江苏省连云港市新海高级中学2011届高三第二学期调研考试试题(数学)

江苏省新海高级中学 2011 届高三第二学期调研考试

数学试题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y

1. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据除以 100 后进行分析C,得 Y

出新样本方差为 3,则估计总体的标准差为



2. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回箱子, 然后再摸出 1 只球,则摸到两只不同颜色的球的概率为_____

3. 设 P 为曲线 C : y ? x2 ? x ?1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,则

点 P 纵坐标的取值范围是____ __

4. 若方程 ln x ? 6 ? 2x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ?



5. 已知抛物线 y2 ? 2 px 的准线与双曲线 x2 ? y2 ? 2 的左准线重合,则抛物线的焦点坐标



.

6. A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、B 两点,它是一条弦,它的 长度大于等于半径长度的概率为

7. 对一切实数 x ,不等式 x 2 ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

8. 如果圆 (x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是 _________

9.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上一点,

且 PF1 ? PF2 , PF1 ? PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是

? x?0

10.

在约束条件

?? ?

?

y x?

?0 y?s

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2y 的最大值的变化范围是

?? y ? 2x ? 4

2

2

11. 已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设向量 PC ? 2PA ? PB ,

则 PC 的最小值是

.

? ax?5 ? x ? 6?

? ? 12.

已知函数

f

?x?

?

? ? ??(4

?

a)x 2

?

4?x

?

6?

,

数列?an ?满足 an

?

f ?n? n ? N ?

,且数列?an ?是

单调递增数列,则实数 a 的取值范围是____ ___.
13. 设函数 f (x) ? x3 ? x ,若 0 ? ? ? ? 时, f (mcos? )? f (1? m) ? 0恒成立,则实数的 2
取值范围是

14. 对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数”。在实数轴

R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x 。这个函数[ x ]

叫 做 “ 取 整 函 数 ”, 它 在 数 学 本 身 和 生 产 实 践 中 有 广 泛 的 应 用 。 那 么

[log 3 1] ? [log 3 2] ? [log 3 3] ? [log 3 4] ? ? ? [log 3 243] =



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本题满分 14 分)

已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2,cosx),n ? (1,2cosx), 设函数 f (x) ? m? n.

(I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间;

(II)在△ABC 中,a,b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4,b ? 1, △ABC 的面积为 3 , 2
求 a 的值.

16. (本题满分 14 分) 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点.
求证:(1)AC1∥平面 BDE;(2)A1E?平面 BDE.

D1 A1
D A

C1 B1
E
C B

17.(本题满分 14 分)

某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的 D
中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的
污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且 A、B 与

P

C

O

等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道

A

B

AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。

(1)按下列要求写出函数关系式:

①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式;

②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式;

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度

最短

18.(本题满分 16 分)

已知数列{

an }、{

bn

}满足: a1

?

1 4 , an

? bn

? 1, bn?1

?

1

bn ? an2

.

(1)求 b1,b2 , b3, b4 ;

(2)求数列{ bn }的通项公式;

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立

19. (本题满分 16 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 22,椭圆上的点到焦点的最短距离
为 1- 22, 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP =?PB .
(1)求椭圆方程;
(2)若 OA+?OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

20. (本题满分 16 分)

已知函数 f (x) ? x2 ? a ln x (a 为实常数).

(1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f (x) 在(1,+.∞)上是增函数;

(2)求函数 f (x) 在[1,e]上的最小值及相应的 x 值;

(3)若存在 x ?[1, e] ,使得 f (x) ? (a ? 2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

江苏省新海高级中学 2011 届高三第二学期调研考试

数学试题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置.Y

1. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据除以 100 后进行分析C,得 Y

出新样本方差为 3,则估计总体的标准差为



【答案】100 3
2. 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,先摸出 1 只球,记下颜色后放回箱子, 然后再摸出 1 只球,则摸到两只不同颜色的球的概率为_____
【答案】 12 25
3. 设 P 为曲线 C : y ? x2 ? x ?1上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [?1,3] ,则

点 P 纵坐标的取值范围是____ __

【答案】[ 3 ,3] 4

4. 若方程 ln x ? 6 ? 2x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ?



