【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第7讲 概率与统计课件


第四篇

回归教材,纠错例析,帮你减少高考失分点

7.概率与统计

栏目索引

要点回扣 易错警示

查缺补漏

要点回扣
1.随机抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每

个个体被抽取的机会相等,且是不放回抽样.
问题1 某社区现有480个住户,其中中等收入家庭200户、低收

入家庭160户,其他为高收入家庭.在建设幸福社区的某次分层抽
样调查中,高收入家庭被抽取了6户,则该社区本次抽取的总户 24 数为________.
解析 6 480-200-160 由抽样比例可知x = ,则 x=24. 480

2.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真观察图 表,从中提取有用信息和数据 .对于频率分布直方图,应 注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间 上的频率.茎叶图没有原始数据信息的损失,但数据很大 或有多组数据时,茎叶图就不那么直观、清晰了.

问题2

从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生

的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分

布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,
20 则该班学生中能报A专业的人数为________.

3. 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数

据的众数.
众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位臵 的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中 位数. 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与 横轴交点的横坐标.

1 平均数:样本数据的算术平均数,即 x =n(x1+x2+?+xn).

平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距 形底边中点的横坐标之和.

标准差的平方就是方差,方差的计算 1 2 (1)基本公式 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2].

1 2 2 2 2 (2)简化计算公式①s =n[(x1+x2+?+x2 ) - n x ] ,或写成 s n
2

1 2 2 2 =n(x1+x2+?+x2 ) - x ,即方差等于原数据平方和的平均 n 数减去平均数的平方.

问题 3

已知一个样本中的数据为 0.12,0.15,0.13 , 0.15 ,

0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14 ,则该样本的众数、中位数分 0.15、0.145 别是___________.

4.变量间的相关关系
假设我们有如下一组数据:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn). 线性回归方程y=bx+a,
? n n ? ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y ? i=1 ? ^ i=1 ?b= = , n n 其中? 2 ? ?x2 ? ?xi- x ?2 i -n x i=1 i=1 ? ? ^ ^ ?a ? = y -b x .
^ ^ ^

(x,y) 问题 4 回归直线y=bx+a必经过点________.
^ ^ ^

5.独立性检验的基本方法 一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1, x2}和{y1,y2},其样本频数列联表如表:
y1 x1 x2
总计

y2 b d
b+d

总计 a+b c+d
a+b+c+d

a c
a+c

n?ad-bc?2 根据观测数据计算由公式 k= 所给 ?a+b??a+c??b+d??c+d? 出的检验随机变量 K2 的观测值 k, 并且 k 的值越大, 说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大,可以利用数据来确定“X 与 Y 有关系”的可信程度.

问题5

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该

班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的2×2列联表:
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计

男生
女生 合计

20
10 30

5
15 20

25
25 50

则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关.(请用

百分数表示)

2 n ? ad - bc ? 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

P(K2>k0) k0 答案 99.5%

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005

0.001

7.879 10.828

6.互斥事件有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B) (1)公式适合范围:事件A与B互斥.
(2)P( A )=1-P(A).
问题 6 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现 1 1 奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)=2,P(B)=6,则出 2 3 现奇数点或 2 点的概率之和为________.

7.古典概型
m P(A)= n (其中,n 为一次试验中可能出现的结果总数,m 为 事件 A 在试验中包含的基本事件个数)

问题 7

连掷两次骰子分别得到点数 m 、 n ,则向量 (m , n)

与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是A ( ) 5 7 1 1 A.12 B.12 C.3 D.2 解析 ∵(m,n)· (-1,1)=-m+n<0,∴m>n.
基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),

(3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5,1) , ? , (5,4) , (6,1) , ? ,
(6,5),共1+2+3+4+5=15(个). 15 5 ∴P=36=12,故选 A.

8.几何概型
一般地, 在几何区域 D 内随机地取一点, 记事件“该点在其内部 d的度量 一个区域 d 内”为事件 A, 则事件 A 发生的概率为 P(A)= . D的度量 此处 D 的度量不为 0,其中“度量”的意义依 D 确定,当 D 分 别是线段、平面图形和立体图形时,相应的度量分别为长度、面 积和体积等.

