高考第一轮复习数学:13.4 函数的连续性及极限的应用 2

13.4

函数的连续性及极限的应用

●知识梳理 1.函数的连续性. 一般地,函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件: (1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; (2) lim f(x)存在; (3) lim f(x)=f(x0).
x? x0 x? x0

如果函数 y=f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而且 lim f(x)=f(x0),就说函数 f(x)在
x? x0

点 x0 处连续. 2.如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值 和最小值. 3.若 f(x) 、g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x) ?g(x),

f ( x) (g(x)≠ g ( x)

0)也在点 x0 处连续.若 u(x)在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u (x) ]在点 x0 处也连续.

特别提示
(1)连续必有极限,有极限未必连续. (2)从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换 顺序的. ●点击双基 1.f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析:f(x)在 x=x0 处有定义不一定连续. 答案:A

π x 的不连续点为 2.f(x)= π cos x cos
A.x=0 B.x=

2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1

C.x=0 和 x=2kπ (k=0,±1,±2,?)

2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 π π π 2 解析:由 cos =0,得 =kπ + (k∈Z),∴x= (k ? Z) . x x 2 2k ? 1
D.x=0 和 x= 又 x=0 也不是连续点,故选 D 答案:D 3.下列图象表示的函数在 x=x0 处连续的是

y

y

O

x0

x

O

x0

x


y y



O

x0

x

O

x0

x





A.① 答案:A 4.四个函数:①f(x)=

B.②③

C.①④

D.③④

1 ;②g(x)=sinx;③f(x)=|x|;④f(x)=ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0 x

处连续的函数是____________.(把你认为正确的代号都填上) 答案:②③④ ●典例剖析

?1 ( x ? 0), ? 【例 1】 (1)讨论函数 f(x)= ?0 ( x ? 0), 在点x ? 0处的连续性; ?? 1 ( x ? 0) ?
(2)讨论函数 f(x)=

x 在区间[0,3]上的连续性. x?3
x ?0

剖析: (1)需判断 lim f(x)= lim f(x)=f(0). ? ?
x ?0

(2)需判断 f(x)在(0,3)上的连续性及在 x=0 处右连续,在 x=3 处左连续. 解:(1)∵ lim f(x)=-1, lim f(x)=1, ? ?
x ?0 x ?0 x ?0?

lim f(x)≠ lim f(x), ?
x ?0 x?0

∴ lim f(x)不存在.∴f(x)在 x=0 处不连续. (2)∵f(x)在 x=3 处无定义, ∴f(x)在 x=3 处不连续. ∴f(x)在区间[0,3]上不连续.

?e x 【例 2】 设 f(x)= ? ?a ? x
x ?0 x ?0

( x ? 0), ( x ? 0),
x ?0

当 a 为何值时,函数 f(x)是连续的.

解: lim f(x)= lim (a+x)=a, lim f(x)= lim ex=1,而 f(0)=a,故当 a=1 时, ? ? ? ?
x ?0 x ?0

lim f(x)=f(0),
即说明函数 f(x)在 x=0 处连续,而在 x≠0 时,f(x)显然连续,于是我们可判断当 a=1

时,

f(x)在(-∞,+∞)内是连续的. 评述:分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性. y 【例 3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点, 然后采用如下方法进行:从原点出发,在 x 轴上向正方向前进 a(a>0)个单位 后,向左转 90°,前进 a (0<r<1=个单位,再向左转 90°,又前进 a r2 个单位,?, r x O 如此连续下去. (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动 与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队? (2)若其中的 r 为变量,且 0<r<1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析: (1)小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置. (2)可先求最终目的地关于 r 的参数形式的方程. 解:(1)由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为 Q(x,y),则 x=a-ar2+ar4-?=

a a = , 2 1 ? (?r ) 1 ? r 2

ar , 1? r2 a ar ∴大本营应在点( , )附近去寻找小分队. 2 1? r 1? r2 a ? ?x ? 1 ? r 2 , a2 a a ? (2)由 ? 消去 r 得(x- )2+y2= (其中 x> ,y>0), 4 2 2 ? y ? ar , 2 ? 1? r ?
y=ar-ar3+ar5-?= 即行动的最终目的地在以( ●闯关训练 夯实基础

a a ,0)为圆心, 为半径的圆上. 2 2

?x 2 ? 2x ? 3 ? 1.函数 f(x)= ? x ?2 x ? 2 ?

