浙江省台州市2012届高三期末质量评估试题(数学文)

台州市

2011 学年 第一学期

高三年级期末质量评估试题

数 学(文)

2012.01

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

Ⅰ 选择题部分(共 50 分)
参考公式: 球的表面积公式 球的体积公式
S ? 4 πR
V ? 4 3 πR
3

2

柱体的体积公式

V ? Sh

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式
V ? 1 3 h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式
V ? 1 3 Sh

其中 S 1 , 2 分别表示台体的上底、 下底面积, S
h

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 如果事件 A , B 互斥,那么 P ( A ?

表示台体的高

B ) ? P ( A) ? P ( B )

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求. ) 1. 复数
3?i 1? i

等于 (B) 1 ? 2i (C) 2 ? i
x

(A) 1 ? 2 i

(D) 2 ? i

2. 集合 A ? {0, lo g 1 3, ?3,1, 2} ,集合 B ? { y ? R | y ? 2 , x ? A} ,则 A ? B ?
2

(A) ?1?
? ?

(B) ?1, 2 ?

(C) ? ? 3,1, 2 ?
? ?

(D) ? ? 3, 0,1?

3.向 量 a ? ( 1 , x ? 1 ) b ? x ? 1 , 3 则 “ x ? 2 ”是 “ a ∥ b ”的 ,) , ( (A) 充分而不必要条件 (C) 充要条件
2 2

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

4. 已知点 A (1, ? 1) 及圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,则过点 A ,且在圆上截得最长的弦所

在的直线方程是 (A) x ? 1 ? 0 (B) x ? y ? 0 (C) y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 2 ? 0
x,

5. 设函数 f ( x ) 为偶函数, 且当 x ? [ 0 , 2 ) 时 f ( x ) ? 2 sin x , x ? [ 2 , ?? ) 时 f ( x ) ? log 当 则 f (?
?
3
开始

2

) ? f (4) ?

(A) ?

3?2

(B) 1

(C) 3
k ?1

(D) 3 ? 2 6. 按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15 ,则 M 处条件为

S ?0


M

(A) k (C) k

? 16

? ?

(B) k (D) k

? 8? ? 8?



? 16

S ? S ?k

输出 S 结束

S=S+k
k ? 2?k

7. 若函数 f ( x ) ? ( k ? 1) a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1) 在 R 上既是奇函 数,又是减函数,则 g ( x ) ? lo g a ( x ? k ) 的图象是
y y y
(第 6 题)

y

?2

?1

O

x

?2

?1

O

x

O

2

3

x

O

2

3

x

(A)

(B)

(C)

(D)

8. 设斜率为

2 2

的直线 l 与椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 交于不同的两点,且这两个交点在

x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为

(A)

3 3

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

1 3

9. 如图,正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 是棱 DD 1 的中点, F 是 侧面 CDD 1 C 1 上的动点,且 B 1 F //平面 A1 BE ,则 B 1 F 与平面
CDD 1 C 1 所成角的正弦值构成的集合是

(A) ?2 ?
? 2 6? ? ? ?t? (C) ? t | ? 2 3 ? ? ? ?

(B) ?

?2 ?5

? 5? ? 5 ?t? 2 3
'

? 2 (D) ? t | ? 5

? 2? ?

(第 9 题)

10. 定义在上 R 的函数 f ( x ) 满足 f (6) ? 1 , f ( x ) 为 f ( x ) 的导函 数,已知 y ? f ( x ) 的图象如图所示,若两个正数 a , b 满足
'

y

f ( 3 a ? 2 b ) ? 1,则
1 3

b ?1 a ?1

的取值范围是

o
(B) ( ?
1 3 , ?? )
(第 10 题)

x

(A) ( ?

, 2)

(C) ( ? ? , ? ) ? [0, ? ? )
3

1

(D) [ 2, ? ? )

Ⅱ 非选择题部分(共 100 分)
二、填空题(本题共 7 道小题,每题 4 分,共 28 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置)
频率

11.在某次法律知识竞赛中,将来自不同学校的学生的 成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.已知成绩 在[60,70)的学生有 40 人,则成绩在[70,90)的 有 ▲ 人.
0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005

组距

分数

50 60

70 80 90 100

(第 11 题)

12.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ . 2 3
?1. 类比上述性质,

13.若 {b n } 是等比数列, m , n , p 是互不相等的正整数,则有
? b p ? ? bm ? ? bn ? 正确的结论: ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? bn ? ? b p ? ? bm ?
m n p

2
俯视图 正视图 (第 12 题)

2
侧视图

相应地,若 { a n } 是等差数列, m , n , p 是互不相等的正整 数,则有正确的结论: ▲ .