构成事件A的区域长度?面积和体积? 即 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积和体积?

问题8

在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点O为底

面 ABCD 的中心,在正方体ABCD—A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点P到点O的距离大于1的概率为( B ) π π π π A.12 B.1-12 C.6 D.1-6 解析 记“点P到点O的距离大于1”为A,
1 4 2 -2×3π×13 π P(A)= =1-12. 23
3

9.解排列、组合问题的依据:分类相加,分步相乘,有序 排列,无序组合. 解排列、组合问题的规律:相邻问题捆绑法;不相邻问题 插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍 缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先选 后排法;至多至少问题间接法.

(1)排列数公式 n! m An =n(n-1)(n-2)?[ n-(m-1)] = , 其中 m, n∈N*, ?n-m?!
m≤n.当 m=n 时,An (n-1)· ?· 2· 1=n! ,规定 0!=1. n=n·

(2)组合数公式
m n?n-1??n-2??[n-?m-1?] n! A n m Cn =Am= = . m! m!?n-m?! m

(3)组合数性质
n-m m m-1 m 0 * Cm = C , C + C = C , 规定 C = 1 , 其中 m , n ∈ N , n n n n n+1 n

m≤n.

问题9

(1) 将 5 封 信 投 入 3 个 邮 筒 , 不 同 的 投 法 共 有

35 ________ 种. (2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少

要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
________ 种. 70

10.二项式定理
n 1 n-1 n-k k (1)定理:(a+b)n=C0 b+?+Ck b +?+ na +Cna na n-1 n n * -1 Cn ab + C b ( n ∈ N ). n n n- k k k 通项(展开式的第 k+1 项):Tk+1=Ck a b ,其中 C n n(k=

0,1,?,n)叫做二项式系数.

(2)二项式系数的性质 ①在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项

式系数相等,即
n 1 n-1 2 n-2 r n-r C0 = C , C = C , C = C , ? , C = C n n n n n n n n .

②二项式系数的和等于2n(组合数公式),即
1 2 n n C0 + C + C + ? + C = 2 . n n n n

③二项展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
3 5 0 2 4 n-1 式系数和,即 C1 + C + C + ? = C + C + C + ? = 2 . n n n n n n

特别提醒:二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个 不同的概念,在求法上也有很大的差别,往往因为概念不 清导致出错.

问题 10

? 设? ?x- ?

2? ?6 3 的展开式中 x 的系数为 A, 二项式系数 ? x?

4 ∶1 为 B,则 A∶B=________.
解析
6-k k? Tk+1=Ck x ( - 1) 6 ?

? ?

3 2? 6? k ?k k k k 2 ? C ( ? 1) 2 x , ? 6 x?

3 6-2k=3,k=2,系数 A=60,二项式系数 B=C2 6=15,所 以 A∶B=4∶1.

11.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别: (1) 在 P(A|B) 中,事件 A , B 发生有时间上的差异, B 先 A 后; 在P(AB)中,事件A,B同时发生. (2) 样本空间不同,在 P(A|B)中,事件B 成为样本空间;在 P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).

问题 11 设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的 3 1 概率为10, 在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率为2, 3 5 则事件 A 发生的概率为________.

12. 求分布列,要检验概率的和是否为 1 ,如果不是,要重 新检查修正.还要注意识别独立重复试验和二项分布,然后 用公式.
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么它在 n 次独
k 立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Ck (1-p)n-k. np ·

问 题 12

20 ________. 9

若 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 如 下 表 , 则 E(ξ) 的 值 为

ξ P

0 2x

1 3x

2 7x

3 2x

4 3x

5 x

1 解析 根据概率之和为 1,求出 x=18, 20 则 E(ξ)=0×2x+1×3x+?+5x=40x= 9 .

