9月6号应用14-2 5.1角的概念推广


【课题】5.1.1 任意角的概念 【教学目标】
知识目标: ⑴ 了解角的概念推广的实际背景意义; ⑵ 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念. 能力目标: (1)会判断角所在的象限; (2)会求指定范围内与已知角终边相同的角; (3)培养观察能力和计算技能.

【教学重点】
终边相同角的概念.

【教学难点】
终边相同角的表示和确定.

【教学设计】
(1)以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广; (2)在演示——观察——思维探究活动中,使学生认识、理解终边相同的角; (3)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法.

【教学备品】
教学课件、学习演示用具(两个硬纸条一个扣钉) .

【课时安排】
1 课时.(45 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 5.1 角的概念推广 *创设情景 兴趣导入 问题 1 游乐场的摩天轮,每一个轿厢挂在一个旋臂上,小明与小 华两人同时登上摩天轮,旋臂转过一圈后,小明下了摩天轮, 质疑 思考 介绍 了解

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
利用 实际 问题 引起 学生 的好

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
奇心 提问 求解 和求 知欲

小华继续乘坐一圈.那么,小华走下来时,旋臂转过的角度是 多少呢? 问题 2 用活络扳手旋松螺母,当扳手按逆时针方向由 OA 旋转到 OB 位置时,就形成一个角 ;在扳手由 OA 逆时针旋转一 讨论 说明

生活 实例 有助 于学 交流 总结 理解 生理 解角 的推 广的 意义

周的过程中, 就形成了 0° 到 360° 之间的角; 扳手继续旋转下去, 就形成大于 的角.如果用扳手旋紧螺母,就需将扳手按 的角.

顺时针方向旋转,形成与上述方向 归纳

通过上面的三个实例,发现仅用锐角或 0°? 360° 范围的 角,已经不能反映生产、生活中的一些实际问题,需要对角的 概念进行推广. *动脑思考 探索新知 概念 一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O ,按逆时针 (或顺时针)方向旋转到另一位置 OB 就形成角 ? .旋转开始 位置的射线 OA 叫角 ? 的始边,终止位置的射线 OB 叫做角 ? 的终边,端点 O 叫做角 ? 的顶点. 规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 (如图 (1) ) , 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角(如图(2) ) .当射线 没有作任何旋转时,也认为形成了一个角,这个角叫做零角. 仔细 分析 讲解 关键 点 理解 说明 思考

结合 图形 讲解 角的 图形 可以 加入 学生 的举 例

(1) 类型

(2) 引导

记忆

明确 角的 类型

经过这样的推广以后,角包含任意大小的正角、负角和零 角. 表示 强调 明确

完成

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
角的 推广

除了使用角的顶点与边的字母表示角, 将角记为 “∠AOB” 或“∠O”外,本章中经常用小写希腊字母 ? 、 ? 、 ? 、? 来 表示角. 概念 数学中经常在平面直角坐标系中研究角.将角的顶点与坐 标原点重合,角的始边在 x 轴的正半轴,此时,角的终边在第 几象限,就把这个角叫做第几象限的角(或者说这个角在第几 象限) . 如图所示,30° 、390° 、?330° 都是第一象限的角,120° 是 第二象限的角,?120° 是第三象限的角,?60° 、300° 都是第四象 限的角. 展示 观察

象限 引导 领会 角可 以引 导学 生一 步步 自然 得出

强调 特殊 强调 理解 终边在坐标轴上的角叫做界限角,例如,0° 、90° 、180° 、 270° 、360° 、?90° 、?270° 角等都是界限角. *运用知识 强化练习 教材练习 5.1.1 2.在直角坐标系中分别作出下列各角,并指出它们是第几象 限的角: ⑴ 60° ; ⑵ ?210° ; ⑶ 225° ; ⑷ ?300° . 提问 巡视 思考 动手 求解 指导 交流 反馈 学习 状态 巩固 知识 情况

*动手操作 实验观察 用图钉联结两根硬纸条,将其中一根固定在 OA 的位置, 演示 将另一根先转动到 OB 的位置,然后再按照顺时针方向或逆时 操作 针方向转动, 观察木条重复转到 OB 的位置时所形成角的特征. *问题引导 实践探究 问题 在直角坐标系中作出 390° 、?330° 和 30° 角,这些角的终边 质疑

动手 操作 由具 体的 思考 问题 实际

教 过
有何关系? 探究

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
提问 求解 操作 引导 学生 引导 领会 一步 步的 体会 分析 理解 终边 相同 角的 含义 讲解 明确 总结 自然 得出 结论

390° =30° +1× 360° ; ?330° =30° +(-1)× 360° . 即 390° 、 ?330° 与 30° 角之差都是 360° 角的整数倍数, 它们 是射线绕坐标原点旋转到 30° 角的终边位置后,分别继续按逆 时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角. 推广 与 30° 角终边相同的角还有: 750° =30° +2× 360° ; 1110° =30° +3× 360° ; …… -690° =30° +(-2)× 360° ; -1050° =30° +(-3)× 360° ; ……

所有与 30° 角终边相同的角的度数, 与 30° 角的度数之差都 恰好为 360° 的整数倍数.它们(包括 30° 角)都可以表示为

(k ? Z) 的形式.因此,与 30° 30° + k ? 360° 角终边相同的角的
集合为 S ? { ? ︱ ? ? 30? ? k ? 360? , k ? Z } .

