【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第2章 6 正态分布]


第二章

§6

一、选择题 1. (2013· 吉林白山一中高二期末)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9), 若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c -1),则 c=( A.1 C.3 [答案] B [解析] 由正态分布的性质及条件 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1)得,(c+1)+(c-1)=2×2,∴ c=2. 2.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X>4)=( A.0.1588 C.0.1586 [答案] B 1 1 [解析] P(X>4)= [1-P(2≤X≤4)]= (1-0.682 6)=0.158 7. 2 2 3.已知 ξ~N(2,σ2),P(ξ<4)=0.84,则 P(ξ≤0)=( A.0.16 C.0.68 [答案] A [解析] 因为 ξ~N(2,σ2),所以正态曲线关于直线 x=2 对称,所以 P(ξ≤0)=P(ξ≥4) =1-P(ξ<4)=1-0.84=0.16,故选 A. 二、填空题 4.已知随机变量 X~N(3,σ2),且 P(X≥4)=0.16,则 P(2<X≤3)=________. [答案] 0.34 [解析] 如图可知 P(X≤2)=P(X≥4)=0.16, 所以 P(2<X<4)=1-P(X≤2)-P(X≥4)=1-0.16-0.16=0.68, 1 1 所以 P(2<X≤3)= P(2<X<4)= ×0.68=0.34. 2 2 5.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 X 在(0,1)内取值的概率 为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为________. [答案] 0.8 [解析] 由 X~N(1,σ2)可知,密度函数关于 x=1 对称,从而 X 在(0,1)内取值的概率就 等于在(1,2)内取值的概率. B.0.32 D.0.84 ) B.0.1587 D.0.1585 ) ) B.2 D.4

∵X~N(1,σ2),故 X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为 0.4,如图所示,

故 X 落在(0,1)内的概率为 P(0<X<1)+P(1<X<2)=0.4+0.4=0.8. 三、解答题 6.某糖厂用自动打包机打包,每包质量 X(单位:kg)服从正态分布 N(100,1.22),一公司 从该糖厂进货 1500 包,试估计质量在下列范围内的糖包数量: (1)(100-1.2,100+1.2); (2)(100-3×1.2,100+3×1.2). [解析] 因为 X~N(100,1.22),所以 μ=100,σ=1.2. (1)由于随机变量 X 在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率为 0.683,而该正态分布中,μ-σ =100-1.2,μ+σ=100+1.2.于是糖包质量位于区间(100-1.2,100+1.2)内的概率为 0.683. 所以估计质量在(100-1.2,100+1.2)范围内的糖包数量为 1500×0.683≈1025 包. (2)由于随机变量 X 在区间(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率为 0.997,而该正态分布中,μ -3σ=100-3×1.2,μ+3σ=100+3×1.2.于是糖包质量位于区间(100-3×1.2,100+3×1.2) 内 的 概 率 为 0.997. 所 以 估 计 质 量 在 (100 - 3×1.2,100 + 3×1.2) 范 围 内 的 糖 包 数 量 为 1500×0.997≈1496 包.

一、选择题 1. 设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N(0,1), 已知 Φ(-1.96)=0.025, 则 P(|ξ|<1.96)=( A.0.025 C.0.950 [答案] C [ 解析 ] P(|ξ|<1.96) = P( - 1.96<ξ<1.96) = P(ξ<1.96) - P(ξ≤ - 1.96) = 1 - P(ξ≥1.96) - B.0.050 D.0.975 )

P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-2Φ(-1.96)=1-2×0.025=0.950. 故选 C. 2.若 Φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量 ξ 服从正态分 布 N(μ,σ2),则概率 P(|ξ-μ|<σ)等于( A.Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ) 1-μ C.Φ( ) σ [答案] B [ 解析 ] P(|ξ - μ|<σ) = P( - σ<ξ - μ<σ) = P(μ - σ<ξ<μ + σ) = P(ξ<μ + σ) - P(ξ≤μ - σ) = ) B.Φ(1)-Φ(-1) D.2Φ(μ+σ)

μ+σ-μ μ-σ-μ Φ( )-Φ( )=Φ(1)-Φ(-1).故选 B. σ σ 3.已知 ξ~N(0,σ2),且 P(-2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)等于( A.0.1 C.0.3 [答案] A [解析] P(ξ>2) + P(0≤ξ≤2) + P( - 2≤ξ≤0) + P(ξ< - 2) = 1 , P(ξ>2) = P(ξ< - 2) , B.0.2 D.0.4 )