13. 一般地,如果对于任意实数 a<b ,随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=? b aφμ,σ(x)dx,则称 X 的分布为正态分布.正态分 布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2). 如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~N(μ,σ2).满足正 态分布的三个基本概率的值是

①P(μ - σ<X≤μ + σ) = 0.682 6 ; ②P(μ - 2σ<X≤μ + 2σ) = 0.954 4;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.

问题13 A.0.6

已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)

=0.8,则P(0<ξ<2)等于( C )
B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析 ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线x=2, P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6. 1 ∴P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<4)=0.3.

易错警示 易错点1 统计图表识图不准、概念不清 例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2015年员工年薪情 况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪在1.4万元~ 1.6万元之间的共有______人.

错因分析

解本题容易出现的错误是审题不细,对所给图形观

察不细心,认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为1

- (0.02 + 0.08 + 0.10)×2 = 0.60 ,从而得到员工中年薪在 1.4 万
元~ 1.6 万元之间的共有 300×[1 - (0.02 + 0.08 + 0.10)×2] = 180(人)的错误答案. 解析 由所给图形,可知员工中年薪在 1.4 万元~ 1.6 万元之间

的频率为1-(0.02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2=0.24,
所以员工中年薪在 1.4 万元~ 1.6 万元之间的共有 300×0.24 = 72(人) 答案 72

易错点2 误解基本事件的等可能性
例2 若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有

1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的
点数之和为4的概率为________.

错因分析

解本题时易出现的错误在于对等可能性事件的

概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深

刻 , 错 误 地 认 为 基 本 事 件 总 数 为 11( 点 数 和 等 于
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) ,或者将点数和为 4 的事件错误地

计算为(1,3)(2,2)两种,从而导致出错.

解析 将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x,y),

则共可得点坐标的个数为6×6=36,
而向上点数之和为 4 的点坐标有 (1,3) , (2,2) , (3,1) ,共 3 个, 3 1 故先后掷 2 次, 出现向上的点数之和为 4 的概率 P=36=12. 1 故填12. 1 答案 12

易错点3 几何概型中“测度”确定不准 例3 在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;

(2)在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段
AB交于点M,求AM<AC的概率.

错因分析

本题易出现的问题是混淆几何概型中对事件的

度量方式,不注意题中两问中点M生成方式的差异,误以为

该题两问中的几何概型都是用线段的长度来度量造成错解.
解 (1)如图所示,AB= 2AC.

由于点M是在斜边AB上任取的,
所以点M等可能分布在线段AB上, 因此基本事件的区域应是线段AB. 2 AC 所以 P(AM<AC)= =2. 2AC

(2) 由 于 在 ∠ABC 内 作 射 线 CM , 等 可 能 分 布 的 是 CM 在
∠ACB内的任一位臵(如图所示), 因此基本事件的区域应是∠ACB, π π-4 ∠ACC′ 2 3 所以 P(AM<AC)= = π =4. ∠ACB 2

易错点4 互斥事件概念不清 例4 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹 . 设 A = { 两

次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹
击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},其中彼此互为互

斥事件的是________;互为对立事件的是________.

错因分析

对事件互斥意义不明确,对事件的互斥与对

立之间的关系不清楚,就会出现错误的判断.对立事件和 互斥事件都不可能同时发生,但对立事件必有一个要发

生,而互斥事件可能都不发生.所以两个事件都对立,则
两个事件必是互斥事件;反之,两事件是互斥事件,但

未必是对立事件.

解析 因为A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?,B∩D=?,
故A与B,A与C,B与C,B与D为彼此互斥事件,

而B∩D=?,B∪D=Ω,
故B与D互为对立事件. 答案 A与B,A与C,B与C,B与D;B与D

易错点5 排列、组合问题混淆
例5 如图所示,A,B,C,D是海上的四个小岛, 要建三座桥,将这四个岛连接起来,不同的建桥 方案共有多少种? 错因分析 搞不清几个元素之间有无顺序,混淆排列与组

合的区别.

