2019年秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案:2.1 数列的概念与简单表示法(学生版+教师版)

2.1 数列的概念与简单表示法(学生版) 1.新课引入 观察下列图形,这些数有什么规律? 观察下面几组数,这些数有什么规律吗? (1)1,2,3,4,5,···n, ···. (2)-1,1,-1,1, ···. (3)3,3,3,3,…. 思考:上述的这些数的共同特点是什么? ——按照一定顺序排列的一列数. 2.概念 (1)数列定义:按照一定顺序排列的一列数叫数列. (2)数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有 关,排第一位的数称为这个数列的第 1 项(首项),排第二位的数称为这个数列的第 2 项,······, 排第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. 概念理解:(1)相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列? 不是 (2)一个数列的数可以重复吗? 可以重复 (3)数列的一般形式:a1, a2 , a3,..., an ,.... ,上面数列可简记为{an},其中 an 是数列的第 n 项. 3.数列的分类 (1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列: 例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列:例如数列 1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 (2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 (an?1 ? an ) 递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 (an ? an?1 ) 常数数列:各项相等的数列 (an ? an?1 ) . 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 【例 1】下列数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)全体自然数构成数列:0,1,2,3,4,5,....... (2)广东省某中学 2011~2016 年在校学生人数:890,1000,920,1100,1120,1021 (3)无穷多个 3 构成数列:3,3,3,3,....... (4)人民币面额按从大到小的顺序排列:100,50,20,10,5,0.5,0.2,0.1,0.05, 0.02,0.01 (5) ?1的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂,…….构成数列: ?1,1, ?1,1,……. 4.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N * (或它的有限子集{1, 2,3,..., n})为定义域的函数 an ? f (n) , 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函 y ? f (x) 如 果 f (i) ( i ?1,2,3,...,n )有意义,那可得到一个数列 f (1), f (2), f (3),..., f (n) ,即数列是一种特 殊的函数. 5.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式.如数列:1, 1,1, 23 1,1....... 的通项公式为 45 an ? 1 n 又如数列:-1,1,-1,1, ···. 的通项公式为: an ?(? 1)n 【例 2】根据下面数列的通项公式,写出它的前 4 项: (1) an ? n n ?1 (2) an ? (?1)n ? n 【例 3】写出下面数列的一个通项公式,使它的 前 4 项分别是下列各数: (1)2, 4, 6, 8 ; ( 2 ),4,9 ,1 6;2 5 (3)1,? 1 ,1 ,? 1 ; 23 4 (4)2,0,2,0 练习 1:求以下各数列的通项公式 (1)1, 4,9,16, 25, ; (2) 1 ,2, 9 ,8, 25 , ; (3)1,3,5,7,9, 22 2 1,?3,5, ?7,9, (5) 22 ?1, 32 ? 2 , 42 ? 3 , 52 ? 4 , 1357 (7) 9, 99, 999, 9999, (6)10,100,1000,10000,….. (8) 7,77,777,7777, (4) 特别说明: 1、不是每一个数列都能写出其通项公式 ,如数列:3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…. 2、数列的通项公式不唯一,如: ?1, 1, ?1, 1, … an ?(? 1)n , an ? ??1 ? ? 1 n ? 2k ? 1, k ? N n ? 2k, k ? N , an ? sin(n? ? ? 2 ) 3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数. 4、数列通项公式的作用: ①求数列中任意一项; ②检验某数是否是该数列中的一项. 6.数列的表示 与函数一样,数列也可以用图象、列表等方法来表达.数列的图象是一系列孤立的点列, 数列 :2,4,6,8,10,…… (1)其通项公式是: an ? 2n (2)列表为: (3)图象为直线上的无数个孤立点 7.数列的递推公式 观察下列三角形数,思考:这些数有什么规律吗? 首项为 1,从第 2 项起,第 n 项等于第 n-1 项加上 n,也就是 a1=1,an=an-1+n(n>1) 已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系 可用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. 如数列 1,3,6,10 的递推公式可表示为: a1=1,an=an-1+n(n>1) 递推公式也是数列的一种表示方法. 【例 4】设数列 an 满足 a1 ? 1, an ?1? 1 an?1 (n ? 1) 写出这个数列的前 5 项. ※ 典型例题 考点 1.通项公式的简单应用 【例 5】.已知数列{an}的通项公式为 an=n2+4 3n, (1)写出此数列的前 3 项;(2)试问110和1267是不是它的项?如果是,是第几项? 变

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