1 P(0≤ξ≤2)=p(-2≤ξ≤0),所以 P(ξ>2)= ×[1-2P(-2≤ξ≤0)]=0.1. 2
2 4. 设两个正态分布 N(μ1, σ2 σ2 )(σ2>0)的密度函数图象如图所示, 则有( 1)(σ1>0)和 N(μ2,

)

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 [答案] A

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

[解析] 根据正态分布的性质:对称轴方程 x=μ,σ 表示总体分布的分散与集中.由图 可知选 A. 5.某地区数学考试的成绩 X 服从参数为 σ2=64 的正态分布,其正态分布密度函数图像 如图所示,则成绩 X 位于区间(52,68)内的概率为( )

A.0.954 C.0.683 [答案] C

B.0.997 D.不确定

[解析] 观察图中正态分布密度函数图像可知,对称轴为 x=60,由正态分布密度函数 图像的性质可知 μ=60.又 σ2=64,所以 X 服从正态分布 N(60,64),由于 52=60-8,68=60 +8,则成绩 X 位于区间(52,68)内的概率为 P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683. 二、填空题 6.如图所示为两条正态分布曲线.

①为 fμ1,σ1(x)的图像; ②为 fμ2,σ2(x)的图像. μ1________μ2,σ1________σ2(填“<”、“>”或“=”). [答案] < > [解析] 根据图像关于直线 x=μ 对称可知 μ1<μ2,又由 σ(σ>0)的大小决定图像的“胖 瘦”,σ 越小,图像越“高瘦”,可知 σ1>σ2. 7.某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位:小时)为随机变量 Y,已知 Y~N(1 000,302),要使灯管的平均寿命在 1 000 小时的概率为 99.7%,问灯管的最低寿命应控制在 ________小时. [答案] 910 [解析] 因为 P(μ-3σ<Y<μ+3σ)=99.7%, 又 Y~N(1 000,302),所以 Y 在(μ-3σ,μ+3σ) 即(910,1 090)内取值的概率为 99.7%,故最低寿命应控制在 910 小时. 三、解答题 8. 一投资者在两个投资方案中选择一个, 这两个投资方案的利润 X(万元)分别服从正态 分布 N(8,32)和 N(7,12).投资者要求“利润超过 5 万元”的概率尽量地大,那么他应该选择 哪一个方案? [解析] 对于第一种方案有 X~N(8,32)其中 μ=8,σ=3, 1-P?5<X≤11? P(X>5)= +P(5<X≤11) 2 = 1+P?5<X≤11? 1+0.683 = 2 2

对于第二种方案有 X~N(7,12),其中 μ=7,σ=1 1-P?7-2<X≤7+2? P(X>5)= +P(7-2<X≤7+2) 2 = 1+P?7-2<X≤7+2? 1+0.954 = 2 2

比较知,“利润超过 5 万元”的概率以第二种方案为大,可选第二个方案. [点评] 本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊区间概率的值求概率,要体会应用 方法. 9.设 ξ~N(1,22),试求: (1)P(-1<ξ≤3);

(2)P(3<ξ≤5); (3)P(ξ≥5). [分析] 由 ξ~N(1,22)知,μ=1,σ=2, ∴正态密度曲线关于直线 x=1 对称. [解析] ∵ξ~N(1,22)知,μ=1,σ=2. (1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2)=P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.683. (2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1), 1 ∴P(3<ξ≤5)= [P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)] 2 1 = [P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)] 2 1 = [P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)] 2 1 = [0.954-0.683]=0.135 5. 2 (3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3), 1 ∴P(ξ≥5)= [1-P(-3<ξ≤5)] 2 1 = [1-P(1-4<ξ≤1+4)] 2 1 = [1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)] 2 1 = (1-0.954)=0.023. 2 10.乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走,第一条路线的路程较短,但交通拥挤, 所需的时间(单位:min)服从正态分布 N(50,102);第二知路线的路程较长,但阻塞较少,所 需时间服从正态分布 N(60,42). 问:如果有 65min 时间可以利用,应走哪一条路线? [分析] 有关正态分布的概率问题,均应化为标准正态分布去处理. [解析] 设 ξ 为行走的时间,如有 65min 时间可利用,则: (1)若走第一条路线,ξ~N(50,102),及时赶到汽车站的概率为 65-50 P(ξ≤65)=Φ( )=Φ(1.5)=0.933 2; 10 (2)若走第二条路线,ξ~N(60,42),及时赶到汽车站的概率为 65-60 P(ξ≤65)=Φ( )=Φ(1.25)=0.894 4. 4 显然走第一条路线及时赶到汽车站的概率大于第二条路线,故应走第一条路线. [点评] 利用标准正态分布表可以顺利地求出服从正态分布的随机变量的概率,进而可

使实际问题得到顺利地解决.


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