北京市石景山区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

石景山区 2014—2015 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(理)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项.

0, 1, 2?, B ? x x ? 1 ,则 A 1.已知集合 A ? ?? 1,
A. ?2?

?

?

B ?(

)

1 , 2? B. ?

C. ?? 1 , 2?

D. ?? 1, 1, 2? ) D. f ( x ) ?

2.下列函数中,在 (0, ? ?) 上单调递减的是( A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ? ( x ? 1)
2

C. f ( x) ? x

3

1 x ?1

3.点 (1, 2) 与圆 ? A.点在圆内 C.点在圆上

? x ? ?1 ? 3cos ? , 的位置关系是( ? y ? 3sin ?
B.点在圆外 D.与 ? 的值有关



开始 k=0 S= 100 否

4. 某程序框图如右图所示,该程序运行 输出的 k 值是( A.4 B.5 ) C.6 D.7

S>0 是
S = S-2
k

输出 k 结束

k=k+1

5.以 q 为公比的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ q ? 1 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



-1-

? x ? y ? 3 ? 0, ? 6.如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6,最小值为 ? x ? 1. ?
0,则实数 k 的值为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的 是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为( A. 2 2 C. 2 3 B. 6 D. 3 )

8. 函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图象如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?2,2? ,图象如图 2 所 示 , 方 程 f ( g ( x )) ? 0 有 m 个 实 数 根 , 方 程 g ( f ( x )) ? 0 有 n 个 实 数 根 , 则

m?n ? (
A.6 y 1 -1 O -1
图1

) B. 8 C. 10 D. 12 y 1 1 x -2 -1 1 2 x

O -1
图2

-2-

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若复数 Z1 ? 1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则

共 110 分)

Z2 ? Z1



10. {an } 为等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 a2015 ?



11.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中 ?BAD ? 60 ,

D

E

C

E为

CD 中点,则 AE ? BD ?

. A B

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,则 a 的值为 12.若抛物线 y ? ax 的焦点与双曲线 3
2



13. A , B 两地街道如图所示,某人要从 A 地前往 B 地, 则路程最短的走法有 种(用数字作答) . A

B

14. 设 A 为非空实数集,若 ?x, y ? A ,都有 x ? y, x ? y, xy ? A ,则称 A 为封闭集. ①集合 A ? ?? 2 , ? 1 , 0 , 1 , 2?为封闭集; ②集合 A ? ?n | n ? 2k , k ? Z ?为封闭集; ③若集合 A1 , A2 为封闭集,则 A1 ? A2 为封闭集; 错误!未找到引用源。若 A 为封闭集,则一定有 0 ? A . 其中正确结论的序号是____________.

-3-

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, AB ? DA , CE ? 上一点, DE ? 1 , EA ? 2 , ?BEC ? (Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

7 , ?ADC ?
C

2? ; E 为 AD 边 3

?
3

. D E

A 16. (本小题共 13 分)

B

某次数学考试共有 8 道选择题,每道选择题有 4 个选项,其中有且只有一个选项是正确 的.某考生有 4 道题已选对正确答案,还有两道题能准确排除每题中的 2 个错误选项,其余两 道题完全不会只好随机猜答. (Ⅰ)求该考生 8 道题全答对的概率; (Ⅱ) 若评分标准规定: “每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分”,求该考生 所得分数的分布列.

17. (本小题共 14 分) 如图 , 在四面体 A ? BCD 中 , AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是

AD 的中点, P 是 BM 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 ABC ? 平面 ADC ; (Ⅱ)若点 Q 在线段 AC 上,且满足 AQ ? 3QC ,
B P Q

A

M

D C

求证: PQ // 平面 BCD ; (Ⅲ)若 ?BDC ? 60? ,求二面角 C ? BM ? D 的大小.

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? a x (a ? R且a ? 0) .
2 2

(Ⅰ)若 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,求 a 的值;
-4-

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 1) . ,且过点 B (0 , 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内,求实数 k 的取值范围.

