高中数学北师大版选修1-1 导数与函数的单调性 课件(36张)_图文

§1 1.1 函数的单调性与极值 导数与函数的单调性 1.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系. 2.正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法,并能灵活运用.(重点、 难点) 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(重点) [基础· 初探] 教材整理 导数与函数的单调性 阅读教材 P81 至 P82“例 1”以上部分,完成下列问题. 导函数的符号与函数的单调性之间的关系 如果在某个区间内,都有函数 y=f(x)的导数________,则在这个区间上, 函数 y=f(x)是________. 如果在某个区间内,都有函数 y=f(x)的导数________,则在这个区间上, 函数 y=f(x)是________. 【答案】 f′(x)>0 增加的 f′(x)<0 减少的 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)<0, 则函数 f(x)在定义域上是减少的. ( (2)函数在某点的导数越小,则函数在该点处的切线越平缓.( (3)若函数 f(x)在某区间上是增加的,则 f′(x)>0.( 【答案】 (1)× (2)× (3)× ) ) ) [小组合作型] 利用导数判断函数的单调性 ln x 证明函数 f(x)= x 在区间(0,2)上是单调递增函数. 【精彩点拨】 求证函数 f(x)在(0,2)上为增函数,只要证 f′(x)≥0 在(0,2) 上恒成立即可. 【自主解答】 ln x ∵f(x)= x , 1 x-ln x ?ln x?′x-ln x· ? x? ′ x · ∴f′(x)= = x2 x2 1-ln x = x2 , 又∵x∈(0,2). 1-ln x ∴ln x<ln 2<1.故 f′(x)= x2 >0. 即函数在区间(0,2)上是单调递增函数. 利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是证明不等式 f′?x?>0 或 f′?x?<0 恒成立,这时一般是先将函数的导数求出来,然后对其进行 整理、化简、变形,根据不等式的相关知识,在给定区间上判断导数的正负, 从而得证. [再练一题] ?π ? sin x 1.证明:函数 f(x)= x 在区间?2,π?上单调递减. ? ? 【证明】 ?π ? xcos x-sin x f′(x)= ,又 x∈?2,π?, x2 ? ? 则 cos x<0,sin x>0,∴xcos x-sin x<0, ?π ? ∴f′(x)<0,∴f(x)在?2,π?上是减函数. ? ? 利用导数求函数的单调区间 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x2-ln x; ex (2)f(x)= ; x-2 (3)f(x)=-x3+3x2. 【精彩点拨】 → 写单调区间 求定义域 → 求导数 → 解不等式f′?x?<0和f′?x?>0 【自主解答】 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 1 ? 2x-1?? 2x+1? f′(x)=2x-x = . x 2 因为 x>0,所以 2x+1>0,由 f′(x)>0,解得 x> 2 , 所以函数 ? f(x)的单调递增区间为? ? ? ? 2 2 ? ;由 f′(x)<0,解得 x< 2 ,又 ,+ ∞ ? 2 ? x∈(0,+∞),所以函数 ? f(x)的单调递减区间为? ?0, ? 2? ? . 2? ? (2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). ex?x-2?-ex ex?x-3? f ′( x) = = 2 2. ?x-2? ?x-2? 因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以 ex>0,(x-2)2>0. 由 f′(x)>0, 解得 x>3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3, +∞) ; 由 f′(x)<0, 解得 x<3,又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数 f(x)的单调递减区间为(- ∞,2)和(2,3). (3)由 f(x)=-x3+3x2. 得 f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2). 由 f′(x)>0,解得 0<x<2,因此,函数在区间(0,2)上是单调递增的; 由 f′(x)<0,解得 x>2 或 x<0,因此,函数在区间(-∞,0)和(2,+∞)上是 单调递减的. 故函数 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(-∞,0)和(2,+∞). 利用导数求函数单调区间的基本步骤: ?1?确定函数 f?x?的定义域; ?2?求导数 f′?x?; ?3?确定 f′?x?>0?或 f′?x?<0?时相应的 x 的范围:当 f′?x?>0 时,f?x?在相应 的区间上是增加的;当 f′?x?<0 时,f′?x?在相应的区间上是减少的. [再练一题] 2.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x3+3x2-36x+1; (2)f(x)=sin x-x(0<x<π); (3)f(x)=3x2-2ln x. 【解】 (1)f′(x)=6x2+6x-36, 由 f′(x)>0 得 6x2+6x-36>0,解得 x<-3 或 x>2; 由 f(x)<0 解得-3<x<2, 故 f(x)的增区间是(-∞,-3),(2,+∞);减区间是(-3,2). (2)f′(x)=cos x-1. 因为 0<x<π,所以 cos x-1≤0 恒成立, 故函数 f(x)的单调递减区间为(0,π). (3)函数的定义域为(0,+∞), 3x2-1 2 f′(x)=6x-x =2· x . 3x2-1 令 f′(x)>0,即 2· x >0, 3 3 解得- 3 <x<0 或 x> 3 . 3 又∵x>0,∴x> 3 . 3x2-1 令 f′(x)<0,即 2· x <0, 3 3 解得 x<- 3 或 0<x< 3 . 3 又∵x>0,∴0<x< 3 . ? ∴f(x)的单调递增区间为? ?

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