*动脑思考 探索新知 一般地,与角 ? 终边相同的角(包括角 ? 在内) ,都可以 表示为 ? ? k ? 360? (k ? Z) 的形式. 与角 ? 终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为
S ? { ? ︱ ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z } .
?

说明

理解

强调 概念 的关

强调

记忆

键点

*巩固知识 典型例题 例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把其中在 ⑵ ?114°26′. 质疑 观察 安排 与知 识点 说明 思考 对应 的例 题巩

?360° ~720° 内的角写出来:⑴ 60° ;

分析 首先要写出与已知角终边相同的角的集合 S ,然后选取 整数 k 的值,使得 ? ? k ? 360? 在指定的范围内. 解 ⑴ 与 60° 角终边相同的角的集合是 { ? ︱ ? ? 60? ? k ? 360? , k ? Z } .

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
讲解 主动 求解 固新 知

当 k ? ?1 时 , 60? ? (?1) ? 360? ? ?300? ; 当 k ? 0 时 ,
60? ? 0 ? 360? ? 60? ;当 k ? 1 时, 60? ? 1? 360? ? 420? .所以在

?360° ~720° 之间与 60° 角终边相同的角为 ?300? 、 60? 和 420? . ⑵ 与?114°26′角终边相同的角的集合是
S ? { ? ︱ ? ? ?114? 26? ? k ? 360? , k ? Z } .

说明

思考 计算 部分 可以

当 k ? 0 时, ?114? 26? ? 0 ? 360? ? ?114? 26? ; 当 k ? 1 时, ?114 26? ? 1? 360 ? 245 34? ;
? ? ?

引领

理解

教给 学生 完成

当 k ? 2 时, ?114? 26? ? 2 ? 360? ? 605?34? . 所以在 ?360° ~ 720° 之间与 ?114? 26? 角终边相同的角为
?114? 26? 、 245?34? 和 605?34? .

例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合. 分析 在 0° ~360° 范围内,终边在 y 轴正半轴上的角为 90° ,

分析

领会

利用 观察

终边在 y 轴负半轴上的角为 270° ,因此,终边在 y 轴正半轴、 总结 负半轴上所有的角分别是
k ? 360? ? 90? ? 2k ? 180? ? 90? ,

求解

图像 加强 问题 的理

k ? 360? ? 270? ? (2k ? 1) ? 180? ? 90? ,

讲解

理解



其中 k ? Z .⑴式等号右边表示 180° 的偶数倍再加上 90° ;(2) 式等号右边表示 180° 的奇数倍再加上 90° ,可以将它们合并为 180° 的整数倍再加上 90° . 解 终边在 y 轴上的角的集合是
S ? { ? ︱ ? ? n ? 180? ? 90? , n ? Z } .

引领

明确

强调 规范 写法

当 n 取偶数时, 角的终边在 y 轴正半轴上; 当 n 取奇数时, 角的终边在 y 轴负半轴上.

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

*运用知识 强化练习 教材练习 5.1.2 1. 在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指 出它们是哪个象限的角: ⑴ 405° ; ⑵ ? 165° ; ⑶ 1563° ; ⑷ ? 5421° . 提问 思考 及时 了解 巡视 动手 求解 学生 知识 掌握 情况 指导 ⑷ 1330° . 培养 引导 回忆 学生 总结 *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? *继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.1; (2)书面作业: 学习与训练 5.1; (3)实践调查: 生活中角的概念的推广实例. 说明 记录 对 焦 的 课后小结:对角的正负学生一时不习惯,需要多练习才能加深对角的理解,下次上课时需要 先用生活中简单的问题来考察学生对角的理解,这样学生会更有印象。 提问 反思 交流 反思 学习 过程 能力 交流

2. 写 出 与 下 列 各 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 , 并 把 其 中 在 ?360° ~360° 范围内的角写出来: ⑴ 45° ; ⑵ ?55° ; ⑶ ?220°45′;

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

板书设计

5.1.1 任意角的概念 一、角的概念 二、象限角

例1

5.1.1 任意角的概念 例2 例3


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