湖北省黄冈中学2010届高三10月月考理科数学试题


湖北省黄冈中学 2010 届高三 10 月份月考 数学试题 理科

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
a 1.已知集合 M ? 3 , 2 , N ? ?a , b? ,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ?

?

?

A. ?1, 2, 3?

B. ?0, 2, 3?

C. ?0,1, 2?

D. ?0,1, 3?

2.已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

12 ,则 cos A ? 5 5 5 B. C. ? 13 13

D. ?

12 13

3.已知两点 P(4, ?9) , Q(?2,3) ,则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为 A.

??? ?

1 3

B.

1 2

C. 2

D. 3

4.记等比数列 {an } 的公比为 q ,则“ q ? 1 ”是“ an?1 ? an (n ? N * ) ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? ?1 ? log2 A. 4
x

x 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x ? 1) ?
D. 2
x ?1

B. 4

x ?1

C. 2

x

6.同时具有性质: “①最小正周期为 ? ;②图象关于直线 x ? 数是 A. y ? sin( ?

?
3

对称;③在 ? ?

? ? ?? 上是增函数”的一个函 , ? 6 3? ?

x ? ) 2 6

C. y ? sin(2 x ?

?

6

)

) 3 5? ) D. y ? sin(2 x ? 6
3

B. y ? sin(2 x ?

?

7.已知函数 f ( x) ? log 1 (2 x2 ? x) ,则 f ( x ) 的单调增区间为

1 1 1 A. (??, ? ) B. (? , ??) C. (0, ??) D. (??, ? ) 4 4 2 B、 C 是锐角 ?ABC 的三个内角,向量 p ? (1 ? sin A,1 ? cos A) , q ? (1 ? sin B, ?1 ? cos B) ,则 8.已知 A、 p 与 q 的夹角是
A.锐角

??? ? ??? ? ??? ? 9.设 G 是 ?ABC 的重心,且 (56sin A)GA ? (40sin B)GB ? (35sin C)GC ? 0 ,则 B 的大小为
A.45° B.60° C.30° D.15°

B.钝角

C.直角

D.不确定

3 1 1 1 2 * ?? ? 10.数列 ?an ? 满足 a1 ? , an?1 ? an ? an ? 1(n ? N ) ,则 m ? ? 的整数部分是 2 a1 a2 a2009 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. 11.已知 sin(

?
6

??) ?

1 2? ? 2? ) ? ,则 cos( 3 3

. .

12.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?2,1) ,则 a 在 b 方向上的投影等于 13.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如

2 图所示, f ( ) ? ? ,则 f (0) ? 2 3

?

y

. O

?
?2 3

2

7? 12

11? 12
x

y=f(x)

第 13 题图

14 .已知数列 ?an?、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , a1 、 b1 ? N * .设 ?bn? 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、

cn ? abn (n ? N * ) ,则数列 ?cn? 的前 10 项和为
15.已知函数 f ? x ? ?



sin ? x . ? x ? 1?? x2 ? 2x ? 2?
2

(Ⅰ)方程 f ( x) ? 0 在区间 [?100,100] 上实数解的个数是__________; (Ⅱ)对于下列命题:① 函数 f ? x ? 是周期函数; ② 函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ? x ? 的定义域是 R,且其图象有对称轴; ④对于任意 x ? (?1,0) , f ?( x) ? 0 ( f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数) . 其中真命题的序号是 . (填写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)

?ABC 中,角 A、、 B C 的对边分别为 a、、 b c ,且 lg a ? lg b ? lgcos B ? lgcos A ? 0 .
(1)判断 ?ABC 的形状; (2)设向量 m ? (2a, b) , n ? (a, ?3b) ,且 m ? n , (m ? n) ? (?m ? n) ? 14 ,求 a, b, c .

17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 3 sin( x ?
2

?

) cos( x ? ) ? cos 2 x ? 3 . 4 4

?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间; (2)求 f ( x ) 在 ( ?

