北京市丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(一)(数学理)

丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习(一)数

学(理科)
2011.3

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.已知集合 U ? R , A ? { x x ? 5 x ? 6 ? 0} ,那么 ? U A ?
2

(A) { x x ? 2 或 x ? 3} (C) { x x ? 2 或 x ? 3} 2. ( x ?
2 x

(B) { x 2 ? x ? 3} (D) { x 2 ? x ? 3}

) 的展开式中常数项是

6

(A) -160

(B) -20

(C) 20

(D) 160

3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60° a ? ( 3 ,1) , | b | ? 1 ,则 | a ? 2 b |? , (A) 2 (B) 7 (C) 2 3 (D) 2 7

4.设等差数列 ? a n ? 的公差 d ≠0, a1 ? 4 d .若 a k 是 a 1 与 a 2 k 的等比中项,则 k ? (C) 3 (D) 1 (A) 3 或-1 (B) 3 或 1 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②

(C)③④

(D) ②③

? x3, x ? 0, 6.已知函数 f ( x ) ? ? 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是 ln ( x ? 1), x > 0 . ?

(A) ( ? ? , ? 1) ? (2, ? ? )

(B) ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )

(C) ( ? 1, 2)

(D) ( ? 2,1)

7.从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M ( x , y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 (A) (C)
1 2 1 4

(B) (D)

1 3 1 6

y C O B

y ? x

2

y ?

x

(1,1) A x

8.对于定义域和值域均为[0,1]的函数 f(x),定义 f 1 ( x ) ? f ( x ) , f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )) ,?,
f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )) , n=1, 3, 满足 f n ( x ) ? x 的点 x∈[0, 2, ?. 1]称为 f 的 n 阶周期点. 设

? 2 x, ? ? f (x) ? ? ? 2 ? 2 x, ? ?

0? x? 1 2

1 2

,

则 f 的 n 阶周期点的个数是

? x ? 1,

(A) 2n

(B) 2(2n-1)

(C) 2n

(D) 2n2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A, 点 A 的纵坐标为
4 5

y A
?

,则 cosα=



10.双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线的标准方 程为 ,渐近线方程为 . 11.已知圆 M:x2+y2-2x-4y+1=0,则圆心 M 到直线 ? 的距离为 . 12.如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP·NP= . 13.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下: 花期(天) 个数 11~13 20 14~16 40 17~19 30 20~22 10
? x ? 4 t ? 3, ? y ? 3 t ? 1,

O A

x

(t 为参数) M C B P O

A

D N

B

则这种卉的平均花期为___天. 14.将全体正奇数排成一个三角形数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ?? 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ? 形状.
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2

,当 f ( B ) 取最大值

3 2

时,判断△ ABC 的

16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= (Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值 .
1 2

AD=1,CD= 3 . P

M D Q

C B

A

17.(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动, 当日在该店消费的顾客可参加抽奖. 抽奖箱中有大小 完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球, 记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取 出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字 的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

1 2

a x ? x ? b ( a ? 0 ) , f '( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数.
2

(Ⅰ)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3 x ? 3 , 求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? e
? ax

? f '( x ) ,求函数 g ( x ) 的单调区间.

19.(本小题共 14 分) 已知点 A ( ? 1, 0) , B (1, 0) ,动点 P 满足 | P A | ? | P B |? 2 3 ,记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)直线 y ? k x ? 1 与曲线 W 交于不同的两点 C,D,若存在点 M ( m , 0) ,使得
C M ? D M 成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题共 13 分)
a i 已知 S n ? { A A ? ( a1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) , i ? 0 或 1, ? 1, 2, ? , n } ( n ? 2 ) , 对于 U , V ? S n ,
d (U , V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.

(Ⅰ)令 U ? (0, 0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S 5 ,使得 d (U , V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0, ? , 0 ) ,若 U , V ? S n ,求证: d (U , W ) ? d (V , W ) ? d (U , V ) ;
??? ??
n个 0

(Ⅲ)令 U ? ( a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) ,若 V ? S n ,求所有 d (U , V ) 之和.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2011 年高三年级第二学期数学统一练习(一) 数 学(理科)参考答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?
3 5
25 4

10.

x

2

?

y

2

? 1 , y ? ?2 2 x

4

32

11.2 14.n2-n+5

12.