14.在 1, 2, 3, 4, 5 这五个数中,任取两个不同的数记作 a , b ,则满足 f ( x ) ? x ? a x ? b 有两
2

个不同零点的概率是



. B A

15.为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度, 在海岸上选取 距离为 1 千米的两个观察点 C , D ,在某时刻观察到该航船在 A 处,此时测得 ? A D C ? 3 0 ,3 分钟后该船行驶至 B 处,此时测 C 得 ? A C B ? 60 , ? B C D ? 45 , ? A D B ? 60 ,则船速为 ▲ 千米/分钟.
?
?

D
(第 15 题)

?

?

16.已知圆 C : ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 5 及点 B ( 0 , 2 ) ,设 P , Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆
2 2

C

上的动点,则 PB ? PQ 的最小值为



.

B

M

17 . 如 图, 扇形 AOB 的 弧 的中 点 为 M , 动 点 C , D 分 别 在
D

OA , OB 上 , 且 OC ? BD . 若 OA ? 1 , ? A O B ? 120 , 则

?

O

C

A

? ? ??? ? ? ??? M C ? M D 的取值范围是



(第 17 题)



三、解答题(本题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin ? x co s ? x ? 2 co s ? x ? a ( x ? R , ? ? 0) 的
2

最小正周期为 ? ,最大值为 3. (Ⅰ)求 ? 和常数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

19. (本题满分 14 分)已知数列 {b n } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列.数列 { a n } 满足
a n ? lo g 2 b n ? 3n ? 1 1, S n 是 { a n } 的前 n 项和.

(Ⅰ)求 S n ; (Ⅱ) 设同时满足条件: ①
cn ? cn? 2 2 ? c n ? 1 ( n ? N ) ; c n ? M ( n ? N ,M 是与 n 无 ②
?

?

关的常数)的无穷数列 ? c n ? 叫“特界”数列.判断(1)中的数列 { S n } 是否为“特界”数 列,并说明理由.
D

20. (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 D ? A B C 中,
平 面 ADC ? 平 面 ABC , AD ? 平 面 DCB ,
A D ? C D ? 2, A B ? 4, M 为线段 A B 的中点.
C

(Ⅰ)求证: B C ? 平 面 A C D ; (Ⅱ)求二面角 A ? C D ? M 的余弦值.
A M
(第 20 题) )

B

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2

ax ? 2 x .
2

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的极大值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 4 y 的焦点为 F ,过点 K ? 0, ? 1 ? 的直线 l 与 C 相
2

交于 A , B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 B D 上;

(Ⅱ)设 F A ? F B ?

??? ??? ? ?

8 9

,求 ? D B K 的平分线与 y 轴的交点坐标.

台州市2011 学年高三年级期末质量评估试题 第一学期

数学(文)参考答案及评分标准
2012.1 一、选择题: 1-10. C B A B D 二、填空题: 11. 2 5
9 20
A A C D B

12.

13 3

?
6

13. m ( a p ? a n ) ? n ( a m ? a p ) ? p ( a n ? a m ) ? 0
3 1

14.

15.

16. 2 5

17. [ , ]
8 2

6

三、解答题: 18. (本小题 14 分) (I) 解: f ( x ) ? 2 3 sin ? x co s ? x ? 2 co s ? x ? a
2

??????????????

1分
? 3 sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 1 ? a ? 2 sin ( 2 ? x ?

?
6

) ? a ? 1 , ?????????

3分 由T ?
2? 2? ? ? ,得 ? ? 1 .

?????????

5分 又当 sin (2 ? x ? 分 (Ⅱ)解:由(I)知 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? 9分 得 k? ? 12 分 市高三数学(文)答题卷—1(共 4 页)
?
6 ? x ? k? ?

?
6

) ? 1 时, y m ax ? 2 ? a ? 1 ? 3 ,得 a ? 2 .

???7

?
6

) ? 1 ,由 2 k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

?
3



??????

故 f ( x ) 的单调增区间为 [ k ? ? 14 分 19. (本小题 14 分) (I)解: b n ? b1 q 2分
a n ? lo g 2 b n ? 3 n ? 1 1 ? lo g 2 2
n ?1

?
6

, k? ?

?
3

] (k ? Z ) .

???????

? 2

n ?1

,

????

n ?1

? 3n ? 11 ? 10 ? 2 n ,

????

4分
S n ? n a1 ? n ( n ? 1) 2 d ? ?n ? 9n .
2

????7

分 (Ⅱ)解:由
S n ? S n?2 2 ? S n ?1 ? ( S n ? 2 ? S n ?1 ) ? ( S n ?1 ? S n ) 2 ? a n ? 2 ? a n ?1 2 ? d 2 ? ?1 ? 0 ,

得 10 分

S n ? S n?2 2

? S n ? 1 ,故数列 { S n } 适合条件①;

???????