20. (本小题共 13 分)

,x1,x2, ?,xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 对于数集 X ? {?1

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X },若对任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P . (Ⅰ)判断 {?1 , 1 , 2} 是否具有性质 P ; (Ⅱ)若 x ? 2 ,且 {?1,1, 2 , x} 具有性质 P ,求 x 的值; (Ⅲ)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1.

-5-

石景山区 2014—2015 学年第一学期期末考试

高三数学(理科)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 B 6 B 7 D 8 C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 【12 题只答一种情况得 3 分】 题号 9 10 11 12 13 14 错误! 未找到引 用源。错 误!未找 到 引 用 源。

答案

1 ? 2i

4029

1

?

1 8

10

三、 解答题共 6 小题, 共 80 分. 15. (本小题共 13 分)

(Ⅰ)设 ?CED ? ? .在 ?CED 中,由余弦定理,得

CE 2 ? CD2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos ?CDE
得 CD2+CD-6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). 在 ?CED 中,由正弦定理,得 sin ?CED ?

???????2 分 ???????4 分 ???????6 分

21 7

(0, ) (Ⅱ)由题设知 ? ? ,所以 cos ? ? 3
而 ?AEB ?

?

2 7 7

???????8 分

2? ? ? ,所以 3

cos ?AEB ? cos (

2? 2? 2? ? ?) =cos cos ? ? sin sin ? 3 3 3

1 3 1 2 7 3 21 7 . ??????11 分 = ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14
在 Rt ?EAB 中, BE ?

2 ?4 7 . cos ?AEB

???????13 分

-6-

16. (本小题共 13 分) (Ⅰ)该考生 8 道题全答对为事件 A ,依题意有

1 1 1 1 1 P( A) ? ? ? ? ? . 2 2 4 4 64

???????3 分

(Ⅱ)该考生所得分数为 X ,则 X 的所有可能取值为 20, 25,30,35, 40 . ??4 分

1 1 3 3 9 P( X ? 20) ? ? ? ? ? , ??6 分 2 2 4 4 64 1 1 3 2 3 3 3 1 1 2 P( X ? 25) ? C1 , ??8 分 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? C 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? 2 2 4 2 4 4 8 1 2 3 2 1 1 1 3 1 1 1 11 P( X ? 30) ? ( ) ? ( ) +C2 ( ) ? (1 ? ) ? C1 ( ) ? ( )2 ? ( )2 = 2 ?( )? 2 4 2 2 4 4 2 4 32
??10 分

1 1 1 2 3 3 1 1 1 2 P( X ? 35) ? C1 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? C 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( )= 2 2 4 2 4 4 8 1 P ( X ? 40) ? 64

??12 分

X 分布列为: X P
20 25 30 35 40

9 64

3 8

11 32

1 8

1 64

????????13 分 17. (本小题共 14 分) (Ⅰ)? AD ? 面BCD , BC ? 面BCD ? AD ? BC ??????2 分

? BC ? CD 且 AD ? CD ? D ? BC ? 面ACD

? BC ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD

??????4 分

A

(Ⅱ)证明:如图所示,取 BD 中点 O,且 P 是 BM 中点, 所以 PO // MD 且 PO ?

1 MD ; 2
O H
P M

取 CD 的四等分点 H,使 DH=3CH, 且 AQ =3QC, 所以, PO // QH 且 PO ? QH , 所以,四边形 OPQH 为平行四边形, 所以 PQ // OH ,且 OH ? BCD , 所以 PQ//面 BDC.
-7-

Q D

B

????????9 分

C

(错误!未找到引用源。)如图建系, 则 C (0,0,0) , B(0, 6 ,0) , M ( 2 ,0,1) , D( 2 ,0,0) 设面 CBM 的法向量 n ? ( x, y, z) ????????10 分 z
A

CB ? (0, 6,0) , CM ? ( 2,0,1)

? ? ?n ? CB ? 0 ? 6y ? 0 ,即 ? ? ? ? 2x ? z ? 0 ?n ? CM ? 0 ?
令 x ? 1 ,则 n ? (1,0,? 2 ) 设面 BMD 的法向量 m ? ( x, y, z)

y

x
M

????????11 分

P Q

BD ? ( 2 ,? 6 ,0) DM ? (0,0,1)

? ?m ? BD ? 0 ? 2 x ? 6 y ? 0 即? ? ? ?m ? DM ? 0 ? z ? 0
令 y ? 1 , 则 m ? ( 3,1,0)

B

D

????????12 分

C

cos ? n, m ??