【答案】2

5. 已知抛物线 y2 ? 2 px 的准线与双曲线 x2 ? y2 ? 2 的左准线重合,则抛物线的焦点坐标



.【答案】 ?1,0?

6. A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、B 两点,它是一条弦,它的

长度大于等于半径长度的概率为

【答案】

2 3

7. 对一切实数 x ,不等式 x 2 ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

【答案】?? 2,???

8. 如果圆 (x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是

_________

【答案】 (? 3 2, ? 2 ) ? ( 2 , 3 2)

2

2

22

9.

已知双曲线 x2 a2

y2 ? b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是准线上一点,

且 PF1 ? PF2 , PF1 ? PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是

【答案】 3

? x?0

10.

在约束条件

?? ?

?

y x?

?0 y?s

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2y 的最大值的变化范围是

?? y ? 2x ? 4

【答案】 ?7,8?

2

2

11. 已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 ,设向量 PC ? 2PA ? PB ,

则 PC 的最小值是

.

【答案】2

? ax?5 ? x ? 6?

? ? 12.

已知函数

f

?x?

?

? ? ??(4

?

a)x 2

?

4?x

?

6?

,

数列?an ?满足 an

?

f ?n? n ? N ?

,且数列?an ?是

单调递增数列,则实数 a 的取值范围是____ ___.

【答案】 ?4,8?

13. 设函数 f (x) ? x3 ? x ,若 0 ? ? ? ? 时, f (mcos? )? f (1? m) ? 0恒成立,则实数的 2
取值范围是
【答案】(-∞,1)

14. 对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数”。在实数轴

R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x 。这个函数[ x ]

叫 做 “ 取 整 函 数 ”, 它 在 数 学 本 身 和 生 产 实 践 中 有 广 泛 的 应 用 。 那 么

[log 3 1] ? [log 3 2] ? [log 3 3] ? [log 3 4] ? ? ? [log 3 243] =



【答案】857

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本题满分 14 分)
已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2,cosx),n ? (1,2cosx), 设函数 f (x) ? m? n. (I)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间;

(II)在△ABC 中,a,b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4,b ? 1, △ABC 的面积为 3 , 2
求 a 的值. 解:(I)?m ? ( 3 sin 2x ? 2,cosx),n ? (1,2cosx),

? f (x) ? m? n ? 3 sin 2x ? 2 ? 2 cos2 x

? 3 sin 2x ? cos 2x ? 3 ? 2sin(2x ? ? ) ? 3
6 ?T ? 2? ? ?
2

令2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? 3? (k ? Z )

2

6

2

? k? ? ? ? x ? k? ? 2 ? (k ? Z )

6

3

? f (x)的单调减区间为[k? ? ? , k? ? 2 ? (k ? Z)]

6

3

(II)由 f ( A) ? 4 得

…………4 分 …………5 分
…………7 分

f ( A) ? 2sin(2A ? ? ) ? 3 ? 4 6
?sin(2A ? ? ) ? 1 62
又? A为?ABC的内角

? ? ? 2A ? ? ? 7?

6

66

? 2A ? ? ? 5? 66

?A? ? 3

…………10 分

? S?ABC ?

3 ,b ?1 3

? 1 bc sin A ? 3

2

2

?c ? 2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 ?1 ? 2 ? 2 ?1? 1 ? 3
2

?a ? 3

16. (本题满分 14 分)

在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 CC1 的中点.

…………12 分

…………14 分

D1 A1

C1 B1
E

求证:(1)AC1∥平面 BDE;(2)A1E?平面 BDE.
(1)证明:连接 AC,设 AC∩BD=O.由条件得 ABCD 为正方形, 故 O 为 AC 中点.因为 E 为 CC1 中点,所以 OE∥AC1. 因为 OE?平面 BDE,AC1?/ 平面 BDE.所以 AC1∥平面 BDE.