解 由题意可能有两种结构,如图: 第一种: ,第二种:

对于第一种结构,连接方式只需考虑中心位臵的情况,共有 C1 4种方法.
2 对于第二种结构,有 C2 A 4 2种方法.
2 2 ∴总共有 C1 + C 4 4A2=16(种).

易错点6 事件理解不准 例6 某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留

到小数点后第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.

错因分析

这是一个5次独立重复试验的概率模型.解本题

容易出错的地方,一是对 “ 恰有 2 次 ”“ 至少有 2 次 ” 理
解错误,误用二项分布;二是对随机事件 “5次预报中恰

有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确 ” 的意义理解错误,
不能把问题归结为只要在第 1,2,4,5 次预报中预报 1次准确 即可,出现仍然用5次独立重复试验模型解决问题的错误.

4 解 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数, 则 X~B(5, 5), 4 5-k k 4 k 故其分布列为 P(X=k)=C5(5) (1-5) (k=0,1,2,3,4,5).

(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为
42 43 16 2 P(X=2)=C5×( ) ×(1- ) =10× × 5 5 1 25 125≈0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为
P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)
40 45 4 44 0 1 =1-C5×( ) ×(1- ) -C5× ×(1- ) 5 5 5 5

=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.
(3)“5 次预报中恰有 2 次准确, 且其中第 3 次预报准确”的 概率为 4 43 4 1 C4× ×(1- ) × ≈0.02. 5 5 5

易错点7 随机变量分布列的性质用错 例7 已知随机变量X的概率只能取三个值a,b,c,其概 本题将随机变量的分布列与等差数列联系起来, 率依次成等差数列,则公差d的取值范围是______. 错因分析 知识跨度大,考生往往审题不清,不能从分布列的性质以 及等差数列的性质入手解题,或者考虑问题不全面而导致 错解.

解析 由已知,得a+b+c=1,而2b=a+c, 1 所以 3b=1,b=3. 1 1 又 a=3-d,c=3+d, 1 2 1 2 根据分布列的性质,得 0≤3-d≤3,0≤3+d≤3, 1 1 所以-3≤d≤3, 1 1 此即为公差 d 的取值范围.故填[-3,3]. 答案 [-1,1] 3 3

查缺补漏

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.如图是2015年某大学自主招生面试环节中, 七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据 的平均数和众数依次为( A.85,84 )

B.84,85C.86,84 D.84,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

解析

由图可知,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩

数据为84,84,84,86,87.
84+84+84+86+87 ∴平均数为 =85,众数为 84. 5

答案 A

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2.一组数据3,4,5,s,t的平均数是4,这组数据的中位数是m, 对于任意实数s,t,从3,4,5,s,t,m这组数据中任取一个, 取到数字4的概率的最大值为( D ) 1 1 1 A.6 B.3 C.2
2 D.3 s+t 解析 由 3,4,5, s, t 的平均数是 4 可得 2 =4, 易知 m=4, 4 2 所以当 s=t=4 时,取到数字 4 的概率最大,且为 P=6=3.

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3.(2014· 湖北)根据如下样本数据
x y 3 4.0 4 2.5
^

5 -0.5
^ ^

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

得到的线性回归方程为 y=bx+a,则(
A.a>0,b>0 C.a<0,b>0
^ ^ ^ ^

)

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0
^ ^

^

^

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解析 作出散点图如下:

观察图象可知,回归直线 y=bx+a 的斜率b <0,
当 x=0 时,y=a >0.故a>0,b<0.
^ ^ ^ ^

^

^

^

^

答案 B

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4. 某电视台节目开展亲子闯关游戏,其规则是:父母两人 蒙上眼睛在流水滑板上相互扶持爬过,并将水中的7个粉色 气球与 3 个蓝色气球随意用身体挤破 ( 这些气球的形状都相 同,随意漂浮在身旁,且都在父母所触及的范围内).已知小 光的父母参加游戏,并在第1次挤破一个蓝色气球,则他们 第2次挤破的是粉色气球的概率为(
3 A.10 2 B.9 7 C.8

)
7 D.9

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解析 方法一 设事件A为“第1次挤破的是蓝色气球”, 事件B为“第2次挤破的是粉色气球”,
3 3 7 7 则 P(A)=10,P(AB)=10×9=30.

