(新课标)高中数学《2.1.2椭圆的简单几何性质》课件 新人教A版选修1-1_图文

2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 【课标要求】 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响. 【核心扫描】 1.椭圆的简单几何性质.(重点) 2.求椭圆的离心率.(难点) 3.常结合几何图形、方程、不等式、平面向量等内容命题. 自学导引 椭圆的简单几何性质 焦点的位 置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2 y2 + =1 a2 b2 y2 x2 a2+b2=1 (a>b>0) 范围 (a>b>0) -a≤x≤a 且-b≤y≤b A1(-a,0)、A2(a,0) B1(0,-b)、B2(0,b) -b≤x≤b且-a≤y≤a 顶点 A1(0,-a)、A2(0,a) B1(-b,0)、B2(b,0) 轴长 焦点 焦距 短轴长= 2b ,长轴长= 2a F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c) |F1F2|= 2c 对称性 对称轴 x轴和y轴 ,对称中心 (0,0) 离心率 c e= a(0<e<1) 想一想:能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e? 2 2 2 a - b c c 提示 可以由 e=a得,e2=a2= a2 , ∴e= ?b?2 1-?a? ,∴e= ? ? b2 1-a2. 名师点睛 1.椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置,范围决定椭圆的大小,离心率 决定了椭圆的扁圆程度,对称性是椭圆的重要特征,顶点是椭 圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭圆的标准 方程,则根据 a、b 的值可确定其性质. (2)明确 a,b 的几何意义,a 是长半轴长,b 是短半轴长,不要 与长轴长、短轴长混淆,由 c2=a2-b2,可得“已知椭圆的四 个顶点,求焦点”的几何作图法,只要以短轴的端点 B1(或 B2) 为圆心,以 a 为半径作弧交长轴于两点,这两点就是焦点. (3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a,b,c,e 对应的线段或量 为 a=|F2B2|,b=|OB2|,c=|OF2|, c |OF2| e=a=|F B |=cos∠OF2B2. 2 2 x2 y2 (4)若椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), 则椭圆与 x 轴的交点 a b A1, A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小, 且|A1F2|=a+c, |A2F2| =a-c. 2.椭圆的离心率对椭圆形状的影响 2c 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率,记作 e=2a= c .∵a>c>0,∴0<e<1. a e 越接近于 1,则 c 就越接近于 a,从而 b= a2-c2越小,因此椭 圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 就越接近于 0,从而 b 越接近于 a, 这时椭圆就越接近于圆,当且仅当 a=b 时,c=0,这时两个焦点 重合,这时图形就变为圆,此时方程即为 x2+y2=a2. 题型一 由椭圆方程求椭圆的几何性质 【例 1】 求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、 焦点和顶点坐标. [思路探索] 先将椭圆方程化为标准形式,再利用 a、b、c 之间 的关系求解. x2 y2 解 已知方程化成标准方程为 + =1, 16 9 于是 a=4,b=3,c= 16-9= 7, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6, c 7 离心率 e=a= 4 ,又知焦点在 x 轴上, ∴两个焦点坐标分别是 F1(- 7,0)和 F2( 7,0), 四个顶点坐标分别是 A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和 B2(0, 3). 规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形 式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量. 【变式 1】 求椭圆 4x2+9y2=36 的长轴长和焦距、焦点坐标、 顶点坐标和离心率. x2 y2 解 将椭圆方程变形为 9 + 4 =1, ∴a=3,b=2,∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2),离 c 5 心率 e= = . a 3 题型二 由椭圆的几何性质求标准方程 【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 4 (1)长轴长是 10,离心率是 ; 5 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且 焦距为 6. [ 思路探索 ] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并 设出标准方程,再利用待定系数法求参数 a,b,c. 解 (1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 + =1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a2 b2 a b c 4 由已知得,2a=10,a=5.e=a=5,∴c=4. ∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25 x2 y2 (2)依题意,可设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中 线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的方程为18+ 9 =1. 规律方法 利用性质求椭圆的标准方程, 通常采用待定系数法, 而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参 数的关系式,利用解方程(组)求解,同时注意 a、b、c、e 的内 在联系以及对方程两种形式的讨论. 【变式 2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. 1 (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为2, 焦距为 8. (2)短轴一个端点与两

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