D A

C B

(2)连接 B1E.设 AB=a,则在△BB1E 中,BE=B1E= 2a,BB1=2a.所以 BE2+B1E2

=BB12. 所以 B1E?BE.由正四棱柱得,A1B1?平面 BB1C1C,所以 A1B1?BE. 所以 BE?平面 A1B1E.所以 A1E?BE.同理 A1E?DE.所以 A1E?平面 BDE.
17.(本题满分 14 分)

某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的 D
中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的
污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且 A、B 与

P

C

O

等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道

A

B

AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。

(1)按下列要求写出函数关系式:

①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式;

②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式;

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度

最短

【解析】本小题主要考查函数最值的应用.
(Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO=? (rad) ,则 OA ? AQ ? 10 , 故 cos? cos?
OB ? 10 ,又 OP=10 ?10 tan? , cos?
所以 y ? OA ? OB ? OP ? 10 ? 10 ?10 ?10 tan? , cos? cos?

所求函数关系式为

y

?

20 ?10sin? cos?

?10

? ??

0

?

?

?

? 4

? ??

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB= ?10 ? x?2 ?102 ? x2 ? 20x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x2 ? 20x ? 200 ?0 ? x ? 10?

(Ⅱ)选择函数模型①, y'

?

?10 cos?

cos?

? ?20 ?10sin? ???sin? ?

10 ? 2 sin ?
?

?1?

cos2 ?

cos2 ?

令 y' ? 0 得 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以? = ? ,

2

4

6

当?

?

? ??

0,

? 6

? ??

时,

y'

?

0



y

是?

的减函数;当?

?

? ??

? 6

,

? 4

? ??

时,

y'

?

0

, y 是? 的增函数,

所以当?

=

? 6

时,

ymin

?10 ?10

3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距

离 AB 边 10 3 km 处。 3

18.(本题满分 16 分)

已知数列{

an }、{

bn

}满足: a1

?

1 4

,

an

? bn

? 1, bn?1

? bn 1? an2

.

(1)求 b1,b2 , b3, b4 ;

(2)求数列{ bn }的通项公式;

(3)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,求实数 a 为何值时 4aSn ? bn 恒成立

解:(1)

bn?1

?

(1 ?

bn an )(1+an

)

?

bn bn (2 ? bn

)

?

2

1 ? bn



a1

?

1 4

, b1

?

3 4

∴ b2

?

4 5 ,b3

?

5 6

, b4

?

6 7

……………4 分

(2)∵ bn?1

?1 ?

1 2 ? bn

?1

∴ 1 ? 2 ? bn ? ?1? 1

bn?1 ?1 bn ?1

bn ?1

∴数列{ 1 }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列 bn ?1

……………6 分

∴ 1 ? ?4 ? (n ?1) ? ?n ? 3 bn ?1

∴ bn

?1?

1 n?3

?

n?2 n?3

……………8 分

(3) an

? 1? bn

?

1 n?3



Sn

?

a1a2

?

a2a3

?????

anan?1

?

1 4?5

?

1 5?6

????

(n

1 ? 3)(n

?

4)

?

1 4

?

n

1 ?

4

?

n 4(n ?

4)

∴ 4aSn

? bn

?

an n?4

?

n?2 n?3

?

(a

?1)n2 ? (3a ? 6)n (n ? 3)(n ? 4)

?8

……………10 分

由条件可知 (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件设 f (n) ? (a ?1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8

a=1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, a>1 时,由二次函数的性质知不可能成立

a<l 时,对称轴 ? 3 a ? 2 ? ? 3 (1? 1 ) ? 0 2 a ?1 2 a ?1
f(n)在 (??,1] 为单调递减函数.