x ?1 1 ? x ? 2, 则有 x ? 2,

A.f(x)在 x=1 处不连续 B.f(x)在 x=2 处不连续 C.f(x)在 x=1 和 x=2 处不连续 D.f(x)处处连续 解析: lim f(x)=0, lim f(x)=1, ? ?
x ?1 x ?1

∴f(x)在 x=1 处不连续. 答案:A 2.若 f(x)在定义域[a,b]上有定义,则在该区间上 A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确

解析:有定义不一定连续. 答案:C

?x 3.已知函数 f(x)= ? ?1 ? x
A.处处连续 C.x=0

x为有理数, x为无理数,
B.x=1 D.x=

函数 f(x)在哪点连续

1 2

解析: lim? f(x)= lim? f(x)=f(
x? 1 2 x? 1 2

1 ). 2

答案:D 4.有以下四个命题: ①f(x)=

1 在[0,1]上连续; x

②若 f(x)是(a,b)内的连续函数,则 f(x)在(a,b)内有最大值和最小值; ③ lim
π x? 2

2 sin 2x =4; cos x
? x ? ?x ? 1 ? ( x ? 0), 则 lim f(x)=0. ( x ? 0). x ? 0

④若 f(x)= ?

其中正确命题的序号是____________.(请把你认为正确命题的序号都填上) 答案:③

x 2 ) 、x 轴及直线 AB:x=a 围成了如图(1)的阴影部分,AB 与 x 轴交于 a a 点 A,把线段 OA 分成 n 等份,作以 为底的内接矩形如图(2),阴影部分的面积为 S 等于这 n
5.抛物线 y=b( 些内接矩形面积之和当 n→∞时的极限值,求 S.
y B y

O

A

x

O

A

x

(1)

(2)

解:S= lim [b? (
n??

1 2 2 3 n ?1 2 2 a ) +b? ( )2+b? ( )2+?+b? ( )]? n n n n n
?ab

= lim

12? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 n3

n??

= lim

n??

( n ? 1) ? n ? ( 2n ? 1) 1 ?ab= ab. 3 6n 3

培养能力

1 1 ? 6.求 y=f(x)= x x ? 1 的不连续点. 1 1 ? x ?1 x
解:易求 f(x)的定义域为{x|x≠-1,0,1},所以 f(x)的不连续点为 x=-1,x=0 和 x=1. 7. 2002 年春季上海) ( 某公司全年的纯利润为 b 元, 其中一部分作为奖金发给 n 位职工, 奖金分配方案如下: 首先将职工按工作业绩 (工作业绩均不相同) 从大到小, 1 到 n 排序, 由 第 1 位职工得奖金

b 元, 然后将余额除以 n 发给第 2 位职工, 按此方案将奖金逐一发给每位 n

职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2、a3,并用 k、n 和 b 表示 ak (不必证明); (2)证明:ak>ak+1(k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b) .对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b) (可
n??

用公式 lim (1-

1 n 1 ) = ). n?? n e b 1 1 1 1 1 1 (1)解:a1= ,a2= (1- ) ?b,a3= (1- )2?b,?,ak= (1- ) n n n n n n n
1 1 - (1- )k 1?b>0,此奖金分配方案体现了按劳分配的原 2 n n

k- 1

?b. (2)证明:ak-ak+1=

则. (3)解:设 fk(b)表示发给第 k 位职工后所剩余额,则 f1(b)=(1- =(1-

1 ) ?b,f2(b) n

1 2 1 ) ?b,?,f k(b)=(1- )k?b, n n 1 得Pn(b)=fn(b)=(1- )n?b, n b 故 lim Pn(b)= . n?? e
A

探究创新 8.(2003 年北京)如图,在边长为 l 的等边△ABC 中,圆 O1 为△ ABC 的内切圆,圆 O2 与圆 O1 外切,且与 AB、BC 相切,?,圆 On+1 与圆 On 外切,且与 AB、BC 相切,如此无限继续下去,记圆 On 的面积为 an (n∈N*). (1)证明{an}是等比数列; (2)求 lim (a1+a2+?+an)的值.
n??