, ) 上的值域. 12 36

? 25?

18.(本题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AB ? 8, AC ? 3, BC ? 7 , A 为圆心,直径 PQ ? 4 ,求 BP ? CQ 的 最大值、最小值,并分别指出取得最值时 BC 与 PQ 夹角的大小.

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

P

A Q

C B 第 18 题图

19.(本题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a(a ? 0) ,不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素, 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? f (n) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; ( 2 )设 各项 均不 为 0 的数列 ?cn? 中 , 满足 ci ? ci?1 ? 0 的 正 整数 i 的 个 称 作数 列 ?cn? 的 变号 数, 令 .数 .

cn ? 1 ?

a (n ? N * ) ,求数列 ?cn? 的变号数. an

20.(本题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? ( ) , x ? ? ?1,1? ,函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 的最小值为 h(a) .
x

1 3

(1)求 h(a) 的解析式; ( 2)是否存在实数 m , n 同时满足下列两个条件:① m ? n ? 3 ;②当 h(a) 的定义域为 ? n , m? 时,值域为
2 2 ? ?n , m ? ? ?若存在,求出 m , n 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an ? (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 令 bn ?

n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N * ) . n ?1

3n ?1 (n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S2n 与 n 的大小; an
an ?1 2cn } 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意 n ? N * ,都有 Tn ? 2 . (n ? N * ) ,数列 { 2 n ?1 (cn ? 1)

(Ⅲ) 令 cn ?

参考答案
1 答案:A 解析:由题易知 a ? 1, b ? 2 . 2 答案:D 解析:由 cot A ? ? 求得 cos A ? ? 3 答案:C 解析:设所求的分比为 ? ,则由 0 ? 4 答案:D 解析:可以借助反例说明:①如数列: ?1, ?2, ?4, ?8,? 公比为 2 ,但不是增数列; ②如数列: ?1, ? , ? , ? ,? 是增数列,但是公比为 5 答案:A 解析:由题 f ( x) ? 4 x?1 ,故 f ( x ? 1) ? 4 x . 6 答案:C 解析:逐一排除即可. 7 答案:D 解析:令 2 x ? x ? 0 且 x ? ?
2

cos A 12 12 ? ? , sin 2 A ? cos2 A ? 1 知 A 为钝角,又 cot A ? sin A 5 5

12 . 13 4 ? (?2)? ?? ? 2. 1? ?

1 2

1 4

1 8

1 ? 1. 2

1 1 ,即得 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ? ) . 4 2

8 答案:A 解析:锐角 ?ABC 中, sin A ? cos B ? 0 ,sin B ? cos A ? 0 , 故有 p ? q ? (1 ? sin A)(1 ? sin B) ? (1 ? cos A)(1 ? cos B) ? 0 ,同时易知 p 与 q 方向不相同,故 p 与 q 的夹角 是锐角. 9 答案:B 解析:由重心 G 满足 GA ? GB ? GC ? 0 知, 56sin A ? 40sin B ? 35sin C

??? ? ??? ? ??? ?

1 1 1 sin A sin B sin C k ,b ? k ,c ? k ,故可令三边长 a ? ? ? 1 1 1 56 40 35 56 40 35 1 取 k ? 5 ? 7 ? 8 ,则 a ? 5, b ? 7, c ? 8 ,借助余弦定理求得 cos B ? . 2
同时由正弦定理, 10 答案:B 解析:由题 an?1 ? an (an ?1) ? 1 ,则

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ,故有 an ? 1 an an an ? 1 an?1 ? 1

m?

37 1 1 1 1 ? 2 且 an?1 ? an ,故 ? ? 2? ? (0,1) ,所以 m ? (1, 2) , ,由于 a3 ? 16 a1 ? 1 a2010 ? 1 a2010 ? 1 a2010 ? 1

其整数部分是 1 .

