2013—2014学年度第一学期期末考试(高一数学答案)

2013—2014 学年度第一学期期末考试 高一数学试题及答案
（共 8 页）

2014.1

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上. 1. 若 cos? ? 0 ，且 tan? ? 0 ，则角 ? 的终边所在象限是 A．第一象限
2

（ D ） D．第四象限

B．第二象限

C．第三象限

2.已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ， B ? {x ? N | 1 ? x ? 3} ，则 A ? B ? ( D ） A. {?1,1,2,3} 3. 函数 y ? A. ?? ?,1? 4. sin 600 的值为
?

B. {?1}

C. {1,2}

D. {3} ( C )

log 0.5 x 的定义域为
B. ?? ?,1? C. ?0,1? D. ?0,1?

（ D ） B. ?

A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5.由函数 y ? sin 2 x 的图象得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象，所经过的变换是（ C ）

? 个单位 3 ? C．向左平移 个单位 6
A．向左平移

? 个单位 3 ? D．向右平移 个单位 6
B．向右平移 （ D ） D． y ? lg | x | （ B ）

6. 下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,??) 上单调递增的是 A． y ?

1 x
?1

B． y ? e

?x

C y ? ?x ?1
．

2

7.已知 a ? log 2 3 ， ( ) ? 5 ， c ? log 3 2 .则 a, b, c 的大小关系为
b

1 2

A． a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

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8. 已知函数 f ( x ) ? ? A. 0

?e x ? 1 ( x ? 1) ，那么 f (ln 2) 的值是 ?ln x ( x ? 1)
B. 1 C. ln(ln 2) D. 2

( B )

9. 若函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) 的图象（部分）如图所示，则 ?和? 的取值是 （ C ） A． ? ? 1, ? ? C. ? ?

?
6

B． ? ? 1, ? ? D． ? ?

?
3
?

y

2

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ,? ? 2 3

? O 2?
3

x

3

10.以速度 v （常数）向右图所示的瓶子注水，则水面高度 h 与时间 t 的函数关系是（ B ）

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡内. 11. 已知 log 0.6 (2m) ? log 0.6 (m ? 1) ，则 m 的取值范围是 . (1,??)

12.如图，在单位长度为 1 的网格中，

? c

? ? ? ? ? ? 有三个向量 a , b , c .若 c ? ?a ? ?b ，

? b

? a 5 6 则 (? , ? ) ? . ( ? ,? ) 7 7 ?? ? ? ? ? ? ? c ? 0 ,则 t ? 13. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ·
14.已知 y ? tan x(? 15.已知 f ( x) ? x

2 .

?
2

?x?

?
2

) .若 y ? ? 3 ，则自变量 x 的取值范围是 [?

? ?

, ). 3 2

a 2 ? 4 a ?9

是偶函数，且在 (0,??) 上是减函数，则整数 a ? ? 1,1,3,5 .
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16.已知函数 f ( x) ， g ( x) 如下表所示：

x
f ( x)

1 5

2 4

3 3

4 2

5 1

x
g ( x)

5 4

4 3

3 2

2 1 .

1 5

则 f ( g (2)) ?

5

；不等式 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 的解集为 {2,3,4}

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 10 分） （Ⅰ）已知 tan? ?

1 ，求 sin ? cos? 的值. 3

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点 A(1,2) 、 B(3,4) 、 C (5,0) .求 ?BAC 的余弦值. （Ⅰ）解：由题意和基本三角恒等式，列出方程组

?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? ? sin ? 1 ? ? ? cos? 3
2

① ②
2

…………2 分

由②得 cos? ? 3 sin ? ，代入①整理得 10 sin ? ? 1 ， sin ? ?

1 10

…………3 分 …………5 分 …………7 分 …………8 分

sin ? cos? ? sin ? ? 3 sin ? ? 3 sin 2 ? ?
（Ⅱ）解：因为

3 . 10
AC ? (4,?2) ， | AC |? 20

AB ? (2,2) ， | AB |? 8 ，

所以 cos ?BAC ?