.1 O
O2 B

.
C

(1)证明:记 rn 为圆 On 的半径, 则 r1=

3 l tan30°= l. 6 2

rn ? 1 ? rn rn ? 1 ? rn

=sin30°=

1 1 ,∴rn= rn-1(n≥2). 2 3

于是 a1=π r12=

a r π l 2 an 1 , n =( n )2= , ? rn ?1 12 a n ?1 a n ?1 9

∴{an}成等比数列.

1 n-1 ) ?a1(n∈N*), 9 a 3π l 2 所以 lim (a1+a2+?+an)= 1 = . n?? 1 32 1? 9
(2)解:因为 an=( ●思悟小结 1.函数 f(x)在点 x0 处连续反映到函数 f(x)的图象上是在点 x=x0 处是不间断的.一般 地,函数 f(x)在点 x0 处不连续(间断)大致有以下几种情况(如下图所示).
y y= f(x) y= f(x) y y= f(x )

O

x0

x

O

x0

x


y y= f(x) y



y= f(x)

O

x

O

x




x? x0

图甲表示的是 f(x)在点 x0 处的左、右极限存在但不相等,即 lim f(x)不存在. 图乙表示的是 f(x)在点 x0 处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 lim f(x)不存在
x? x0

的情况. 图丙表示的是 lim f(x)存在,但函数 f(x)在点 x0 处没有定义.
x? x0

图丁表示的是 lim f(x)存在,但它不等于函数在这一点处的函数值 f(x0).
x? x0

●教师下载中心 教学点睛 1.函数 f(x)在点 x0 处连续与 f(x)在点 x 0 处有极限的联系与区别: 其联系是:f(x)在点 x0 处连续是依据 f(x)在点 x0 处的极限来定义的,它要求 lim f(x)
x? x0

存在. 其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f(x)在点 x0 处 有极限,对于点 x0 而言,x0 可以属于 f(x)的定义域,也可以不属于 f(x)的定义域,即与 f(x0) 是否有意义无关,而 f(x)在点 x0 处连续,要求 f(x)在点 x0 及其附近都有定义;其次,f(x) 在点 x0 处的极限(值)与 f(x)在点 x0 处的函数值 f(x0)可以无关,而 f(x)在点 x0 处连 续,要求 f(x)在点 x0 处的极限(值)等于它在这一点的函数值 f(x0).我们通常说“连续必

有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的. 2.函数 f(x)在点 x0 处连续必须具备以下三个条件: 函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; 函数 f(x)在点 x=x0 处有极限; 函数 f(x)在点 x=x0 处的极限值等于在这一点 x0 处的函数值,即 lim f(x)=f(x0).
x? x0

这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具. ●拓展题例 【例题】 一弹性小球自 h0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少 到碰前的

7 ,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间. 9

解:设小球第一次落地时速度为 v0,则有 v0= 2gh0 =10(m/s),那么第二,第三,?,第 n+1 次落地速度分别为 v1=

7 7 7 v0,v2=( )2v0,?,vn=( )nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经 9 9 9
v1
2

过的路程为 h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是 L1=2? ( )2 .

2g

=10?

7 9

小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为 L2,则 L2=2?

v2 7 =10?( )4. 2g 9

2

由数学归纳法可知,小球第 n 次到第 n+1 次与地面碰撞经过路程为 Ln=10?( 故从第一次到第 n+1 次所经过的路程为 Sn+1=h0+L1+L2+?+Ln,则整个过程总路程为

7 2n ) . 9

7 7 7 ( ) 2 [1 ? ( ) 2 n ] ( )2 9 S= lim Sn+1=5+ lim 10? 9 =5+10 9 =20.3(m),小球从开始下落到第 7 2 7 2 n?? n?? 1? ( ) 1? ( ) 9 9
一次与地面相碰经过时间 t0=

2h0 =1(s). g0
v1 7 =2? ,同理可得 g 9

小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间 t1=2?

7 7 ( )[1 ? ( ) n ] 7 9 tn=2?( )n,tn+1=t0+t1+t2+?+tn,则 t= lim tn+1=1+ lim 2? 9 =8(s). 7 n?? n?? 9 1? ( ) 9
上例是借助数学工具来解决物理问题,这样有利于学生对数学知识的进一步理解,增强学 生对数学的应用意识,培养学生的数学应用能力.


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