7 . 9 2? ? ? ? 1 ? 2? ) ? 2cos 2 ( ? ? ) ? 1 ,且 cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 解析: cos( 3 3 3 6 3 2? 7 ? 2? ) ? ? . 所以 cos( 3 9
11 答案: ? 12 答案: ?

5 5

解析: a 在 b 方向上的投影为 a cos a, b ? a

a ?b a ?b 5 . ? ?? a b b 5

13 答案:

2 3

解析:由图象可得最小正周期为 所以 f (0) ? f ( 14 答案: 85

2? ? 7? 2? 2? ? 2 ) ,注意到 )??f( )? . 与 关于 对称,故 f ( 3 12 3 2 3 2 3

2? . 3

解析:设 an ? a1 ? n ? 1 , bn ? b1 ? n ?1 ,则 cn ? ab1?n?1 ? a1 ? (b1 ? n ?1) ?1 ? n ? 3 .

(4 ? 13) ?10 ? 85 . 2 15 答案: 201 ;②③
所以 S10 ? 解析: (Ⅰ)由于 x2 ? 1 ? 0, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,故 f ( x) ? 0 ? sin ? x ? 0 ? x ? k , k ? Z 在 [?100,100] 中的整数个数 N ? 201 故 f ( x) ? 0 在区间 [?100,100] 上实数解的个数为 201 .
2 2 (Ⅱ)命题①:由分母为 ( x ? 1) ? ?(1 ? x) ? 1? ? ,易知 f ( x) 不是周期函数,故为假命题;

命题②:由于 f ( x ) 是 R 上的连续函数,且 lim f ( x) ? lim f ( x) ? 0 ,可知 f ( x ) 既有最大值又有最小值,
x ??? x ???

故为真命题; 命题③:由于 f ( x) ?

sin ? x sin ? x ,故 f ? x ? 的定义域是 R ? 2 2 2 ( x ? 1)( x ? 2 x ? 2) ( x ? 1) ? ? (1 ? x ) ? 1 ? ?
2

2 2 看到 y ? ( x ? 1) ? ?(1 ? x) ? 1? ? 的对称轴为 x ?

1 1 ,且 x ? 为 y ? sin ? x 的一条对称轴 2 2

故x?

1 为 f ( x ) 图象的对称轴,故为真命题; 2

命题④:由 f ? x ? 在定义域 R 上连续,且 f (?1) ? f (0) ? 0 ,可知 f ( x ) 不可能在 (?1,0) 上为减函数,故为 假命题. 16 解: (1)由题 lg a ? lgcos A ? lg b ? lgcos B ,故 a cos A ? b cos B , 由正弦定理 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin2 A ? sin 2 B .

又 cos A ? 0 ,cos B ? 0 ,故 A, B ? (0,

?
2

) , 2 A,2B ? (0, ? )

因 a ? b ? A ? B ,故 2 A ? ? ? 2 B . 即 A? B ?

?
2

,故 ?ABC 为直角三角形. ①
2 2

. . . . . . . .6 分

2 2 (2)由于 m ? n ,所以 2a ? 3b ? 0

且 (m ? n) ? (?m ? n) ? n2 ? m2 ? 14 ,即 8b ? 3a ? 14



联立①②解得 a2 ? 6, b2 ? 4 ,故在直角 ?ABC 中, a ? 6 , b ? 2 , c ? 10 . . . . . . .12 分 17 解: (1) f ( x) ? sin x ? 2 3 sin( x ?
2

?

? 2 3 sin 2 ( x ? ) ? cos 2 x ? 3 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 4 6
. . . . . . . . . . . . . .3 分

?

) cos( x ? ) ? cos 2 x ? 3 4 4

?

?

2? ?? 2 ? ? 3? ? 5? , k ? Z ,得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 6 2 3 6
故函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 故 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

5? ? (k ? Z ) . 6 ? ?

. . . . . . . . . . . . . .6 分

(2)当 x ? (?

? 25?
12 36 ,

) ,知 2 x ?

