ?1 ? 解:设 P 点坐标为( x0 , y0 ),则有 ? a 2 b ? x 2 ? ax ? y 2 ? 0 0 0 ? 0
消去 y0 得 (a2 ? b2 ) x02 ? a3 x0 ? a2b2 ? 0 若利用求根公式求 x0 运算复杂,应注意到方程的一个根为 a,由根与系数关
2

系知 ax0 ?

a 2b 2 ab 2 2 ? x ? ? e ?1 由 0 ? x0 ? a 得 0 2 2 2 2 a ?b a ?b 2

例 6:椭圆 G :

????? ????? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,椭圆上存在点 M 使 F1M ? F2 M ? 0 . 2 a b

求椭

圆离心率 e 的取值范围;
2 2 2 解析 设 M ( x, y), F 1M ? F 2 M ? 0 ? x ? y ? c ……①

????? ?????

b2 2 a 2b 2 2 2 将 y ? b ? 2 x 代入①得 x ? a ? a 2
2 2

? 0 ? x2 ? a2 求得

2 ? e ?1 2

.

点评:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 x ? a ,是椭圆中建立不等关系的重要依据,在求解参数范围问题中经常使用,应 a 2 b2

给予重视. 四、运用数形结合建立 a , c 不等关系求解

x2 y 2 例 7:已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与双曲线的右支有且只有 a b
一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, 2] (B) (1, 2) (C) [2, ??) (D) (2, ??)

解析 欲使过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐 近线的斜率

b b 2 2 2 2 2 ,∴ ≥ 3 ,即 b ? 3a 即 c ? a ? 3a ∴ c ? 4a 即 e ? 2 故选 C. a a

五、运用函数思想求解离心率 例 8:设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 a 2 (a ? 1)2
C. (2,5) D. (2, 5 )

A. ( 2 ,2)

B. ( 2 , 5 )

解析:由题意可知 e ? 1 ? ( ∴ 2 ? e ? 5 ,故选 B.

1 a ?1 2 1 ) ? 1 ? (1 ? )2 ∵ a ? 1 ∴ 1 ? 1 ? ? 2 a a a

六、运用判别式建立不等关系求解离心率 例 9:在椭圆 率. 解析: 由椭圆的定义,可得

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上有一点 M, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若 MF 1 ? MF2 ? 2b2 ,求椭圆的离心 2 a b

MF 1 ? MF2 ? 2a 又 MF 1 ? MF2 ? 2b2 , 所 以 M F1 , M2F 是 方 程
c 2 ? , a 2

x 2 ? 2ax ? 2b2 ? 0 的两根,由 ? ? (?2a)2 ? 4 ? 2b2 ? 0 , 可得 a 2 ? 2b2 ,即 a2 ? 2(c2 ?a2 ) 所以 e ?

所以椭圆离心率的取值范围是 [

2 ,1) 2

例 10:设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B.求双曲线 C 的离心率 e 的取 2 a

值范围: 解析 由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 a ? ? x ? y ? 1. ?
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 所以 ? ①
2 ? ?1 ? a ? 0. 解得 0 ? a ? 2且a ? 1. 4 2 2 4 a ? 8 a (1 ? a ) ? 0. ? ?

双曲线的离心率

6 1 ? a2 1 且e ? 2 e? ? 2 ? 1 ?0 ? a ? 2且a ? 1, ∴ e ? 2 a a
所以双曲线的离心率取值范围是 (

6 , 2) ? ( 2, ??) 2

总结:在求解圆锥曲线离心率取值范围时,一定要认真分析题设条件,合理建立不等关系,把握好圆锥曲线的相关 性质,记住一些常见结论、不等关系,在做题时不断总结,择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.


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