AB· AC | AB || AC |

?

(2,2)· (4,?2) 8 ? 20

?

10 10

…………10 分

另解：如图， AD // x 轴，设 ?CAD ? ? , ?BAD ? ? ， 则 tan? ?

1 , tan ? ? 1 ，则 tan ?BAC ? tan(? ? ? ) 2

?

10 tan ? ? tan ? ? 3 ，所以， cos ?BAC ? ?? ? . 10 1 ? tan ? tan ?

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18. （本小题满分 12 分） 如图，定义在 [?1,5] 上的函数 f ( x) 由一段线段和抛物线的一部分组成. （Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式； （Ⅱ）指出函数 f ( x) 的自变量 x 在什么范围内取值时， ? 1 函数值大于 0 ，小于 0 或等于 0 （不需说理由）. 解： （Ⅰ）(1)当图象为线段时，设解析式为 y ? kx ? b ， 因为点 (?1,?1), (0,1) 在图像上，

y

1
O

1 ?1

4 5
…………1 分 …………2 分

x

所以 ?

?k ? (?1) ? b ? ?1 ，解得 k ? 2, b ? 1 ?k ? 0 ? b ? 1

…………3 分

所以此时解析式为 y ? 2 x ? 1 . (2)当图象为抛物线的一部分时，因为有两个零点 1,4 ， 所以设解析式为 y ? a( x ? 1)( x ? 4) ， 因为点 (0,1) 在图像上，所以 1 ? a ? (0 ? 1) ? (0 ? 4) ，解得 a ? 所以此时解析式为 y ?

…………4 分

…………6 分

1 ,…………7 分 4
…………8 分

1 ( x ? 1)( x ? 4) . 4

(?1 ? x ? 0) ?2 x ? 1 ? 所以 f ( x) ? ? 1 . ( x ? 1)( x ? 4) (0 ? x ? 5) ? ?4
（Ⅱ）当 x ? (?

…………9 分

1 ,1) ? (4,5] 时，函数值大于 0 ； 2 1 当 x ? [?1,? ) ? (1,4) 时，函数值小于 0 ； 2 1 当 x ? ? ,1,4 时，函数值等于 0 . 2

…………10 分 …………11 分 …………12 分

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19. （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x .
2

（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期； （Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0,

] 上的最大值和最小值. 2 2 解： （Ⅰ） f ( x) ? cos x ? sin x cos x
?

?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2 1 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2
2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

…………3 分

=? =?

…………5 分

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? （Ⅱ）由 0 ? x ? 所以 ?

2? ?? . 2 ? 2x ?

…………6 分

?
2

，得 ?

?
4

?
4

?

3? ， 4
…………8 分

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ， 2 4

所以当 2 x ?

?
4

??

?
4

，即 x ? 0 时，

f ( x) max ? ?
当 2x ?

2 2 1 ? (? ) ? ? 1； 2 2 2

…………10 分

?
4

?

?
2

，即 x ?

3? 时， 8
…………12 分

f ( x) min ? ?

2 1 1? 2 ?1 ? ? . 2 2 2

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20. （本小题满分 12 分） 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数，且当 x ? [0,??) 时， f ( x) ? （Ⅰ）求 f ( x) 的解析式； （Ⅱ）运用函数单调性定义证明 f ( x) 在定义域 R 上是增函数. （Ⅰ）解：当 x ? 0 时， ? x ? 0 ，因为 f ( x) 是 R 上的奇函数， 所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? x ， 所以 f ( x) ? ? …………3 分

x.

? ?? ? x , ? ? x,

x ? (??,0) x ? [0,??)

.

…………4 分

（Ⅱ）证明：设 x1 , x2 ? (??,??) ，且 x1 ? x2 ， （1）若 x1 , x2 ? (??,0) ， 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? x 2 ? (? ? x1 )

…………5 分

…………6 分 …………7 分

? ? x1 ? ? x 2
? ( ? x1 ? ? x 2 )( ? x1 ? ? x 2 ) ? x1 ? ? x 2

…………8 分

?