?
6

? (?

? 11?
3 ,

? 3 ) ,故 sin(2 x ? ) ? (? ,1] . 9 6 2
. . . . . . . . . . . . . .12 分

所以 f ( x ) 在 ( ?

, ) 上的值域是 (? 3,2] . 12 36

? 25?

18 解:在 ?ABC 中,由余弦定理知 cos ?BAC ?

82 ? 32 ? 7 2 1 ? ,故 ?BAC ? 60? . 2?8? 3 2
. . . . . . . . . . . .3 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 BP ? CQ ? (BA ? AP) ? (CA ? AQ) ? BA ? CA ? AP ? AQ ? AP ? CA ? BA ? AQ
? ??? ? 1 ??? PQ ? BC 2 ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? 1 故 BP ? CQ 的最大值为 8 ? ? 4 ? 7 ? 22 ,此时 BC 与 PQ 夹角为 0 . 2 ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? 1 BP ? CQ 的最小值为 8 ? ? 4 ? 7 ? ?6 ,此时 BC 与 PQ 夹角为 ? . 2
= 12 ? 4 ? AQ ? ( BA ? AC ) ? 8 ? AQ ? BC ? 8 ?
?

???? ??? ? ????

???? ??? ?

. . . . . . . . . .7 分

. . . . . . . . .12 分

19 解: (1)由于不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,?? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 4 故 f ( x) ? x ? 4x ? 4 .
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分
2

由题 Sn ? n ? 4n ? 4 ? (n ? 2)
2

则 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? 2n ? 5
2 2

故 an ? ?

(n ? 1) ?1 ?2n ? 5 (n ? 2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

n ?1 ??3 ? (2)由题可得, cn ? ? 4 1? n?2 ? ? 2n ? 5
由 c1 ? ?3 , c2 ? 5 , c3 ? ?3 ,所以 i ? 1, i ? 2 都满足 ci ? ci?1 ? 0 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn ,且 c4 ? ? . . . . . . . .8 分

1 4 ? 0 ? n ? 5 ,可知 ,同时 1 ? 3 2n ? 5

i ? 4 满足 ci ci?1 ? 0 ; n ? 5 时,均有 cncn?1 ? 0 .

? 满足 cici?1 ? 0 的正整数 i ? 1, 2 , 4 ,故数列 ?cn? 的变号数 3 .
1 3
x

. . . . . . . .12 分

20 解: (1)由 f ( x) ? ( ) , x ? ? ?1,1? ,知 f ( x) ? ? ,3? ,令 t ? f ( x) ? ? ,3? . . . . . . . . . . . .1 分 记 g ( x) ? y ? t 2 ? 2at ? 3 ,则 g ( x) 的对称轴为 t ? a ,故有: ①当 a ?

?1 ? ?3 ?

?1 ? ?3 ?

1 28 2a ? 时, g ( x) 的最小值 h(a ) ? 3 9 3

②当 a ? 3 时, g ( x) 的最小值 h(a) ? 12 ? 6a ③当

1 ? a ? 3 时, g ( x) 的最小值 h(a) ? 3 ? a 2 3

? 28 2a ?9 ? 3 ? ? 2 综述, h(a ) ? ?3 ? a ? ?12 ? 6a ? ?

a?

1 3
. . . . . . .7 分

1 ?a?3 3 a?3

(2)当 a ? 3 时, h(a) ? ?6a ? 12 .故 m ? n ? 3 时, h(a) 在 ?n, m? 上为减函数. 所以 h(a) 在 ?n, m? 上的值域为 ? h(m), h(n)? . . . . . . . . . . . . .9 分

2 2 ? ? ? h ( m) ? n ??6m ? 12 ? n 2 2 ?? 由题,则有 ? ,两式相减得 6n ? 6m ? n ? m ,又 m ? n 2 2 ? ? ? h( n) ? m ??6n ? 12 ? m