13.16 天(15.9 天给满分)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ?
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2

,当 f ( B ) 取最大值

3 2

时,判断△ ABC 的

形状. 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 分) ??3 分 ∵ 角) ∴A ? ????5 分 (
f (x) ? 3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

可得 cosA=

1 2

.(余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1

0<A<π
? 3



( 或 写 成 ????????4 分

A













????


x 2
? 3 2 sin x ? 1 2 co s x ? 1 2

) ????????7



? sin ( x ?

? 6

)?

1 2



???

?????9 分 ∵A ? ∴ 分) ∴
3 2
? 3 ?

∴ B ? (0 ,
? B? ? 6 ? 6 ? 2 ?

2? 3

)

5? 6

( ???????10 分











6

1



B?

?





B ?

? 3





f (B)











. 又∵ A ? ∴△ ABC
? 3

????????11 分 , ∴C ? 为
? 3



形.

边 三 ????????13 分



16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC=
1 2

AD=1,CD= 3 . P

(Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅲ)若二面角 M-BQ-C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值 . 证明: (Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ????????1 分 ∵BC∥AD 且 BC=
1 2

AD,即 BC // AQ. D Q

M

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 在是棱 PC 的中点, ∴ MN // PA ????????2 分 ∵ MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB,???????3 分 ∴ PA // 平面 MBQ. ????????4 分 A (Ⅱ)∵AD // BC,BC= ∴ 四 边
1 2

C B

AD,Q 为 AD 的中点, //

BCDQ 为 平 行 四 边 形 , ∴ CD BQ . ????????6 分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 平 面 PAD ∩ 平 ABCD=AD, ????????7 分 ∴ BQ ⊥ 平 PAD. ????????8 分 ∵BQ ? 平面 PQB, ∴ 平 面 PQB⊥ 平



面 面



PAD. 另证:AD // BC,BC=
1 2

????????9 分 AD,Q 为 AD 的中点

∴ BC // DQ 且 BC= DQ, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴ ∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ????????6 分 ∵ PA=PD , ∴ PQ ⊥ AD. ????????7 分 ∵ PQ ∩ BQ=Q , ∴ AD⊥ 平 面 PBQ. ????????8 分 ∵ AD ? 平面 PAD, ∴ 平 面 PQB⊥ 平 面 PAD. ????????9 分 (Ⅲ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PQ⊥平面 ABCD. ????? z 10 分 (不证明 PQ⊥平面 ABCD 直接建系扣 1 分) P 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ;
Q (0, 0, 0) , P (0, 0, 3 ) , B (0, 3 , 0) , C ( ? 1,
3 , 0 ) .???11 ?

M D Q C N B y

分 设 M ( x, y, z ) ,
???? ? 则 PM ? ( x, y, z ? ???? ? 3 ) , M C ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) ,

A x

∵ PM ? t M C ,
? x ? t (?1 ? x) ? ? y ? t( 3 ? y) ? ? z ? 3 ? t ( ? z)

???? ?

???? ?







t ? x ? ? ? 1? t ? 3t ? ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? 1? t ?
??? ?

????????12 分

在平面 MBQ 中, Q B ? (0, 3 , 0 ) , Q M ? ( ?

???? ?

t

1? t 1? t 1? t

,

3t

,

3

),


?? m ? ( 3 , 0, t ) .





MBQ









????????13 分
? ?? n?m c o s 3 0 ? ?? ? ? n m
?

∵二面角 M-BQ-C 为 30°, ∴ t ?3. 分

t 3?0?t
2

?

3 2



????????14

17.(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动, 当日在该店消费的顾客可参加抽奖. 抽奖箱中有大小 完全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球, 记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取 出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字 的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. 则 P(A)=
1 4
3

??1 分 ???3 分

?

1 4

?

1 4
?

?

1 4
5

?

1 256

, (列式正确,计算错误,扣 1 分)

P(B) ?

A 3 -1 4
3

256

(列式正确,计算错误,扣 1 分) ???5 分

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴, 兴”三种情况. P(C) ? ( ?
4 1 1 4 ? 1 4 ? 1 4 ? A4 ) ? (
2

1 4

?

1 4

?

1 4

?

1 4

? A4 ) ? (
2

1 4

?

1 4

?

1 4

?

1 4

? A4 ) ?
2

9 64

. ?7

分 (Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2, 3 .
P ( ? ? 1) ? 1 4

??8 分
3 4 ? 1 4 3 ? , 1 6


? 3 4 ? 1 4 ? 9 64

P (? ? 2 )?

