【人教A版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案三相似三角形的判定及性质

【人教 A 版】2017-2018 学年高中数学选修 4-1 创新应用教学案三相似三角形的判定及性质 1.相似三角形的判定 [对应学生用书 P7] 1.相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应 边的比值叫做相似比或(相似系数). (2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似. 2.相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等,那么这两个三角形相似,简述为:两角对应相等,两三角形相似. (2)判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,简述为:两边对应成比例且夹角相等, 两三角形相似. 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这 条直线平行于三角形的第三边. (3)判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例,那么这两个三角形相似,简述为:三边对应成比例,两三角形相似. [说明] 1.在这些判定方法中,应用最多的是判定定理 1,即两角对应相等,两三角形 相似.因为它的条件最容易寻求.在实际证明当中,要特别注意两个三角形的公共角.判定 定理 2 则常见于连续两次证明相似时,在证明时第二次使用此定理的情况较多. 2.引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理,可以判定两直线平行. 3.直角三角形相似的判定定理 (1)定理:①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似. (2)定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角 边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. [说明] 对于直角三角形相似的判定,除了以上方法外,还有其他特殊的方法,如直角 三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的利用. [对应学生用书 P8] 相似三角形的判定 [例 1] 如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 是角平分线, 证明:△ABC∽△BCD. [思路点拨] 已知 AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,而 BD 是角平分线,因此,可以考虑使用判定定理 1. [证明] ∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36°, ∴∠A=∠CBD. 又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD. 判定两三角形相似,可按下面顺序进行:(1)有平行截线,用预备定理;(2)有一对等角 时,①找另一对等角,②找夹这个角的两边对应成比例;(3)有两对应边成比例时,①找夹 角相等,②找第三边对应成比例,③找一对直角. 1.如图,BC∥FG∥ED,若每两个三角形相似,构成一组相似三角形,那么图中相似 的三角形的组数是( ) A.1 C.3 B.2 D.4 解析:△AED 与△AFG 相似,△AED 与△ABC 相似,△AFG 与△ABC 相似. 答案:C 2.如图,O 是△ABC 内任一点,D,E,F 分别是 OA,OB,OC 的中点,求证:△DEF ∽△ABC. 证明:∵D,E,F 分别是 OA,OB,OC 的中点, 1 1 1 ∴DE= AB,EF= BC,FD= CA. 2 2 2 DE EF FD 1 ∴ = = = . AB BC CA 2 ∴△DEF∽△ABC. 3.如图,D 在 AB 上,且 DE∥BC 交 AC 于 E,F 在 AD 上,且 AD2=AF·AB,求证: △AEF∽△ACD. 证明:∵DE∥BC,∴ AC AB = .① AE AD AD AB ∵AD2=AF·AB,∴ = .② AF AD 由①②两式得 AC AD = , AE AF 又∠A 为公共角,∴△AEF∽△ACD. 直角三角形相似的判定 [例 2] 如图,已知在正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,且 BP=3PC,Q 是 CD 的中 点,求证:△ADQ∽△QCP. [思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的关系,故考虑 AD DQ = 即可. QC CP 证明对应边成比例,即只需证明 [证明] 在正方形 ABCD 中, AD ∵Q 是 CD 的中点,∴ =2. QC BP BC ∵ =3,∴ =4. PC PC 又 BC=2DQ,∴ DQ =2. CP 在△ADQ 和△QCP 中, AD DQ = =2,∠C=∠D=90°, QC CP ∴△ADQ∽△QCP. 直角三角形相似的判定方法: (1)相似三角形的判定定理 1,2,3 都适用于直角三角形相似的判定. (2)两个直角三角形,已经具备直角对应相等,只要再证明有一对锐角相等,或夹直角 的两边对应成比例,就可以证明这两个直角三角形相似. 4.如图,∠C=90°,D 是 AC 上的一点,DE⊥AB 于 E,求证:△ADE∽△ABC. 证明:∵DE⊥AB, ∴∠DEA=90°, ∵∠C=90°, ∴∠DEA=∠C. ∵∠A=∠A. ∴△ADE∽△ABC 5.如图,BD,CE 是△ABC 的高,BD,CE 交于 F,写出图中所有与△ACE 相似的三 角形. 解:∵∠ACE 为公共角,由直角三角形判定定理 1,知 Rt△FDC∽Rt△ACE. 又∠A 为公共角,∴Rt△ABD∽Rt△ACE. 又∵∠A+∠ACE=90°,∠A+∠ABD=90°, ∴∠ACE=∠ABD.∴Rt△FBE∽Rt△ACE. 故共有三个直角三角形,即 Rt△ABD,Rt△FBE, Rt△FCD 与 Rt△ACE 相似. 相似三角形的应用 [例 3] 如图,D 为△ ABC 的边 A

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