所以 m ? n ? 6 ,这与 m ? n ? 3 矛盾.故不存在满足题中条件的 m , n 的值. . . . . . . . . . . . .13 分

a a n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 知, n ? n ?1 ? 2 ? 3n ? 2 , n ?1 n n ?1 a a 2 n?2 由累加法,当 n ? 2 时, n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3 n 1
21 解:(Ⅰ)由题 an ?

an 2(1 ? 3n?1 ) 代入 a1 ? 1 ,得 n ? 2 时, ? 1? ? 3n?1 n 1? 3
又 a1 ? 1 ,故 an ? n ? 3n?1 (n ? N * ) . (II) n ? N 时, bn ?
*

. . . . . . . . . . . . .4 分

3n?1 1 ? . an n

1 1 1 1 ? 1 ;当 n ? 2 时, S22 ? 1 ? ? ? ? 2 ; 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 当 n ? 3 时, S 23 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 . 2 3 4 5 6 7 8
方法 1:当 n ? 1 时, S 21 ? 1 ? 猜想当 n ? 3 时, S2n ? n . 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 3 时,由上可知 S23 ? 3 成立; . . . . . . . . . .6 分

1 1 1 ? ?? ? k ? k . 2 3 2 1 1 1 1 1 ? ? ? k ?1 当 n ? k ? 1 时,左边 ? 1 ? ? ? ? ? k ? k 2 3 2 2 ?1 2
②假设 n ? k (k ? 3) 时,上式成立,即 1 ?

1 1 2k ?k? k ? ? ? k ?1 ? k ? k ? k ? 1,所以当 n ? k ? 1 时成立. 2 ?1 2 2 ?1
由①②可知当 n ? 3, n ? N * 时, S2n ? n . 综上所述:当 n ? 1 时, S21 ? 1 ;当 n ? 2 时, S22 ? 2 ; 当 n ? 3(n ? N * ) 时, S2n ? n . . . . . . . . . . . .10 分

1 1 1 ? ??? n 2 3 2 1 1 1 记函数 f (n) ? S 2n ? n ? (1 ? ? ? ? ? n ) ? n 2 3 2 1 1 1 所以 f (n ? 1) ? (1 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (n ? 1) 2 3 2
方法 2: S2n ? 1 ? 则 f (n ? 1) ? f (n) ? (

. . . . . . . . .6 分

1 1 1 2n ? ? ? ? ) ? 1 ? ?1 ? 0 2n ? 1 2n ? 2 2n?1 2n ? 1

所以 f (n ? 1) ? f (n) . 由于 f (1) ? S 21 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 0 ,此时 S21 ? 1 ;

1 2 1 1 1 f (2) ? S22 ? 2 ? (1 ? ? ? ) ? 2 ? 0 ,此时 S22 ? 2 ; 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 f (3) ? S23 ? 3 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3 ? 0 ,此时 S23 ? 3 ; 2 3 4 5 6 7 8

由于, f (n ? 1) ? f (n) ,故 n ? 3 时, f (n) ? f (3) ? 0 ,此时 S2n ? n .

综上所述:当 n ? 1, 2 时, S2n ? n ;当 n ? 3(n ? N * ) 时, S2n ? n . (III) cn ?

. . . . . . . . . . .10 分

an ?1 ? 3n n ?1

当 n ? 2 时,

2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n?1 1 1 ? ? ? n ?1 ? n . n 2 n n n n ?1 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 3) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1 3 2 ? 32 2 ? 3n 3 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ?( ? 2 )?( 2 ? 3 ) 2 n 2 2 (3 ? 1) (3 ? 1) 2 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1

所以当 n ? 2 时 Tn ? +? ? (

1
n ?1

3 3 且 T1 ? ? 2 2
*

1 1 ) ? 2? n ? 2. ?1 3 ?1 3 ?1 ?
n

故对 n ? N , Tn ? 2 得证.

. . . . . . . . . . . . . . . . .14 分


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