P ( ? ? 3) ?

3 4

, P (? ? 4 ) ? 1 ? P (? ? 1) ? P (? ? 2 ) ? P ( ? ? 3) ?

27 64

. (各

1 分)

故取球次数 ? 的分布列为

?
P

1
1 4 1 4 3 16 9 64 27 64

2
3 16

3
9 64

4
27 64

?12 分
E? ? ?1 ? ?2? ?3? ? 4 ? 2 .7 5 .(约为 2.7)

?13 分

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

1 2

a x ? x ? b ( a ? 0 ) , f '( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数.
2

(Ⅰ)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3 x ? 3 , 求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? e 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? ∴
f '( x ) ? x ? a x ? 1 .
2 ? ax

? f '( x ) ,求函数 g ( x ) 的单调区间.
ax ? x ? b (a ? 0) ,
2

1 3

x ?
3

1 2

????????1 分

∵ f ( x ) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3 x ? 3 , ∴
? f '(1) ? 3 , ? ? f (1) ? 0

????????3 分
11 6

∴ 分) (Ⅱ) g ( x ) ?

a ?1



b ? ?







1

????????5 分
f '( x ) e
ax

?

x ? ax ? 1
2

e
ax

ax

(x ? R) .

g '( x ) ?

(2 x ? a )e

? a ( x ? a x ? 1) e
2

ax

(e )

ax

2

? ? x [ a x ? ( a ? 2 )]e
2

? ax



????

????7 分 ①当 a ? 0 时, g '( x ) ? 2 x ,
x
g '( x ) (?? , 0)

0 0

(0, ? ? )

-

+

g ( x)

?

极小值

?

g ( x) (?? , 0) .

的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ? ? ) ????????9 分 当
a ?0

, 单 调 递 减 区 间 为


x? 2 a ?a







g '( x ) ? 0





x ?0



????????10 分
2 a ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

(ⅰ)当

2 时,
2?a a
2

x

(?? , 0)

0

(0 ,

)

2?a a

2

(

2?a a

2

, ?? )

g '( x ) g ( x)

?

0 极小值
2?a a
2

+
?

0 极大值
2?a a
2

?

g ( x ) 的单调递增区间为 (0 ,

) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) ,(

, ? ? ) ;??

11 分 (ⅱ)当
2 a ? a ? 0 ,即 a ?

2 时, g '( x ) ? ? ? 2 x e
2

?2 x

? 0,

故 g ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 单调递减; (ⅲ)当
x
g '( x )
g ( x)

??12 分

2 a

? a ? 0 ,即 a ?
(?? , 2 a ? a)

2 时,
2 a ?a ( 2 a ? a, 0)

0 0 极大值

(0, ? ? )

?

0 极小值

+
?

?

g ( x) 在 (

2?a a

2

, 0 ) 上单调递增,在 (0, ? ? ) ,( ? ? ,

2?a a

2

) 上单调递

???13 分

综上所述,当 a ? 0 时, g ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ? ) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) ;
2?a a
2

当0 ? a ?

2 时, g ( x ) 的单调递增区间为 (0 ,

) ,单调递减区间为 ( ? ? , 0 ) ,

当a ?

2 时, g ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? ? ) ;
2?a a
2

当a ?

2 时, g ( x ) 的单调递增区间为 (

, 0 ) ,单调递减区间为 (0, ? ? ) ,

(?? ,

2?a a

2

).

( “综上所述”要求一定要写出来) 19.(本小题共 14 分) 已知点 A ( ? 1, 0) , B (1, 0) ,动点 P 满足 | P A | ? | P B |? 2 3 ,记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)直线 y ? k x ? 1 与曲线 W 交于不同的两点 C,D,若存在点 M ( m , 0) ,使得
C M ? D M 成立,求实数 m 的取值范围.

解: (Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 2 3 的椭圆.??2 分 ∴c ? 1 ,a ?
x
2
2 3 ,b ? 2 .

??3 分

W 的方程是

?

y

2

? 1.

????4 分

3

2

(另解:设坐标 1 分,列方程 1 分,得结果 2 分) (Ⅱ)设 C,D 两点坐标分别为 C ( x1 , y1 ) 、 D ( x 2 , y 2 ) ,C,D 中点为 N ( x 0 , y 0 ) .
? y ? kx ? 1 ? 由? x2 y2 ? ?1 ? 2 ? 3

得 (3 k ? 2 ) x ? 6 kx ? 3 ? 0 .
2 2

??6 分

所以 x1 ? x 2 ? ?