1 2
???????14 分

所以二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ?

-8-

18.(本小题共 13 分) (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) . ??????1 分

f '( x ) =

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 + a - 2a 2 x = . x x

??????3 分

因为 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,所以 f '(1) = 1+ a - 2a2 = 0 .????5 分

1 或 a = 1. 2 1 经检验, a = 或 a = 1 时, x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点. 2
解得 a = (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x ) = 由 a ? 0 ,令 f '( x) = 当 a > 0 时,

?????6 分

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 + a - 2a 2 x = . x x

(2ax + 1)(- ax + 1) 1 1 = 0 ,解得 x1 = , x2 = .??9 分 2a a x

f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x
f '( x )

1 (0, ) a
+ ↗

1 a
0 极大值

1 ( , ??) a


f ( x)

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) ;????11 分 当 a < 0 时,

1 a

1 a

f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x
f '( x )

(0, ?
+

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a


f ( x)



极大值

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ?

1 1 ) ,单调递减区间是 (? , ??) .?13 分 2a 2a

-9-

19. (本小题共 14 分)

?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? ? ?e ? ? a 2 ,解得 ?b ? 1 , (Ⅰ)由题意知 ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c ?c ? 3
椭圆的标准方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????4 分

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0.(?) ??6 分 2 ? ? y ?1 ?4
依题意:直线 l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点, 所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0 ----错误!未找到引用源。 , 由(*)式, x1 ? x2 ? ?

16k 2 -------错误!未找到引用源。 , (1 ? 4k 2 )
错 误 ! 未 找 到 引 用

可 得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ---源。 , ??????8 分

由错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , x2 ?

2 ? 8k 2 , 1 ? 4k 2

y2 ?

4k 1 ? 4k 2

??????10 分

由点 B 在以 PQ 为直径的圆内,得 ?PBQ 为钝角或平角,即 BP ? BQ ? 0 .

? BP ? BQ ? ?2x2 ? y2 ? 1 ? 0 . BP ? (? 2, ?1 ), BQ ? (x2,y2 ? 1 )


?12 分

4 ? 16k 2 4k ? ? 1 ? 0 ,整理得 20k 2 ? 4k ? 3 ? 0 . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
3 1 , ). 10 2
??????14 分

解得: k ? ( ?

- 10 -

20. (本小题共 13 分) (Ⅰ) {?1 , 1 , 2} 具有性质 P . (Ⅱ)选取 a1 ……2 分

? ( x,2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 ? ?1, b? .
……5 分

所以 x =2 b ,从而 x =4 (错误!未找到引用源。 )证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ?Y .设 a2 由 ? s+t ? x1

? (s, t ) ?Y 满足 a1 ? a2 ? 0 .

? 0 得 s +t ? 0 ,所以 s 、 t 异号.

因为 ?1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为 ?1 ,另一为 1 , 故 1? X . 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 b1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 b2 即 px1 ? qxn ? 0 ,则 ……8 分

? ( p, q) ?Y 满足 b1 ? b2 ? 0 ,

p , q 异号,从而 p , q 之中恰有一个为 ?1 . ……10 分

若 p ? ?1 ,则 x1 ? qxn ,显然矛盾; 若 q ? ?1 ,则 xn ? px1 ? p ? xn ,矛盾. 所以 x1 =1 . ……13 分

【注:若有其它解法,请酌情给分. 】

- 11 -


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