( x 2 ? x1 ) ? x1 ? ? x 2

? 0 ，所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) .

…………9 分

（2）当 x1 ? (??,0) ，且 x2 ? [0,??) 时， f ( x1 ) ? ? ? x1 ? 0 ，

f ( x2 ) ?

x 2 ? 0 ，所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) .

…………10 分 …………11 分

（3） x1 , x2 ? [0,??) 时，与（1）类似可证， f ( x2 ) ? f ( x1 ) .

综合（1） （2） （3）可知 x1 , x2 ? (??,??) ，且 x1 ? x2 时， f ( x2 ) ? f ( x1 ) . 所以 f ( x) 在定义域 R 上是增函数. …………12 分

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21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? log a (1 ? x) ， g ( x) ? log a (1 ? kx) ，其中 a ? 0 且 a ? 1 . （Ⅰ）当 k ? ?2 时，求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的定义域； （Ⅱ）若函数 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) 是奇函数（不为常函数） ，求实数 k 的值.

解： （Ⅰ）由题意知 ?

?1 ? x ? 0 1 ，解得 ? 1 ? x ? ， 2 ?1 ? 2 x ? 0

…………2 分

所以当 k ? ?2 时，函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的定义域为 (?1, ) . …………3 分 （Ⅱ） H ( x) ? f ( x) ? g ( x)

1 2

? log a (1 ? x) ? log a (1 ? kx) ，其中 a ? 0 且 a ? 1 .
因为 H ( x) 为奇函数，所以 H ( x) ? H (? x) ? 0 ， 即 log a (1 ? x) ? log a (1 ? kx) ? log a (1 ? x) ? log a (1 ? kx) ? 0 ， 即 log a (1 ? x ) ? log a (1 ? k x ) ，
2 2 2

…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分

所以 1 ? x ? 1 ? k x ，
2 2 2

所以 k ? ?1， 当 k ? 1 时， H ( x) ? 0 与题设不为常函数矛盾.

当 k ? ?1时， H ( x) ? log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ，其中 a ? 0 且 a ? 1 . 定义域为 (?1,1) ，且 H (? x) ? ? H ( x) ，所以 H ( x) 为奇函数. 所以 k ? ?1. …………12 分

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22. （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? 1. （Ⅰ）设 ? 为大于 0 的常数，若 f (?x) 在区间 [? 范围； （Ⅱ）设集合 A ? {x |

? 2?
2 , 3

] 上单调递增，求实数 ? 的取值

?
6

?x?

2? } ， B ? {x || f ( x) ? m |? 2} ，若 A ? B ? B ，求实数 3

m 的取值范围.
解： （Ⅰ） f (?x) ? 2 sin ?x ? 1 由? 得?

?
2

? 2k? ? ?x ?

?
2

? 2k? ，

…………1 分

? 2k? ? 2k? ， …………2 分 ? ?x? ? 2? ? 2? ? ? 2k? ? 2k? 所以 f (?x) 的单调递增区间为 [? ? , ? ]( k ? Z ) ， ………3 分 2? ? 2? ? ? 2? 因为 f (?x) 在区间 [? , ] 上单调递增，
所以 [?

? 2?
2 , 3

] ? [?

? ? , ]， 2? 2?

2

3

…………5 分

? ? ? ? ?? ?? ? 1 ? 3 ? 2 ? 2? 所以 ? ，即 ? 3 ，所以 0 ? ? ? . 4 ?? ? ? 2? ? ? 4 ? ? 2? ? 3
（Ⅱ）由 | f ( x) ? m |? 2 ，得 ? 2 ? f ( x) ? m ? 2 ， 即 m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2 ， 因为 A ? B ? B ，所以 A ? B ， 当

…………7 分

…………8 分

?
6

?x?

2? 时， 1 ? f ( x) ? 3 ， 3

…………10 分

所以 ?

?m ? 2 ? 1 ，解得 1 ? m ? 3 . ?m ? 2 ? 3
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…………12 分