……………13 分

f (1) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0

∴ a ? 15 4

∴a<1 时 4aSn ? b 恒成立

……………15 分

综上知:a≤1 时, 4aSn ? b 恒成立

……………16 分

19. (本题满分 16 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 22,椭圆上的点到焦点的最短距离

为 1- 22, 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP =?PB .
(1)求椭圆方程;

(2)若 OA+?OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

(1)设

C:ya22+xb22=1(a>b>0),设

c>0,c2=a2-b2,由条件知

a-c=

2c 2 ,a=

2 2,

∴a=1,b=c= 22,故 C 的方程为:y2+x12=1

5′

2

(2)由A→P =λ P→B , OA+?OB = 4OP

∴λ +1=4,λ =3 或 O 点与 P 点重合O→P =→0

7′

当 O 点与 P 点重合O→P =→0 时,m=0

当 λ =3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。

设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)

??y=kx+m ???2x2+y2=1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ =(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*)

x1+x2=-k2+2k2m, x1x2=mk22- +12

11′

∵ AP =3P→B ∴-x1=3x2 ∴?????xx11+ x2=x2= -- 3x222x2

消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3(-k2+2k2m)2+4mk22- +12=0

整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0

13′

m2=14时,上式不成立;m2≠14时,k2=24- m2-2m12,

因 λ =3 ∴k≠0 ∴k2=24-m2-2m12>0,∴-1<m<-12 或 12<m<1

容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立

即所求 m 的取值范围为(-1,-12)∪(12,1)∪{0} 20. (本题满分 16 分)

16′

已知函数 f (x) ? x2 ? a ln x (a 为实常数).

(1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f (x) 在(1,+.∞)上是增函数;

(2)求函数 f (x) 在[1,e]上的最小值及相应的 x 值;

(3)若存在 x ?[1, e] ,使得 f (x) ? (a ? 2)x 成立,求实数 a 的取值范围.
(1)当 a ? ?2 时, f (x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ?(1,??) , f ?(x) ? 2(x2 ? 1) ? 0 , x
故函数 f (x) 在 (1,??) 上是增函数.…………………………………………………4 分

(2) f ?(x) ? 2x 2 ? a (x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e2 ] . x
若 a ? ?2 , f ?(x) 在[1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?(x) ? 0 ),故函数 f (x) 在[1, e]

上是增函数,此时[ f (x)]min ? f (1) ? 1. ………………………………………………6 分

若 ? 2e2 ? a ? ?2,当 x ? ? a 时, f ?(x) ? 0 ;当1 ? x ? ? a 时, f ?(x) ? 0 ,此时 f (x)

2

2

是减函数; 当

?a 2

? x ? e 时,

f ?(x) ? 0 ,此时

f (x) 是增函数.故[ f (x)]min

?

f(

? a) 2

? a ln(? a ) ? a . 2 22 若 a ? ?2e2 , f ?(x) 在[1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e2 ,x=e 时, f ?(x) ? 0 ),故函数 f (x) 在
[1, e] 上是减函数,此时[ f (x)]min ? f (e) ? a ? e2 .……………………………………8 分 综上可知,当 a ? ?2 时, f (x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当 ? 2e2 ? a ? ?2时, f (x)

的最小值为 a ln(? a ) ? a ,相应的 x 值为 ? a ;当 a ? ?2e2 时, f (x) 的最小值为 a ? e2 ,

2 22

2

相应的 x 值为 e .……………………………………………………………………10 分

(3)不等式 f (x) ? (a ? 2)x , 可化为 a(x ? ln x) ? x 2 ? 2x .

∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ?1? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0,

因而 a ? x2 ? 2x ( x ?[1, e] )………………………………………………12 分 x ? ln x

令 g(x) ? x2 ? 2x ( x ?[1, e] ),又 g ?(x) ? (x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) ,…………………14 分

x ? ln x

(x ? ln x)2

当 x ?[1, e]时, x ?1? 0,ln x ?1 , x ? 2 ? 2ln x ? 0 ,

从而 g?(x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号),所以 g(x) 在[1, e] 上为增函数,

故 g(x) 的最小值为 g(1) ? ?1,所以 a 的取值范围是[?1,??) . ………………………16 分


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