6k
2

3k ? 2 x ? x2 3k ? ? ∴ x0 ? 1 , 2 2 3k ? 2
y0 x0 ? m

????7 分 从而 y 0 ? kx 0 ? 1 ?
2

2 3k ? 2
2



∴ M N 斜率 k M N ?

?

3k ? 2 . 3k ? ?m 2 3k ? 2
2

???9 分

又∵ C M ? D M ,

∴CD ? MN ,

2



1 3k ? 2 ? ? 3k k ? ?m 2 3k ? 2
2

即 m ??

k 3k ? 2
2

?10 分

当 k ? 0 时, m ? 0 ; 当 k ? 0 时, m ? ?
k 3k ? 2
2

??11 分
? ? 1 3k ? 2 k

? [?

6 12

,0 ) ? ( 0 ,

6 12

].

??13 分

故所求 m 的取范围是 [ ?

6 12

,

6 12

].

??14 分

(可用判别式法) 20.(本小题共 13 分)
i 已知 S n ? { A A ? ( a1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) , a i ? 0 或 1, ? 1, 2, ? n } ( n ? 2 ) , 对于 U , V ? S n , d (U , V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.

(Ⅰ)令 U ? (0, 0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ? S 5 ,使得 d (U , V ) ? 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0, ? , 0 ) ,若 U , V ? S n ,求证: d (U , W ) ? d (V , W ) ? d (U , V ) ;
??? ??
n个 0

(Ⅲ)令 U ? ( a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ) ,若 V ? S n ,求所有 d (U , V ) 之和. 解: (Ⅰ) C 5 ? 1 0 ;
2

???3 分

(Ⅱ)证明:令 u ? ( a1 , a 2 , a 3 … … a n ) , v ? ( b1 , b 2 , b3 … … b n ) ∵ a i ? 0 或 1, bi ? 0 或 1; 当 a i ? 0 , bi ? 0 时, | a i | ? | bi |? 0 ? | a i ? bi | 当 a i ? 0 , b i ? 1 时, | a i | ? | bi |? 1 ? | a i ? bi | 当 a i ? 1 , bi ? 0 时, | a i | ? | bi |? 1 ? | a i ? bi | 当 a i ? 1 , b i ? 1 时, | a i | ? | bi |? 2 ? | a i ? bi |? 0 故 | a i | ? | b i | ? | a i ? bi | ∴ d ( u , w ) ? d ( v , w ) ? ( a1 ? a 2 ? a 3 + ? + a n ) ? ( b1 ? b 2 ? b3 + ? + b n )
? (| a1 | ? | a 2 | ? | a 3| + ? + | a n |) ? (| b1 | ? | b 2 | ? | b3|+ ? +| b n |)

? (| a1 ? b1 | ? | a 2 ? b 2 | ? | a 3 ? b3|+ ? +| a n ? b n |) ? d ( u , v )
n
n

???8 分

(Ⅲ)解:易知 S n 中共有 2 个元素,分别记为 v k ( k ? 1, 2, ? , 2 ) v ? ( b1 , b 2 , b3 … … b n ) ∵ bi ? 0 的 v k 共有 2 ∴ ? d (u , v k )
k ?1 2
n

n ?1

个, b i ? 1 的 v k 共有 2

n ?1

个.

=
(2
n ?1

| a1 ? 0 | ? 2

n ?1

| a1 ? 1 | ? 2

n ?1

| a2 ? 0 | ?2

n ?1

| a2 ? 1 ? +2 |+

n ?1

|an ? 0 | +2

n ?1

| a n ? 1 |)

= n ?2
2
n

n ?1

??13 分
n ?1

∴ ? d ( u , v k ) = n ?2
k ?1



法二:根据(Ⅰ)知使 d ( u , v k ) ? r 的 v k 共有 C n 个
r
0 1 2 n ∴ ? d ( u , v k ) = 0 ?C n ? 1?C n ? 2 ?C n ? ? ? n ?C n

2

n

k ?1

? d (u , v
k ?1

2

n

k

) = n ?C n ? ( n ? 1) ?C n
n

n ?1

? ( n ? 2 ) ?C n

n?2

? ? ? 0 ?C n

0

两式相加得

? d ( u,
k ?1

2

n

v ) n ?2 = k

n ?1

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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