又 S n ? ? n ? 9n ? ? (n ?
2

9 2

) ?
2

81 4

( n ? N *) ,故当 n ? 4 或 5 时, S n 有最大值 20,

即 S n ≤ 2 0 ,故数列 { S n } 适合条件②. 13 分 综上,数列 { S n } 是“特界”数列. 14 分 20. (本小题 14 分) (Ⅰ)证:取 A C 的中点 O ,连接 D O ,则 D O ? A C , ∵平面 A C D ⊥平面 A B C ,∴ D O ⊥平面 A B C , ∴ DO ⊥ BC . 又∵ A D ? 平面 B C D ,∴ A D ⊥ B C . ???3 分 A ???6 分 O D

????

????

N

C

M

B

∵ D O ∩ A D = D ,∴ B C ⊥平面 A C D .???????7 分 (Ⅱ)解:取 C D 的中点 N ,连接 M O , N O , M N , 则 M O ∥ B C ,∴ M O ⊥平面 A C D ,∴ M O ⊥ C D . 市高三数学(文)答题卷—2(共 4 页) (第 20 题) ???????

8分 ∵ A D ⊥ C D , O N ∥ A D ,∴ O N ⊥ C D . 又∵ M O ∩ O N = O ,∴ C D ⊥平面 M O N , ∴CD ⊥ MN , ∴∠ M N O 是所求二面角的平面角. 分 在 Rt△ M O N 中, M O ? ∴ M N = MO 14 分 (其它解法相应给分) 21. (本题满分 15 分) (Ⅰ)解: f ( x ) ? ln x ? 2分
' 由 f ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ?
2

???11

1 2

BC ?

2 ,ON ?

1 2

AD ? 1 ,
NO MN

? NO

2

= 3 ,∴cos∠ M N O =



3 3



??????

3 2

x ? 2 x , f (x) ? ?
2

'

3x ? 2x ? 1
2

( x ? 0) .

?????

x

1 3

' ,由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

1 3



?????

5分 所以 y ? f ( x ) 存在极大值 f ( ) ? ?
3 1 5 6 ? ln 3 .

?????

7分 (Ⅱ)解: f ( x ) ? ?
'

ax ? 2 x ? 1
2

( x ? 0) ,

?????

x

8分 依题意 f ?( x ) ? 0 在 (0, ? ? ) 上有解,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ? ? ) 上有解. ????9
2

分 当 a ? 0 时,显然有解; 11 分 当 a ? 0 时,由方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正根,得 ? 1 ? a ? 0 ;
2

?????

?????

14 分 市高三数学(文)答题卷—3(共 4 页)

所以 a ? ? 1 . 15 分

?????

2 另解:依题意 f ?( x ) ? 0 在 (0, ? ? ) 上有解,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ? ? ) 上有解. ???

9分
a ? 1? 2x x
2

在 (0, ? ? ) 上有解,即 a ? ?

?1? 2x ? , ? 2 ? x ? m in

???

11 分 由? 15 分 22. (本题满分 15 分) (Ⅰ)解:设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , D ( ? x1 , y1 ) , l 的方程为 y ? kx ? 1 , 由?
? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

?1? 2x ? ? ? 1 ,得 a ? ? 1 . ? 2 ? x ? m in

?????

得 x ? 4 kx ? 4 ? 0 ,
2

从而 x1 ? x 2 ? 4 k ,x1 x 2 ? 4 . 分 直线 B D 的方程为 y ? y 1 ? 令x ? 0 , y ? 得
x1 x 2 4
y 2 ? y1 x 2 ? x1

????2

?x ?

x1 ? ,即 y ?

x1 4

2

?

x 2 ? x1 4

?x ?

x1 ? ,

? 1, 所以点 F 在直线 B D 上.

????

2 6 分(Ⅱ)解:因为 F A ? F B ? ? x1 , y1 ? 1 ? ? ? x 2 , y 2 ? 1 ? ? x1 x 2 ? ? y1 ? 1 ? ? y 2 ? 1 ? ? 8 ? 4 k ,

??? ??? ? ?

故8 ? 4k ?
2

8 9

, 解得 k ? ?

4 3



????

9分 所以 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0, 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 .
4 3
x 2 ? x1 4 7 3

又由 (Ⅰ) x 2 ? x1 ? ? 1 6 k ? 1 6 ? ? 得
2

7 , 故直线 B D 的斜率为

? ?



市高三数学(文)答题卷—4(共 4 页)

因而直线 B D 的方程为 7 x ? 3 y ? 3 ? 0, 7 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 12 分 设 ? D B K 的平分线与 y 轴的交点为 M ? 0, t ? , 则 M ? 0, t ? 到 l 及 B D 的距离分别为
3 t ?1 5 3 t ?1 4 3 t ?1 5 3 t ?1 4

??







?

,得 t ?

1 9

,或 t ? 9 (舍去) ,

所以 ? D B K 的平分线与 y 轴的交点为 M ? 0,
?

?

1? ?. 9?

??

15 分

市高三数学(文)答题卷—5(共 4 页)


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