7 P?AB? 30 7 所以所求的概率为 P(B|A)= = 3 =9. P?A? 10

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方法二 第1次挤破的是蓝色气球, 则还剩下2个蓝色气球和7个粉色气球,
7 从剩余的 9 个气球中任取 1 个粉色气球挤破的概率为 9.

答案 D

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5.如图,矩形ABCD中,点E为边CD上任意一点,
若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取 自△ABE内部的概率等于( C ) 1 1 1 A.4 B.3 C.2 解析 这是一道几何概型的概率问题,
2 D.3

1 AB· AD S△ABE 2· 1 点 Q 取自△ABE 内部的概率为 = AB· = . AD 2 S矩形ABCD 故选C.

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6.某企业三个分厂生产同一种电子产品,

三个分厂产量分布如图所示,现在用分
层抽样方法从三个分厂生产的该产品中

共抽取100件做使用寿命的测试,则第
一分厂应抽取的件数为 ________ ;由所得样品的测试结果计算 出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为 1 020小 时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均 使用寿命为________小时.

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解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%=50; 该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015小时. 答案 50 1 015

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6 . 7.(2015· 广东)在( x-1)4 的展开式中, x 的系数为 ____
解析 由题意可知 Tk+1=Ck 4( x)
4-k

(-1) ? C ( ?1) x ,
k
k 4 k

4? k 2

4-k 令 2 =1 解得 k=2,
2 所以展开式中 x 的系数为 C2 ( - 1) =6. 4

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3 8.已知某人投篮的命中率为 4, 则此人投篮 4 次, 至少命中 3 189 256 . 次的概率是 ________ 解析 该人投篮4次,命中3次的概率为 ? ? ? 3? ? 27 3?3?3? P1=C4?4? ?1-4?=64; ? ? ? ? ? ? 81 4?3?4 该人投篮 4 次,命中 4 次的概率为 P2=C4?4? =256, ? ? 27 81 189 故至少命中 3 次的概率是 P=64+256=256.

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9.某路段检查站监控录像显示,在某时段内,有1 000辆汽
车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析, 分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图,则估计在 这一时段内通过该站的汽车中车速不小于 90 km/h 的约有 ________辆.(注:分析时车速均取整数)

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解析

由图可知,车速大于等于90 km/h的车辆未标出频率,而小于90

km/h的都标出了,故考虑对立事件.

由题图知车速小于 90 km/h 的汽车总数的频率之和为 (0.01 + 0.02 +
0.04)×10=0.7, 所以车速不小于90 km/h的汽车总数的频率之和为1-0.7=0.3. 因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h的汽车有 1 000×0.3=300(辆).

答案 300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10.一个袋装有形状大小完全相同的球9个,其中红球3个, 白球6个,每次随机取一个,直到取出3个红球即停止. (1)从袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1;
2 1 3 C3 C6A3 1 解 P1= A4 =28. 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(2)从袋中有放回地取球,
①求恰好取5次停止的概率P2; ②求5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ的分布列及数学期望.
解 1 21222 8 ①P2=3C4(3) (3) =81;

②随机变量ξ的取值分别为0,1,2,3. 由n次独立重复试验概率公式

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k n-k P(k)=Ck p (1 - p ) ,得 n
0 1 0 2 5 P(ξ=0)=C5( ) ( ) =

3 3

32 , 243

1 1 1 2 4 P(ξ=1)=C5( ) ( ) =

3 3
3 3

80 243 ,
80 243 ,

2 1 2 2 3 P(ξ=2)=C5( ) ( ) =

32+80×2 17 P(ξ=3)=1- =81. 243

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

随机变量ξ的分布列为
ξ P 0 32 243 1 80 243 2 80 243 3 17 81

ξ的数学期望为
32 80 80 17 131 E(ξ)=0×243+1×243+2×243+3×81= 81 .


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